Der mathematische Begriff der Quasitransitivität ist eine abgeschwächte Form der Transitivität und findet Anwendung in der Sozialwahltheorie und der Mikroökonomie . Vereinfacht ausgedrückt ist eine Relation quasitransitiv, wenn sie für bestimmte Werte symmetrisch und ansonsten transitiv ist. Das Konzept wurde von Sen (1969) eingeführt , um die Konsequenzen des Arrow-Theorems zu untersuchen .
Formale Definition
Eine binäre Relation T über einer Menge X heißt quasitransitiv, wenn für alle a , b und c in X Folgendes gilt:
Wenn die Relation auch antisymmetrisch ist , dann ist T transitiv.
Alternativ kann man für eine Relation T den asymmetrischen oder "strikten" Teil P definieren:
Dann ist T genau dann quasitransitiv, wenn P transitiv ist.
Beispiele
In manchen ökonomischen Kontexten wird angenommen, dass Präferenzen quasitransitiv (und nicht transitiv) sind. Ein klassisches Beispiel ist eine Person, die zwischen 7 und 8 Gramm Zucker sowie zwischen 8 und 9 Gramm Zucker indifferent ist, aber 9 Gramm Zucker gegenüber 7 bevorzugt. [ 1 ] Analog lässt sich das Sorites-Paradoxon auflösen, indem die angenommene Transitivität bestimmter Relationen auf Quasitransitivität abgeschwächt wird.
Eigenschaften
- Eine Relation R heißt quasitransitiv genau dann, wenn sie die disjunkte Vereinigung einer symmetrischen Relation J und einer transitiven Relation P ist . [ 2 ] J und P sind durch ein gegebenes R nicht eindeutig bestimmt ; [ 3 ] jedoch ist das P aus dem „Nur-wenn “-Teil minimal. [ 4 ]
- Folglich ist jede symmetrische Relation quasitransitiv, und somit auch jede transitive Relation. [ 5 ] Darüber hinaus ist eine antisymmetrische und quasitransitive Relation stets transitiv. [ 6 ]
- Die Relation aus dem obigen Zuckerbeispiel, {(7,7), (7,8), (7,9), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8), (9,9)}, ist quasitransitiv, aber nicht transitiv.
- Eine quasitransitive Relation muss nicht azyklisch sein : Für jede nichtleere Menge A ist die universelle Relation A × A sowohl zyklisch als auch quasitransitiv.
- Eine Relation ist genau dann quasitransitiv, wenn ihr Komplement quasitransitiv ist.
- Analog dazu ist eine Relation genau dann quasitransitiv, wenn ihre Umkehrung quasitransitiv ist.
Siehe auch
Referenzen
- ^ Robert Duncan Luce (Apr 1956). „Semiorders and a Theory of Utility Discrimination“ . Econometrica . 24 (2): 178–191 . doi : 10.2307/1905751 . JSTOR 1905751 .Hier: S. 179; Luces ursprüngliches Beispiel besteht aus 400 Vergleichen (von Kaffeetassen mit unterschiedlichen Zuckermengen) anstatt nur aus 2.
- Die Benennung folgt Bossert & Suzumura (2009) , S. 2–3. – Für den Nur-wenn- Teil definieren wir xJy als xRy ∧ yRx und xPy als xRy ∧ ¬yRx . – Für den Wenn- Teil nehmen wir an, dass xRy ∧ ¬yRx ∧ yRz ∧ ¬zRy gilt. Dann sind xPy und yPz ungleich null , da xJy oder yJz ¬yRx oder ¬zRy widersprechen würden. Daher gilt xPz aufgrund der Transitivität, ¬xJz aufgrund der Disjunktheit und ¬zJx aufgrund der Symmetrie. Folglich würde zRx zPx implizierenund aufgrund der Transitivität auch zPy , was ¬zRy widerspricht. Insgesamt beweist dies xRz ∧ ¬zRx .
- ^ Wenn R beispielsweiseeine Äquivalenzrelation ist ,kann J als die leere Relation oder als R selbst und P als ihr Komplement gewählt werden.
- ^ Gegeben R , danndas Paar ( x , y ) nicht zum symmetrischen Teil gehören, wenn xRy ∧ ¬ yRx gilt, sondern muss zum transitiven Teil gehören.
- ^ Da die leere Relation trivialerweise sowohl transitiv als auch symmetrisch ist.
- ^ Die Antisymmetrie von R zwingt J dazu, koreflexiv zu sein; daherist die Vereinigung von J und dem transitiven P wieder transitiv.
- Sen, A. (1969). „ Quasi-Transitivität, rationale Wahl und kollektive Entscheidungen“. Rev. Econ. Stud . 36 (3): 381–393 . doi : 10.2307/2296434 . JSTOR 2296434. Zbl 0181.47302 .
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