Drehimpulskopplung

In der Quantenmechanik bezeichnet die Drehimpulskopplung das Verfahren zur Konstruktion von Eigenzuständen des Gesamtdrehimpulses aus Eigenzuständen einzelner Drehimpulse. Beispielsweise können Bahn und Spin eines einzelnen Teilchens über die Spin-Bahn-Wechselwirkung interagieren ; in diesem Fall muss das vollständige physikalische Bild die Spin-Bahn-Kopplung berücksichtigen. Oder zwei geladene Teilchen mit jeweils einem wohldefinierten Drehimpuls können über Coulomb- Kräfte wechselwirken ; in diesem Fall ist die Kopplung der beiden Einzelteilchen-Drehimpulse zu einem Gesamtdrehimpuls ein nützlicher Schritt zur Lösung der Zweiteilchen- Schrödingergleichung . In beiden Fällen sind die einzelnen Drehimpulse keine Bewegungskonstanten mehr , die Summe der beiden Drehimpulse jedoch in der Regel noch. Die Drehimpulskopplung in Atomen ist für die Atomspektroskopie von Bedeutung . Die Drehimpulskopplung von Elektronenspins ist in der Quantenchemie wichtig . Auch im Kernschalenmodell ist die Drehimpulskopplung allgegenwärtig. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

In der Astronomie spiegelt die Spin-Bahn-Kopplung den allgemeinen Drehimpulserhaltungssatz wider , der auch für Himmelskörper gilt. In einfachen Fällen wird die Richtung des Drehimpulsvektors vernachlässigt, und die Spin-Bahn-Kopplung ist das Verhältnis zwischen der Frequenz, mit der ein Planet oder ein anderer Himmelskörper um seine eigene Achse rotiert , und der Frequenz, mit der er einen anderen Körper umkreist. Dies ist allgemein als Bahnresonanz bekannt . Häufig sind Gezeitenkräfte die zugrunde liegenden physikalischen Effekte .

Die Erhaltung des Drehimpulses besagt, dass der Gesamtdrehimpuls eines Systems Betrag und Richtung konstant hält, solange kein äußeres Drehmoment auf das System wirkt . Der Drehimpuls ist eine physikalische Systemgröße , die in zwei Fällen eine Bewegungskonstante (auch Erhaltungsgröße genannt , zeitunabhängig und wohldefiniert) ist:

1. Das System erfährt ein sphärisch symmetrisches Potentialfeld.
2. Das System bewegt sich (im quantenmechanischen Sinne) in einem isotropen Raum.

In beiden Fällen kommutiert der Drehimpulsoperator mit dem Hamiltonoperator des Systems. Gemäß der Heisenbergschen Unschärferelation bedeutet dies, dass Drehimpuls und Energie (Eigenwert des Hamiltonoperators) gleichzeitig gemessen werden können.

Ein Beispiel für die erste Situation ist ein Atom, dessen Elektronen nur die Coulomb-Kraft des Atomkerns erfahren . Vernachlässigt man die Elektron-Elektron-Wechselwirkung (und andere kleine Wechselwirkungen wie die Spin-Bahn-Kopplung ), so kommutiert der Bahndrehimpuls l jedes Elektrons mit dem gesamten Hamiltonoperator. In diesem Modell ist der atomare Hamiltonoperator die Summe der kinetischen Energien der Elektronen und der sphärisch symmetrischen Elektron-Kern-Wechselwirkungen. Die einzelnen Bahndrehimpulse l_{_i} der Elektronen kommutieren mit diesem Hamiltonoperator. Das heißt, sie sind Erhaltungsgrößen dieses approximativen Atommodells.

Ein Beispiel für die zweite Situation ist ein starrer Rotor, der sich im feldlosen Raum bewegt. Ein starrer Rotor besitzt einen wohldefinierten, zeitunabhängigen Drehimpuls.

Diese beiden Situationen haben ihren Ursprung in der klassischen Mechanik. Die dritte Art des erhaltenen Drehimpulses, der mit dem Spin zusammenhängt , besitzt kein klassisches Gegenstück. Allerdings gelten alle Regeln der Drehimpulskopplung auch für den Spin.

Im Allgemeinen impliziert die Erhaltung des Drehimpulses volle Rotationssymmetrie (beschrieben durch die Gruppen SO(3) und SU(2) ), und umgekehrt impliziert sphärische Symmetrie die Erhaltung des Drehimpulses. Besitzen zwei oder mehr physikalische Systeme erhaltene Drehimpulse, kann es nützlich sein, diese zu einem Gesamtdrehimpuls des Gesamtsystems zu kombinieren – einer Erhaltungsgröße des Gesamtsystems. Die Bildung von Eigenzuständen des Gesamtdrehimpulses aus den Drehimpuls-Eigenzuständen der einzelnen Teilsysteme wird als Drehimpulskopplung bezeichnet .

Die Anwendung der Drehimpulskopplung ist dann nützlich, wenn Teilsysteme miteinander wechselwirken, deren Drehimpuls ohne diese Wechselwirkung erhalten bliebe. Durch die Wechselwirkung selbst wird die sphärische Symmetrie der Teilsysteme gebrochen, der Drehimpuls des Gesamtsystems bleibt jedoch konstant. Diese Tatsache ist hilfreich bei der Lösung der Schrödingergleichung.

Betrachten wir beispielsweise zwei Elektronen in einem Atom (etwa einem Heliumatom ), die mit i = 1 und 2 bezeichnet sind _. Gibt es keine Elektron-Elektron-Wechselwirkung, sondern nur eine Elektron-Kern-Wechselwirkung, so können die beiden Elektronen unabhängig voneinander um den Kern rotieren; ihre Energie bleibt unverändert. Die Erwartungswerte beider Operatoren, l₁ und l₂ _, bleiben erhalten. Wird jedoch die Elektron-Elektron-Wechselwirkung, die vom Abstand d (1,2) zwischen den Elektronen abhängt, berücksichtigt, so bleibt d (1,2) nur bei einer gleichzeitigen und gleich _großen Rotation beider Elektronen invariant. In diesem Fall ist weder der Erwartungswert von l₁ noch _von l₂ _{im Allgemeinen eine Bewegungskonstante, wohl} aber der Erwartungswert des gesamten Bahndrehimpulsoperators L = l₁ + l₂ _. Ausgehend von den Eigenzuständen von l ₁ und l ₂ besteht die Konstruktion der Eigenzustände von L (die weiterhin erhalten bleiben) in der Kopplung der Drehimpulse der Elektronen 1 und 2.

Die gesamte Bahndrehimpulsquantenzahl L ist auf ganzzahlige Werte beschränkt und muss die Dreiecksbedingung erfüllen, dass , sodass die drei nichtnegativen ganzzahligen Werte den drei Seiten eines Dreiecks entsprechen könnten. ^{[ 3 ]}${\displaystyle |l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}}$

In der Quantenmechanik existiert auch eine Kopplung zwischen Drehimpulsen, die verschiedenen Hilberträumen eines einzelnen Objekts angehören, z. B. zwischen seinem Spin und seinem Bahndrehimpuls . Wenn der Spin halbzahlige Werte annimmt, wie z . B. ⁠1/2Für ein Elektron ist dann auch der Gesamtdrehimpuls (Bahndrehimpuls plus Spindrehimpuls) auf halbzahlige Werte beschränkt.

Um das oben Gesagte etwas anders zu formulieren: Man entwickelt die Quantenzustände zusammengesetzter Systeme (d. h. bestehend aus Untereinheiten wie zwei Wasserstoffatomen oder zwei Elektronen ) in Basissätzen , die aus Tensorprodukten von Quantenzuständen bestehen, welche wiederum die einzelnen Teilsysteme beschreiben. Wir nehmen an, dass die Zustände der Teilsysteme als Eigenzustände ihrer Drehimpulsoperatoren (und ihrer Komponente entlang einer beliebigen z -Achse) gewählt werden können.

Die Teilsysteme werden daher korrekt durch ein Paar von ℓ und m Quantenzahlen beschrieben (siehe Drehimpuls für Details). Bei Wechselwirkungen zwischen den Teilsystemen enthält der Gesamt-Hamiltonoperator Terme, die nicht mit den auf die Teilsysteme wirkenden Drehimpulsoperatoren kommutieren. Diese Terme kommutieren jedoch mit dem Gesamtdrehimpulsoperator . Manchmal werden die nichtkommutierenden Wechselwirkungsterme im Hamiltonoperator als Drehimpulskopplungsterme bezeichnet , da sie die Drehimpulskopplung erfordern.

Das Verhalten von Atomen und kleineren Teilchen wird gut durch die Quantenmechanik beschrieben . Jedes Teilchen besitzt einen intrinsischen Drehimpuls, den sogenannten Spin , und spezifische Konfigurationen (z. B. von Elektronen in einem Atom) werden durch einen Satz von Quantenzahlen beschrieben . Auch Ansammlungen von Teilchen besitzen Drehimpulse und entsprechende Quantenzahlen. Unter verschiedenen Bedingungen koppeln die Drehimpulse der einzelnen Teile auf unterschiedliche Weise zum Drehimpuls des Ganzen. Die Drehimpulskopplung ist eine Kategorie, die einige der Wechselwirkungen subatomarer Teilchen untereinander umfasst.

In der Atomphysik beschreibt die Spin-Bahn-Kopplung , auch Spinpaarung genannt , eine schwache magnetische Wechselwirkung zwischen dem Spin eines Teilchens und seiner Bahnbewegung , beispielsweise dem Spin eines Elektrons und seiner Bewegung um den Atomkern . Eine ihrer Auswirkungen ist die Trennung der Energien innerer Zustände des Atoms, z. B. von Spin-ausgerichteten und Spin-antiausgerichteten Zuständen , die ansonsten energetisch identisch wären. Diese Wechselwirkung ist für viele Details der Atomstruktur verantwortlich.

In der Festkörperphysik kann die Spinkopplung mit der Orbitalbewegung aufgrund von Dresselhaus- oder Rashba- Effekten zur Aufspaltung von Energiebändern führen .

In der makroskopischen Welt der Orbitalmechanik wird der Begriff Spin-Bahn-Kopplung manchmal im gleichen Sinne wie Spin-Bahn-Resonanz verwendet .

In leichten Atomen (allgemein Z  ≤ 30 ^{[ 4 ]} ) wechselwirken die Elektronenspins s_{_i} untereinander und bilden zusammen einen Gesamtspin-Drehimpuls S. Dasselbe geschieht mit den Bahndrehimpulsen ℓ _{_i,} die einen Gesamtbahndrehimpuls L bilden . Die Wechselwirkung zwischen den Quantenzahlen L und S wird Russell-Saunders-Kopplung (nach Henry Norris Russell und Frederick Saunders ) oder LS-Kopplung genannt. S und L koppeln dann miteinander und bilden einen Gesamtdrehimpuls J : ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} ,\,}$

wobei L und S die Summen sind:

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}{\boldsymbol {\ell }}_{i},\ \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {s} _{i}.\,}$

Dies ist eine Näherung, die gut ist, solange die externen Magnetfelder schwach sind. Bei stärkeren Magnetfeldern entkoppeln diese beiden Impulse, was zu einem anderen Aufspaltungsmuster der Energieniveaus führt ( Paschen-Back-Effekt ), und die Größe des LS-Kopplungsterms wird klein. ^{[ 7 ]}

Ein ausführliches Beispiel für die praktische Anwendung der LS-Kopplung finden Sie im Artikel über Termsymbole .

Bei schwereren Atomen verhält es sich anders. In Atomen mit größeren Kernladungen sind Spin-Bahn-Wechselwirkungen häufig genauso groß oder sogar größer als Spin-Spin- oder Bahn-Bahn-Wechselwirkungen. In diesem Fall tendiert jeder Bahndrehimpuls ℓ_{_i} dazu, sich mit dem entsprechenden Spin-Drehimpuls s _{_i} zu kombinieren , wodurch ein individueller Gesamtdrehimpuls j_{_i} entsteht . Diese koppeln dann zum Gesamtdrehimpuls J.

${\displaystyle \mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}=\sum _{i}({\boldsymbol {\ell }}_{i}+\mathbf {s} _{i}).}$

Diese Beschreibung, die die Berechnung dieser Art von Wechselwirkung ermöglicht, wird als jj-Kopplung bezeichnet .

Spin-Spin-Kopplung ist die Kopplung des intrinsischen Drehimpulses ( Spin ) verschiedener Teilchen. Die J-Kopplung zwischen Kernspinpaaren ist ein wichtiges Merkmal der Kernspinresonanzspektroskopie (NMR), da sie detaillierte Informationen über die Struktur und Konformation von Molekülen liefert. Die Spin-Spin-Kopplung zwischen Kernspin und Elektronenspin ist für die Hyperfeinstruktur in Atomspektren verantwortlich . ^{[ 8 ]}

Termsymbole repräsentieren die Zustände und Spektralübergänge von Atomen und ergeben sich aus der oben erwähnten Kopplung der Drehimpulse. Ist der Zustand eines Atoms durch ein Termsymbol spezifiziert, lassen sich die erlaubten Übergänge mithilfe von Auswahlregeln bestimmen, indem man berücksichtigt, welche Übergänge den Drehimpuls erhalten . Ein Photon besitzt Spin 1. Bei einem Übergang mit Emission oder Absorption eines Photons muss das Atom seinen Zustand ändern , um den Drehimpuls zu erhalten. Die Auswahlregeln für Termsymbole lauten: ΔS =  0; ΔL  = 0, ±1; Δl  = ±1; ΔJ  = 0, ±1.

Der Ausdruck „Termsymbol“ leitet sich von der „Termreihe“ ab, die mit den Rydberg-Zuständen eines Atoms und ihren Energieniveaus verbunden ist . In der Rydberg-Formel ist die Frequenz bzw. Wellenzahl des von einem wasserstoffähnlichen Atom emittierten Lichts proportional zur Differenz der beiden Terme eines Übergangs. Die in der frühen Spektroskopie bekannten Reihen wurden als scharf , Haupt- , diffuse und fundamental bezeichnet , und folglich wurden die Buchstaben S, P, D und F verwendet, um die Bahndrehimpulszustände eines Atoms darzustellen. ^{[ 9 ]}

Bei sehr schweren Atomen verstärkt die relativistische Verschiebung der Energieniveaus der Elektronen den Spin-Bahn-Kopplungseffekt. Daher müssen beispielsweise in Molekülorbitaldiagrammen von Uran relativistische Symbole direkt berücksichtigt werden, wenn Wechselwirkungen mit anderen Atomen betrachtet werden.

In Atomkernen ist die Spin-Bahn-Wechselwirkung viel stärker als bei Atom-Elektronen und wird direkt in das Schalenmodell integriert. Anders als bei den Termsymbolen für Atom-Elektronen ist der Zustand niedrigster Energie nicht L − S , sondern ℓ + s . Alle Kernniveaus, deren ℓ- Wert (Bahndrehimpuls) größer als null ist, werden im Schalenmodell daher in die Zustände ℓ + s und ℓ − s aufgespalten . Aufgrund der Natur des Schalenmodells , das ein mittleres Potential anstelle eines zentralen Coulomb-Potentials annimmt, gelten die Nukleonen, die in die Kernzustände ℓ + s und ℓ − s übergehen, innerhalb ihrer jeweiligen Orbitale als entartet (z. B. das 2p -Orbital ).3/2Es enthält vier Nukleonen, die alle die gleiche Energie besitzen. Höher energiereich ist das 2p- Nukleon .1/2⁠ das zwei Nukleonen gleicher Energie enthält).

• Clebsch-Gordan-Koeffizienten
• Drehimpulsdiagramme (Quantenmechanik)
• Kugelbasis

• LS- und jj-Kopplung
• Termsymbol
• Webrechner für Spinkopplungen: Schalenmodell, atomares Termsymbol