Clebsch-Gordan-Koeffizienten

In der Physik sind die Clebsch-Gordan -Koeffizienten ( CG- Koeffizienten ) Größen, die bei der Drehimpulskopplung in der Quantenmechanik auftreten . Sie erscheinen als Entwicklungskoeffizienten der Eigenzustände des Gesamtdrehimpulses in einer ungekoppelten Tensorproduktbasis . Mathematisch ausgedrückt werden die CG-Koeffizienten in der Darstellungstheorie , insbesondere von kompakten Lie-Gruppen , verwendet, um die explizite direkte Summenzerlegung des Tensorprodukts zweier irreduzibler Darstellungen durchzuführen (d. h. einer reduziblen Darstellung in irreduzible Darstellungen, wenn Anzahl und Art der irreduziblen Komponenten bereits abstrakt bekannt sind). Der Name leitet sich von den deutschen Mathematikern Alfred Clebsch und Paul Gordan ab, die in der Invariantentheorie auf ein äquivalentes Problem stießen .

Aus vektoranalytischer Sicht lassen sich die CG-Koeffizienten der SO(3) -Gruppe einfach als Integrale von Produkten aus Kugelfunktionen und ihren komplex Konjugierten definieren. Die Berücksichtigung von Spins in quantenmechanischen Begriffen ergibt sich direkt aus diesem Ansatz, da Kugelfunktionen Eigenfunktionen des Gesamtdrehimpulses und dessen Projektion auf eine Achse sind und die Integrale dem Hilbertraum- Skalarprodukt entsprechen . ^{[ 1 ]} Aus der formalen Definition des Drehimpulses lassen sich Rekursionsformeln für die Clebsch-Gordan-Koeffizienten ableiten. Es existieren auch komplizierte explizite Formeln zu deren direkter Berechnung. ^{[ 2 ]}

Die nachfolgenden Formeln verwenden die Bra-Ket-Notation von Dirac und die Condon-Shortley-Phasenkonvention ^{[ 3 ]} .

Drehimpulsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren j _{_x} , j_{_y} und j_{_z} , die die Kommutatorrelationen erfüllen, wobei ε _{_klm} das Levi-Civita-Symbol ist . Zusammen definieren die drei Operatoren einen Vektoroperator , einen kartesischen Tensoroperator vom Rang eins . Dieser wird auch als sphärischer Vektoroperator bezeichnet , da er gleichzeitig ein sphärischer Tensoroperator ist. Nur für Operatoren vom Rang eins stimmen sphärische Tensoroperatoren mit kartesischen Tensoroperatoren überein. $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).}$$

Durch Weiterentwicklung dieses Konzepts lässt sich ein weiterer Operator j² als das Skalarprodukt von j mit sich selbst definieren: Dies ist ein Beispiel für einen Casimir-Operator . Er ist diagonal ^, und sein Eigenwert charakterisiert die spezielle irreduzible Darstellung der Drehimpulsalgebra . Physikalisch wird dies als das Quadrat des Gesamtdrehimpulses der Zustände interpretiert, auf die die Darstellung wirkt. $${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}$$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$

Man kann auch Erhöhungsoperatoren ( j ₊ ) und Verringerungsoperatoren ( j ₋ ) definieren, die sogenannten Leiteroperatoren . $${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$$

Aus den obigen Definitionen lässt sich zeigen, dass j ² mit j _x , j _y , und j _z kommutiert : $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$$

Wenn zwei hermitesche Operatoren kommutieren, existiert ein gemeinsamer Satz von Eigenzuständen. Üblicherweise wählt man j₂ und j₂ _. Aus den Kommutierungsrelationen lassen sich die möglichen Eigenwerte bestimmen. Diese Eigenzustände werden mit | jₘ⟩ ^{bezeichnet ,} wobei j die Drehimpulsquantenzahl und m die Drehimpulsprojektion auf die z-Achse ist.

Sie bilden die sphärische Basis , sind vollständig und erfüllen die folgenden Eigenwertgleichungen: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$$

Mithilfe der Hebe- und Senkoperatoren kann der Wert von m verändert werden , wobei der Leiterkoeffizient wie folgt gegeben ist: $${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$$

$${\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}.}$$

1

Prinzipiell kann man auch einen (möglicherweise komplexen) Phasenfaktor in die Definition von einführen . Die in diesem Artikel getroffene Wahl stimmt mit der Condon-Shortley-Phasenkonvention überein . Die Drehimpulszustände sind orthogonal (da ihre Eigenwerte bezüglich eines hermiteschen Operators verschieden sind) und werden als normiert angenommen. ${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$$${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.}$$

Die kursiv geschriebenen j und m bezeichnen hier ganzzahlige bzw. halbzahlige Drehimpulsquantenzahlen eines Teilchens oder eines Systems. Die römischen Buchstaben j x  , j  y , j z , j  + , j − und j 2  hingegen bezeichnen Operatoren. Die Symbole sind Kronecker-Deltas . ${\displaystyle \delta }$

_{Wir betrachten nun Systeme mit zwei physikalisch unterschiedlichen} Drehimpulsen j₁ und j₂ . Beispiele hierfür sind der Spin und der Bahndrehimpuls eines einzelnen Elektrons, die Spins zweier Elektronen oder die Bahndrehimpulse zweier Elektronen. Mathematisch bedeutet dies, dass die Drehimpulsoperatoren auf einem Raum der Dimension n und einem Raum der Dimension n wirken _. Wir definieren nun eine Familie von „Gesamtdrehimpuls“-Operatoren, die auf dem Tensorproduktraum n der Dimension n wirken . Die Wirkung des Gesamtdrehimpulsoperators auf diesen Raum stellt eine Darstellung der SU(2) -Lie-Algebra n dar , allerdings eine reduzierbare. Die Reduktion dieser reduzierbaren Darstellung in irreduzible Teile ist das Ziel der Clebsch-Gordan-Theorie. ${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle 2j_{1}+1}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle 2j_{2}+1}$${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

Sei V₁ der ( 2j₁ + 1) -dimensionale Vektorraum, der von den Zuständen aufgespannt wird _, und V₂ der ( 2j₂ + 1) -dimensionale Vektorraum, der von den Zuständen _{aufgespannt wird .}$${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}$$

Das Tensorprodukt dieser Räume, V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ , besitzt eine (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) -dimensionale entkoppelte Basis. Drehimpulsoperatoren werden so definiert, dass sie auf Zustände in V ₃ wie folgt wirken: und wobei 1 den Identitätsoperator bezeichnet. $${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$$$${\displaystyle (\mathbf {j} _{1}\otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} _{1}|j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$$$${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } _{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} _{2}|j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$$

Die gesamten ^{[ nb 1 ]} Drehimpulsoperatoren werden durch das Koprodukt (oder Tensorprodukt ) der beiden Darstellungen definiert, die auf V ₁ ⊗ V ₂ wirken .

Es lässt sich zeigen, dass die Gesamtdrehimpulsoperatoren dieselben Kommutationsrelationen erfüllen , wobei k , l , m ∈ { x , y , z } . Tatsächlich ist die vorhergehende Konstruktion die Standardmethode ^{[ 4 ]} zur Konstruktion einer Wirkung einer Lie-Algebra auf einer Tensorproduktdarstellung. $${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$$

Daher existiert auch für den Gesamtdrehimpulsoperator ein Satz gekoppelter Eigenzustände für M ∈ {− J , − J + 1, ..., J } . Es ist üblich, den Teil [ j ₁ j ₂ ] wegzulassen . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$$

Die Gesamtdrehimpulsquantenzahl J muss die Dreiecksbedingung erfüllen, sodass die drei nichtnegativen ganzzahligen oder halbzahligen Werte den drei Seiten eines Dreiecks entsprechen könnten. ^{[ 5 ]}$${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}$$

Die Gesamtzahl der Eigenzustände des Gesamtdrehimpulses entspricht notwendigerweise der Dimension von V³ _. Wie diese Berechnung zeigt, zerfällt die Tensorproduktdarstellung als direkte Summe je einer Kopie der irreduziblen Darstellungen der Dimension , wobei in Einerschritten von bis variiert . ^{[ 6 ]} Betrachten wir beispielsweise das Tensorprodukt der dreidimensionalen Darstellung, die zu gehört, mit der zweidimensionalen Darstellung mit . Die möglichen Werte von sind dann und . Somit zerfällt die sechsdimensionale Tensorproduktdarstellung als direkte Summe einer zweidimensionalen und einer vierdimensionalen Darstellung. $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$$${\displaystyle 2J+1}$${\displaystyle J}$${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}=1}$${\displaystyle j_{2}=1/2}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=1/2}$${\displaystyle J=3/2}$

Ziel ist es nun, die vorhergehende Zerlegung explizit zu beschreiben, d. h. die Basiselemente im Tensorproduktraum für jede der auftretenden Komponentendarstellungen explizit zu beschreiben.

Die Gesamtdrehimpulszustände bilden eine orthonormale Basis von V ₃ : $${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$$

Diese Regeln können iterativ angewendet werden, um beispielsweise n Dubletten ( s = 1/2) zu kombinieren und so die Clebsch-Gordan-Zerlegungsreihe ( Catalansches Dreieck ) zu erhalten, wobei die Abrundungsfunktion für ganze Zahlen ist ; und die Zahl vor der fettgedruckten Bezeichnung der irreduziblen Darstellungsdimensionalität ( 2j + 1 ) die Multiplizität dieser Darstellung in der Darstellungsreduktion angibt. ^{[ 7 ]} Beispielsweise ergibt die Addition von drei Spin-1/2-Einheiten gemäß dieser Formel eine Spin-3/2-Einheit und zwei Spin-1/2-Einheiten . $${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$

Die gekoppelten Zustände können über die Vollständigkeitsrelation (Auflösung der Identität) in der ungekoppelten Basis entwickelt werden.

$${\displaystyle |J\,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

2

Die Entwicklungskoeffizienten

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten . Beachten Sie, dass einige Autoren sie in einer anderen Reihenfolge schreiben, z. B. ⟨ j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | J M ⟩ . Eine weitere gebräuchliche Notation ist ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ = C^JM _{j 1 m 1 j 2 m 2}Die

Anwenden der Operatoren

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$$

Die Analyse beider Seiten der definierenden Gleichung zeigt, dass die Clebsch-Gordan-Koeffizienten nur dann ungleich null sein können, wenn

$${\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}$$

Die Rekursionsrelationen wurden 1941 von dem Physiker Giulio Racah von der Hebräischen Universität Jerusalem entdeckt.

Die Anwendung der Operatoren zur Erzeugung und Vernichtung des Gesamtdrehimpulses auf die linke Seite der definierenden Gleichung ergibt: Die Anwendung derselben Operatoren auf die rechte Seite ergibt:$${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

Durch Kombination dieser Ergebnisse erhält man Rekursionsbeziehungen für die Clebsch-Gordan-Koeffizienten, wobei C _{± in} 1 definiert wurde : $${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}$$

Das obere Vorzeichen unter der Bedingung M = J ergibt die anfängliche Rekursionsformel: In der Condon-Shortley-Phasenkonvention fügt man die Nebenbedingung hinzu, dass $${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}$$

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

(und ist daher auch reell). Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ lassen sich dann aus diesen Rekursionsrelationen bestimmen. Die Normierung ist durch die Forderung festgelegt, dass die Summe der Quadrate gleich eins ist, was äquivalent dazu ist, dass die Norm des Zustands |[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩ gleich eins sein muss.

Das untere Vorzeichen in der Rekursionsgleichung kann verwendet werden, um alle Clebsch-Gordan-Koeffizienten mit M = J − 1 zu finden . Die wiederholte Anwendung dieser Gleichung liefert alle Koeffizienten.

Dieses Verfahren zur Bestimmung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten zeigt, dass sie alle in der Condon-Shortley-Phasenkonvention reell sind.

Diese werden am deutlichsten durch die Einführung der alternativen Notation dargestellt. $${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

Die erste Orthogonalitätsrelation lautet (abgeleitet aus der Tatsache, dass ) und die zweite lautet $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$$${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$$${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}$$

Für J = 0 sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten gegeben durch $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}$$

Für J = j ₁ + j ₂ und M = J gilt: $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}$$

Für j₁ = _j₂ = J / 2 und m₁ = −m₂ _{gilt :}​_​$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}$$

Für j₁ = j₂ = _m₁ = −m₂ haben _wir​​_​$${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$$

Für j² = 1 , m² _{= 0} haben wir $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$$

Für j ₂ = 1/2 haben wir $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$$

Eine bequeme Möglichkeit, diese Beziehungen herzuleiten, besteht darin, die Clebsch-Gordan-Koeffizienten mithilfe von 3 in Wigner 3-j-Symbole umzuwandeln . Die Symmetrieeigenschaften der Wigner 3-j-Symbole sind wesentlich einfacher.

Bei der Vereinfachung von Phasenfaktoren ist Vorsicht geboten: Eine Quantenzahl kann eine halbe Zahl anstatt einer ganzen Zahl sein; daher ist (−1) ^²k nicht notwendigerweise gleich 1 für eine gegebene Quantenzahl k, es sei denn ^, es kann bewiesen werden, dass sie eine ganze Zahl ist. Stattdessen wird sie durch die folgende schwächere Regel ersetzt: für jede drehimpulsartige Quantenzahl k . $${\displaystyle (-1)^{4k}=1}$$

Dennoch ist eine Kombination aus j _i und m _i immer eine ganze Zahl, daher gilt für diese Kombinationen die stärkere Regel: Diese Identität gilt auch dann, wenn das Vorzeichen von j _i oder m _i oder von beiden umgekehrt wird. $${\displaystyle (-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1}$$

Es ist hilfreich festzustellen, dass sich jeder Phasenfaktor für ein gegebenes Paar ( j _{_i} , m_{_i} ) auf die kanonische Form reduzieren lässt: wobei a ∈ {0, 1, 2, 3} und b ∈ {0, 1} (andere Konventionen sind ebenfalls möglich). Die Umwandlung von Phasenfaktoren in diese Form erleichtert die Feststellung, ob zwei Phasenfaktoren äquivalent sind. (Beachten Sie, dass diese Form nur lokal kanonisch ist: Sie berücksichtigt nicht die Regeln, die für Kombinationen von Paaren ( j _{_i} , m_i ) gelten , wie sie im nächsten Absatz beschrieben werden.) $${\displaystyle (-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}}$$

Eine zusätzliche Regel gilt für Kombinationen von j ₁ , j ₂ und j ₃ , die durch einen Clebsch-Gordan-Koeffizienten oder ein Wigner 3-j-Symbol miteinander verbunden sind: Diese Identität gilt auch dann, wenn das Vorzeichen eines beliebigen j _i umgekehrt wird oder wenn eines von ihnen durch ein m _i ersetzt wird . $${\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1}$$

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten stehen in Zusammenhang mit den Wigner 3-j-Symbolen , die über günstigere Symmetriebeziehungen verfügen.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{-j_{1}+j_{2}-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&J\\m_{1}&m_{2}&-M\end{pmatrix}}\\&=(-1)^{2j_{2}}(-1)^{J-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&J&j_{2}\\m_{1}&-M&m_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

3

Der Faktor (−1) ^{2 j ₂} ist auf die Condon–Shortley-Bedingung zurückzuführen, dass ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0 , während (−1) ^{J − M} auf die zeitlich umgekehrte Natur von | JM ⟩ zurückzuführen ist .

Dies ermöglicht es, zum allgemeinen Ausdruck zu gelangen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.}$

Die Summation wird über diejenigen ganzzahligen Werte k durchgeführt , für die das Argument jeder Fakultät im Nenner nichtnegativ ist, d. h. die Summationsgrenzen K und N werden gleichgesetzt: die untere die obere. Fakultäten negativer Zahlen werden üblicherweise gleich Null gesetzt, so dass die Werte des Symbols 3j bei beispielsweise oder automatisch auf Null gesetzt werden. ${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),}$${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$$

Wenn ganze Zahlen involviert sind, können die Koeffizienten mit Integralen von Kugelfunktionen in Zusammenhang gebracht werden : $${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$$

Daraus und aus der Orthonormalität der Kugelfunktionen folgt, dass die CG-Koeffizienten tatsächlich die Entwicklungskoeffizienten eines Produkts zweier Kugelfunktionen in Bezug auf eine einzige Kugelfunktion sind: $${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$$

$${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$$

Für beliebige Gruppen und ihre Darstellungen sind Clebsch-Gordan-Koeffizienten im Allgemeinen unbekannt. Es existieren jedoch Algorithmen zur Berechnung von Clebsch-Gordan-Koeffizienten für die spezielle unitäre Gruppe SU( n ). ^{[ 8 ] [ 9 ]} Insbesondere wurden SU(3)-Clebsch-Gordan-Koeffizienten berechnet und tabelliert, da sie sich zur Charakterisierung hadronischer Zerfälle eignen, bei denen eine Flavor -SU(3)-Symmetrie existiert, die die Up- , Down- und Strange- Quarks miteinander verknüpft. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Eine Weboberfläche zur Tabellierung von SU(N)-Clebsch-Gordan-Koeffizienten ist leicht zugänglich.

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• Clebsch-Gordan-, 3-j- und 6-j-Koeffizienten-Webrechner
• Clebsch-Gordan-Koeffizientenrechner zum Herunterladen für Mac und Windows
• Webschnittstelle zur Tabellierung von SU(N) Clebsch–Gordan-Koeffizienten