Axiom der Größenbeschränkung

In der Mengenlehre wurde das Axiom der Größenbeschränkung 1925 von John von Neumann in seinem Axiomensystem für Mengen und Klassen eingeführt . ^{[ 1 ]} Es formalisiert das Prinzip der Größenbeschränkung , welches die in früheren Formulierungen der Mengenlehre aufgetretenen Paradoxien vermeidet, indem es anerkennt, dass manche Klassen zu groß sind, um Mengen zu sein. Von Neumann erkannte, dass die Paradoxien dadurch entstehen, dass diese großen Klassen als Elemente einer Klasse zugelassen werden. ^{[ 2 ]} Eine Klasse, die Element einer Klasse ist, ist eine Menge; eine Klasse, die keine Menge ist, ist eine echte Klasse . Jede Klasse ist eine Unterklasse von V , der Klasse aller Mengen. ^{[ a ]} Das Axiom der Größenbeschränkung besagt, dass eine Klasse genau dann eine Menge ist, wenn sie kleiner als V ist – das heißt, es gibt keine Funktion, die sie auf V abbildet . Üblicherweise wird dieses Axiom in der äquivalenten Form formuliert: Eine Klasse ist genau dann eine echte Klasse, wenn es eine Funktion gibt, die sie auf V abbildet .

Das von Neumannsche Axiom impliziert die Axiome der Ersetzung , Trennung , Vereinigung und globalen Wahl . Es ist äquivalent zur Kombination aus Ersetzung, Vereinigung und globaler Wahl in der von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (NBG) und der Morse-Kelley-Mengenlehre . Spätere Darstellungen von Klassentheorien – wie etwa die von Paul Bernays , Kurt Gödel und John L. Kelley – verwenden anstelle des von Neumannschen Axioms Ersetzung, Vereinigung und ein der globalen Wahl äquivalentes Wahlaxiom. ^{[ 3 ]} 1930 definierte Ernst Zermelo Modelle der Mengenlehre, die das Axiom der Größenbeschränkung erfüllen. ^{[ 4 ]}

Abraham Fraenkel und Azriel Lévy haben festgestellt, dass das Axiom der Größenbeschränkung nicht die gesamte „Doktrin der Größenbeschränkung“ erfasst, da es das Potenzmengenaxiom nicht impliziert . ^{[ 5 ]} Michael Hallett argumentiert, dass die Doktrin der Größenbeschränkung das Potenzmengenaxiom nicht rechtfertigt und dass „von Neumanns explizite Annahme [der Kleinheit von Potenzmengen] der impliziten, schwer verständlichen Annahme von Zermelo, Fraenkel und Lévy über die Kleinheit von Potenzmengen vorzuziehen scheint.“ ^{[ 6 ]}

Die übliche Version des Größenbeschränkungsaxioms – eine Klasse ist genau dann eine echte Klasse, wenn es eine Funktion gibt, die sie auf V abbildet – wird in der formalen Sprache der Mengenlehre wie folgt ausgedrückt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \exists x[\,x\in C\land (x,y)\in F\,]{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}}$

Gödel führte die Konvention ein, dass Großbuchstabenvariablen alle Klassen und Kleinbuchstabenvariablen alle Mengen umfassen. ^{[ 7 ]} Diese Konvention erlaubt es uns, Folgendes zu schreiben:

Mit Gödels Konvention lässt sich das Axiom der Größenbeschränkung wie folgt formulieren:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y\exists x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}}$

Von Neumann bewies, dass das Beschränkungsaxiom der Menge das Ersetzungsaxiom impliziert , welches sich wie folgt ausdrücken lässt: Wenn F eine Funktion und A eine Menge ist, dann ist F ( A ) eine Menge. Dies wird durch Widerspruch bewiesen . Sei F eine Funktion und A eine Menge. Angenommen, F ( A ) ist eine echte Klasse. Dann existiert eine Funktion G , die F ( A ) auf V abbildet . Da die zusammengesetzte Funktion GF  A auf V abbildet , impliziert das Beschränkungsaxiom der Menge, dass A eine echte Klasse ist, was im Widerspruch dazu steht, dass A eine Menge ist. Daher ist F ( A ) eine Menge. Da das Ersetzungsaxiom das Trennungsaxiom impliziert , impliziert das Beschränkungsaxiom der Menge das Trennungsaxiom . ^{[ b ]}${\displaystyle \circ }$ 

Von Neumann bewies auch, dass sein Axiom impliziert, dass V wohlgeordnet sein kann . Der Beweis beginnt mit einem Widerspruchsbeweis, dass Ord , die Klasse aller Ordalzahlen , eine echte Klasse ist. Angenommen, Ord ist eine Menge. Da es sich um eine transitive Menge handelt , die streng wohlgeordnet ist (∈), ist sie eine Ordalzahl. Somit gilt Ord  ∈  Ord , was der Annahme widerspricht, dass Ord streng wohlgeordnet ist (∈). Daher ist Ord eine echte Klasse. Somit impliziert von Neumanns Axiom die Existenz einer Funktion F , die Ord auf V abbildet . Um eine Wohlordnung von V zu definieren , sei G die Unterklasse von F, die aus den geordneten Paaren ( α ,  x ) besteht, wobei α das kleinste β ist , für das ( β ,  x ) ∈  F gilt. Das heißt, G  = {( α ,  x ) ∈  F : ∀ β (( β ,  x ) ∈  F  ⇒  α  ≤  β )}. Die Funktion G stellt eine bijektive Abbildung zwischen einer Unterklasse von Ord und V dar . Daher definiert x  <  y , falls G ⁻¹ (x) <  G ⁻¹ (y), eine Wohlordnung von V. Diese Wohlordnung definiert eine globale Auswahlfunktion : Sei Inf ( x ) das kleinste Element einer nichtleeren Menge x . Da Inf ( x ) ∈  x , wählt diese Funktion für jede nichtleere Menge x ein Element aus x aus . Daher ist Inf ( x ) eine globale Auswahlfunktion, und somit impliziert das von Neumannsche Axiom das Axiom der globalen Auswahl .

1968 bewies Azriel Lévy , dass das von-Neumann-Axiom das Vereinigungsaxiom impliziert . Zunächst bewies er ohne Verwendung des Vereinigungsaxioms, dass jede Menge von Ordinalzahlen eine obere Schranke besitzt. Anschließend nutzte er eine Funktion, die Ord auf V abbildet , um zu beweisen, dass, wenn A eine Menge ist, auch ∪ A eine Menge ist. ^{[ 8 ]}

Die Axiome der Ersetzung, der globalen Auswahl und der Vereinigung (zusammen mit den anderen Axiomen der NBG ) implizieren das Axiom der Größenbeschränkung. ^{[ c ]} Daher ist dieses Axiom äquivalent zur Kombination aus Ersetzung, globaler Auswahl und Vereinigung in der NBG- oder Morse-Kelley-Mengenlehre . Diese Mengenlehren ersetzten das Axiom der Größenbeschränkung lediglich durch das Ersetzungsaxiom und eine Form des Auswahlaxioms, da das Axiomensystem von Neumann das Vereinigungsaxiom enthält. Lévys Beweis, dass dieses Axiom redundant ist, erfolgte viele Jahre später. ^{[ 9 ]}

Die Axiome des NBG, bei denen das globale Auswahlaxiom durch das übliche Auswahlaxiom ersetzt wird, implizieren nicht das Größenbeschränkungsaxiom. 1964 verwendete William B. Easton Forcing , um ein NBG- Modell zu entwickeln , in dem das globale Auswahlaxiom durch das Auswahlaxiom ersetzt wurde. ^{[ 10 ]} In Eastons Modell kann V nicht linear geordnet und somit auch nicht wohlgeordnet sein. Daher ist das Größenbeschränkungsaxiom in diesem Modell nicht anwendbar. Ord ist ein Beispiel für eine echte Klasse, die nicht auf V abgebildet werden kann, denn (wie oben bewiesen) wenn es eine Funktion gäbe, die Ord auf V abbildet , dann wäre V wohlgeordnet.

Die Axiome von NBG, bei denen das Ersetzungsaxiom durch das schwächere Trennungsaxiom ersetzt wird, implizieren nicht das Größenbeschränkungsaxiom. Sei die -te unendliche Anfangsordinalzahl , die gleichzeitig die Kardinalzahl ist ; die Nummerierung beginnt bei , also . 1939 wies Gödel darauf hin, dass L _{ω ω} , eine Teilmenge des konstruierbaren Universums , ein ZFC -Modell ist, bei dem das Ersetzungsaxiom durch Trennung ersetzt ist. ^{[ 11 ]} Um es zu einem NBG-Modell mit Ersetzung durch Trennung zu erweitern, seien seine Klassen die Mengen von L _{ω ω+1} , die die konstruierbaren Teilmengen von L _{ω ω} sind . Dieses Modell erfüllt die Existenzaxiome der NBG-Klasse, da die Einschränkung der Mengenvariablen dieser Axiome auf L _{ω ω} Instanzen des Trennungsaxioms erzeugt , welches in L gilt. ^{[ d ]} Es erfüllt das Axiom der globalen Auswahl, da es eine Funktion aus L _{ω ω+1 gibt, die ω ω} auf L _{ω ω} abbildet , woraus folgt, dass L _{ω ω} wohlgeordnet ist. ^{[ e ]} Das Größenbeschränkungsaxiom ist nicht erfüllt, da die eigentliche Klasse {ω _n  :  n  ∈ ω} die Kardinalität n hat und daher nicht auf L _{ω ω} abgebildet werden kann , welches die Kardinalität n hat . ^{[ f ]}${\displaystyle \omega_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \omega _{0}=\omega .}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

In einem Brief an Zermelo aus dem Jahr 1923 formulierte von Neumann die erste Version seines Axioms: Eine Klasse ist genau dann eine echte Klasse, wenn eine bijektive Abbildung zwischen ihr und V besteht . ^{[ 2 ]} Das Axiom der Größenbeschränkung impliziert von Neumanns Axiom von 1923. Daher folgt daraus auch, dass alle echten Klassen gleichzählig mit V sind .

1930 veröffentlichte Zermelo einen Artikel über Modelle der Mengenlehre, in dem er bewies, dass einige seiner Modelle das Größenbeschränkungsaxiom erfüllen. ^{[ 4 ]} Diese Modelle werden in ZFC mithilfe der kumulativen Hierarchie V _α konstruiert , die durch transfinite Rekursion definiert ist :

1. V ₀  =  ∅ . ^{[ h ]}
2. V _{α +1}  =  V _α  ∪  P ( V _α ). Das heißt, die Vereinigung von V _α und seiner Potenzmenge . ^{[ i ]}
3. Für den Grenzwert β gilt: V _β  = ∪ _{α  <  β}  V _α . Das heißt, V _β ist die Vereinigung der vorhergehenden V _α .

Zermelo arbeitete mit Modellen der Form V _κ, wobei κ eine Kardinalzahl ist . Die Klassen des Modells sind die Teilmengen von V _κ , und die ∈-Relation des Modells ist die übliche ∈-Relation. Die Mengen des Modells sind die Klassen X , für die X ∈ V _κ gilt . ^{[ j ]} Zermelo identifizierte Kardinalzahlen κ, sodass V _κ die folgende Bedingung erfüllt: ^{[ 12 ]}

Satz 1. Eine Klasse X ist genau dann eine Menge, wenn | X | < κ.

Satz 2. | V _κ | = κ.

Da jede Klasse eine Teilmenge von V_{_κ} ist , folgt aus Satz 2, dass jede Klasse X eine Kardinalität ≤ κ hat . In Kombination mit Satz 1 ergibt sich daraus: Jede echte Klasse hat die Kardinalität κ. Daher lässt sich jede echte Klasse bijektiv V _{_κ} zuordnen . Diese Zuordnung ist eine Teilmenge von V_{_κ} und somit eine Klasse des Modells. Folglich gilt das Größenbeschränkungsaxiom für das Modell V _{_κ} .

Der Satz, dass V _κ eine Wohlordnung besitzt, lässt sich direkt beweisen . Da κ eine Ordinalzahl der Kardinalität κ ist und | V _κ | = κ gilt, besteht eine bijektive Abbildung zwischen κ und V _κ . Diese Abbildung impliziert eine Wohlordnung von V _κ . Von Neumanns Beweis ist indirekt . Er nutzt das Burali-Forti-Paradoxon, um durch Widerspruch zu beweisen, dass die Klasse aller Ordinalzahlen eine echte Klasse ist. Folglich impliziert das Axiom der Größenbeschränkung, dass es eine Funktion gibt, die die Klasse aller Ordinalzahlen auf die Klasse aller Mengen abbildet. Diese Funktion impliziert eine Wohlordnung von V _κ . ^{[ 13 ]}

Um zu zeigen, dass die Sätze 1 und 2 für ein bestimmtes V _κ gelten , beweisen wir zunächst, dass, wenn eine Menge zu V _α gehört , sie auch zu allen nachfolgenden V _β gehört , oder äquivalent: V _α  ⊆  V _β für α  ≤ β. Dies wird mittels transfiniter Induktion über β bewiesen:

1. β = 0: V ₀  ⊆  V ₀ .
2. Für β+1: Nach Induktionsannahme ist V _α  ⊆  V _β . Daher ist V _α  ⊆  V _β  ⊆  V _β  ∪  P ( V _β ) =  V _β+1 .
3. Für Grenzwert β: Wenn α  < β, dann V _α  ⊆ ∪ _{ξ < β}  V _ξ  =  V _β . Wenn α  =  β , dann V _α  ⊆  V _β .

Mengen gelangen über die Potenzmenge P ( V _β ) im Schritt β +1 in die kumulative Hierarchie. Folgende Definitionen sind erforderlich:

Ist x eine Menge, so ist Rang ( x ) die kleinste Ordinalzahl β, für die x  ∈  V _{β+1 gilt} . ^{[ 14 ]}

Das Supremum einer Menge von Ordinalzahlen A, bezeichnet mit sup A, ist die kleinste Ordinalzahl β , für die α  ≤ β für alle α  ∈ A gilt.

Zermelos kleinstes Modell ist V _ω . Durch vollständige Induktion lässt sich beweisen, dass V _n für alle n  < ω endlich ist :

1. | V ₀ | = 0.
2. | V _{n +1} | = | V _n  ∪  P ( V _n )| ≤ | V _n | + 2  ^{| V _n |} , was endlich ist, da V _n nach Induktionsvoraussetzung endlich ist.

Beweis von Satz 1: Eine Menge X geht über P ( V_{_n} ) für ein n < _ω in V_ω ein  , also gilt X  ⊆  V _{_n} . Da V_{_n} endlich ist, ist auch X endlich. Umgekehrt : Ist eine Klasse X endlich, so sei N  = sup {rank( x ):  x  ∈  X }. Da rank( x ) ≤  N für alle x  ∈  X gilt, folgt X  ⊆  V _{_{N +1}} , also X  ∈  V _{_{N +2}}  ⊆  V _ω . Daher gilt X  ∈  V_{_ω} .

Beweis von Satz 2: V _ω ist die Vereinigung abzählbar unendlich vieler endlicher Mengen mit zunehmender Größe. Daher hat sie die Kardinalität , die nach der von-Neumannschen Kardinalitätszuordnung gleich ω ist . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Die Mengen und Klassen von V _ω erfüllen alle Axiome von NBG außer dem Unendlichkeitsaxiom . ^{[ k ]}

Zur Beweisführung der Theoreme 1 und 2 für V _ω wurden zwei Eigenschaften der Endlichkeit verwendet :

1. Wenn λ eine endliche Kardinalzahl ist, dann ist 2 ^λ endlich.
2. Wenn A eine Menge von Ordinalzahlen ist, sodass | A | endlich ist und α für alle α  ∈  A endlich ist , dann ist sup  A endlich.

Um Modelle zu finden, die das Unendlichkeitsaxiom erfüllen, ersetzt man „endlich“ durch „< κ“, um die Eigenschaften zu erhalten, die stark unerreichbare Kardinalzahlen definieren . Eine Kardinalzahl κ ist stark unerreichbar, wenn κ > ω und:

1. Wenn λ eine Kardinalzahl mit λ < κ ist, dann ist 2 ^λ  < κ.
2. Wenn A eine Menge von Ordinalzahlen ist, sodass | A | < κ und α  < κ für alle α  ∈  A , dann ist sup  A  < κ.

Diese Eigenschaften besagen, dass κ nicht von unten erreicht werden kann. Die erste Eigenschaft besagt, dass κ nicht durch Potenzmengen erreicht werden kann; die zweite, dass κ nicht durch das Ersetzungsaxiom erreicht werden kann. ^{[ l ]} So wie das Unendlichkeitsaxiom benötigt wird, um ω zu erhalten, wird ein Axiom benötigt, um stark unerreichbare Kardinalzahlen zu erhalten. Zermelo postulierte die Existenz einer unbeschränkten Folge stark unerreichbarer Kardinalzahlen. ^{[ m ]}

Wenn κ ein stark unzugänglicher Kardinal ist, dann beweist die transfinite Induktion | V _α | < κ für alle α  < κ:

1. α  = 0: | V ₀ | = 0.
2. Für α + 1 gilt: | V _{α + 1} | = | V _α  ∪  P ( V _α )| ≤ | V _α | + 2  ^{| V _α |}  = 2  ^{| V _α |}  < κ. Die letzte Ungleichung beruht auf der Induktionsvoraussetzung und der Tatsache, dass κ stark unzugänglich ist.
3. Für Grenzwert α : | V _α | = |∪ _{ξ <  α}  V _ξ | ≤ sup {| V _ξ | : ξ <  α } < κ. Die letzte Ungleichung verwendet die Induktionshypothese und κ ist stark unzugänglich.

Beweis von Satz 1: Eine Menge X gelangt über P ( Vα ₎ für ein α < _κ in Vκ  , also X  ⊆  Vα . Da | Vα | < κ, folgt | X | < κ. Umgekehrt: Für eine Klasse X mit | X | < _κ sei β = sup{rank( x ):  x  ∈  X }. Da κ stark unerreichbar ist, implizieren | _X | < κ und rank( x ) < κ für alle x  ∈  X , dass β = sup{rank( x ):  x  ∈  X } < κ. Da rank( x ) ≤ β für alle x  ∈  X , gilt X  ⊆  Vβ ₊₁ , also X  ∈  Vβ ₊₂  ⊆  Vκ _. Daher ist X  ∈  Vκ _.

Beweis von Satz 2: | V _κ | = |∪ _{α  < κ}  V _α | ≤ sup {| V _α | :  α  < κ}. Sei β dieses Supremum. Da jede Ordnungszahl im Supremum kleiner als κ ist, gilt β ≤ κ. Nehmen Sie β < κ an. Dann gibt es eine Kardinalzahl λ mit β < λ < κ; sei zum Beispiel λ = 2 ^|β| . Da λ ⊆ V _λ und | V _λ | im Supremum liegt, gilt λ ≤ | V _λ | ≤ β. Dies widerspricht β < λ. Daher | V _κ | = β = κ.

Die Mengen und Klassen von V _κ erfüllen alle Axiome von NBG. ^{[ n ]}

Die Lehre von der Größenbeschränkung ist ein heuristisches Prinzip, das zur Rechtfertigung von Axiomen der Mengenlehre verwendet wird. Sie vermeidet die mengentheoretischen Paradoxien, indem sie das vollständige (widersprüchliche) Axiomenschema der Komprehension einschränkt :

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists x\,\forall u\,(u\in x\iff \varphi (u,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$

zu Instanzen, „die keine Mengen liefern, die ‚viel größer‘ sind als die, die sie verwenden.“ ^{[ 15 ]}

Wenn „größer“ „größer in der Kardinalität“ bedeutet, dann lassen sich die meisten Axiome rechtfertigen: Das Trennungsaxiom erzeugt eine Teilmenge von x , die nicht größer als x ist . Das Ersetzungsaxiom erzeugt eine Bildmenge f ( x ), die nicht größer als x ist . Das Vereinigungsaxiom erzeugt eine Vereinigung, deren Größe nicht größer ist als die Größe der größten Menge in der Vereinigung multipliziert mit der Anzahl der Mengen in der Vereinigung. ^{[ 16 ]} Das Auswahlaxiom erzeugt eine Auswahlmenge, deren Größe nicht größer ist als die Größe der gegebenen Menge nichtleerer Mengen.

Die Lehre von der Größenbeschränkung rechtfertigt nicht das Axiom der Unendlichkeit:

${\displaystyle \exists y\,[\emptyset \in y\,\land \,\forall x(x\in y\implies x\cup \{x\}\in y)],}$

Dabei werden die leere Menge und Mengen verwendet, die durch iterative Anwendung der ordinalen Nachfolgeroperation aus der leeren Menge entstehen . Da diese Mengen endlich sind, ist jede Menge, die dieses Axiom erfüllt, wie beispielsweise ω, viel größer als diese Mengen. Fraenkel und Lévy betrachten die leere Menge und die unendliche Menge der natürlichen Zahlen , deren Existenz durch die Axiome der Unendlichkeit und der Trennung impliziert wird, als Ausgangspunkt für erzeugende Mengen. ^{[ 17 ]}

Von Neumanns Ansatz zur Größenbeschränkung verwendet das Größenbeschränkungsaxiom. Wie in § Implikationen des Axioms erwähnt , impliziert von Neumanns Axiom die Axiome der Trennung, Ersetzung, Vereinigung und Auswahl. Wie Fraenkel und Lévy musste auch von Neumann das Unendlichkeitsaxiom in sein System aufnehmen, da es sich nicht aus seinen anderen Axiomen beweisen lässt. ^{[ o ]} Die Unterschiede zwischen von Neumanns Ansatz zur Größenbeschränkung und dem Ansatz von Fraenkel und Lévy sind:

• Neumanns Axiom führt eine Größenbeschränkung in ein Axiomensystem ein und ermöglicht so den Beweis der meisten Existenzaxiome von Mengen. Die Lehre von der Größenbeschränkung rechtfertigt Axiome mithilfe informeller Argumente, die eher Anlass zu Meinungsverschiedenheiten geben als formale Beweise.
• Von Neumann nahm das Potenzmengenaxiom an, da es sich nicht aus seinen anderen Axiomen beweisen ließe. ^{[ p ]} Fraenkel und Lévy argumentieren, dass die Lehre von der Größenbeschränkung das Potenzmengenaxiom rechtfertigt. ^{[ 18 ]}

Es besteht Uneinigkeit darüber, ob die Doktrin der Größenbeschränkung das Potenzmengenaxiom rechtfertigt. Michael Hallett hat die Argumente von Fraenkel und Lévy analysiert. Einige ihrer Argumente messen Größe anhand anderer Kriterien als der Kardinalgröße – Fraenkel führt beispielsweise „Umfassendheit“ und „Erweiterbarkeit“ ein. Hallett weist auf die seiner Ansicht nach bestehenden Schwächen ihrer Argumente hin. ^{[ 19 ]}

Hallett argumentiert daraufhin, dass Ergebnisse der Mengenlehre scheinbar implizieren, dass kein Zusammenhang zwischen der Größe einer unendlichen Menge und der Größe ihrer Potenzmenge besteht. Dies würde bedeuten, dass die Lehre von der Größenbeschränkung das Potenzmengenaxiom nicht rechtfertigen kann, da sie voraussetzt, dass die Potenzmenge von x nicht „viel größer“ als x ist . Für den Fall, dass die Größe durch ihre Kardinalität gemessen wird, verweist Hallett auf die Arbeit von Paul Cohen . ^{[ 20 ]} Ausgehend von einem ZFC-Modell und entwickelte Cohen ein Modell, in dem die Kardinalität der Potenzmenge von ω gleich 1 ist, falls die Kofinalität von ω nicht ω ist; andernfalls ist ihre Kardinalität 1. ^{[ 21 ]} Da die Kardinalität der Potenzmenge von ω keine Beschränkung hat, besteht kein Zusammenhang zwischen der Kardinalität von ω und der Kardinalität von P (ω). ^{[ 22 ]}${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$

Hallett erörtert auch den Fall, in dem die Größe durch „Umfassendheit“ gemessen wird. Eine Menge gilt als „zu groß“, wenn sie „unbegrenzt umfassend“ oder „unbegrenzt ausgedehnt“ ist. ^{[ 23 ]} Er weist darauf hin, dass wir bei einer unendlichen Menge nicht sicher sein können, alle ihre Teilmengen zu kennen, ohne das gesamte Universum zu durchsuchen. Er zitiert außerdem John L. Bell und Moshé Machover : „… die Potenzmenge P ( u ) einer gegebenen [unendlichen] Menge u ist nicht nur proportional zur Größe von u, sondern auch zum ‚Reichtum‘ des gesamten Universums …“ ^{[ 24 ]} Nach diesen Beobachtungen stellt Hallett fest: „Man kann nur vermuten, dass es schlicht keinen Zusammenhang zwischen der Größe (Umfassendheit) einer unendlichen Menge a und der Größe von P ( a ) gibt.“ ^{[ 20 ]}

Hallett hält die Lehre von der Beschränkung der Größe für wertvoll, um die meisten Axiome der Mengenlehre zu rechtfertigen. Seine Argumente zeigen lediglich, dass sie die Axiome der Unendlichkeit und der Potenzmenge nicht rechtfertigen kann. ^{[ 25 ]} Er schlussfolgert, dass „von Neumanns explizite Annahme [der Kleinheit von Potenzmengen] der impliziten, schwer verständlichen Annahme von Zermelo, Fraenkel und Lévy über die Kleinheit von Potenzmengen vorzuziehen scheint.“ ^{[ 6 ]}

Von Neumann entwickelte das Axiom der Größenbeschränkung als neue Methode zur Identifizierung von Mengen. ZFC identifiziert Mengen mithilfe seiner Mengenbildungsaxiome. Abraham Fraenkel wies jedoch darauf hin: „Der eher willkürliche Charakter der Prozesse, die in den Axiomen von Z [ZFC] als Grundlage der Theorie gewählt werden, wird eher durch die historische Entwicklung der Mengenlehre als durch logische Argumente gerechtfertigt.“ ^{[ 26 ]}

Die historische Entwicklung der ZFC-Axiome begann 1908, als Zermelo Axiome wählte, um die Paradoxien zu beseitigen und seinen Beweis des Wohlordnungssatzes zu stützen . ^{[ q ]} 1922 wiesen Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem darauf hin, dass _Zermelos Axiome die Existenz der Menge { Z₀ _, Z₁ ,  Z₂ , ...} nicht beweisen können ,  wobei Z₀ die Menge der _natürlichen Zahlen und Zₙ₊₁ _die Potenzmenge von Zₙ ist . ^{[ 27 ]} Sie führten außerdem das Ersetzungsaxiom ein, das die Existenz dieser Menge garantiert. _[ ^{28 ] Das} _{Hinzufügen von Axiomen nach Bedarf garantiert jedoch weder die Existenz aller sinnvollen Mengen noch klärt es} den Unterschied zwischen Mengen, die sicher verwendet werden können, und solchen, die zu Widersprüchen führen.

In einem Brief an Zermelo aus dem Jahr 1923 skizzierte von Neumann einen Ansatz der Mengenlehre, der Mengen identifiziert, die „zu groß“ sind und zu Widersprüchen führen können. ^{[ r ]} Von Neumann identifizierte diese Mengen anhand des Kriteriums: „Eine Menge ist genau dann ‚zu groß‘, wenn sie mit der Menge aller Dinge äquivalent ist .“ Anschließend schränkte er die Verwendung dieser Mengen ein: „… um Paradoxien zu vermeiden, werden diejenigen [Mengen], die ‚zu groß‘ sind, als unzulässige Elemente erklärt .“ ^{[ 29 ]} Durch die Kombination dieser Einschränkung mit seinem Kriterium erhielt von Neumann seine erste Version des Axioms der Größenbeschränkung, das in der Sprache der Klassen besagt: Eine Klasse ist genau dann eine echte Klasse, wenn sie gleichzählig mit V ist . ^{[ 2 ]} Im Jahr 1925 modifizierte von Neumann sein Axiom, indem er „sie ist gleichzählig mit V “ durch „sie kann auf V abgebildet werden “ ersetzte, wodurch das Axiom der Größenbeschränkung entstand. Diese Modifikation ermöglichte es von Neumann, einen einfachen Beweis für das Ersetzungsaxiom zu liefern. ^{[ 1 ]} Das von Neumannsche Axiom identifiziert Mengen als Klassen, die nicht auf V abgebildet werden können . Von Neumann erkannte, dass seine Mengenlehre selbst mit diesem Axiom Mengen nicht vollständig charakterisiert. ^{[ s ]}

Gödel fand von Neumanns Axiom „von großem Interesse“:

„Insbesondere halte ich von Neumanns notwendige und hinreichende Bedingung, die eine Eigenschaft erfüllen muss, um eine Menge zu definieren, für äußerst interessant, da sie das Verhältnis der axiomatischen Mengenlehre zu den Paradoxien verdeutlicht. Dass diese Bedingung den Kern der Sache trifft, zeigt sich daran, dass sie das Auswahlaxiom impliziert, das zuvor völlig unabhängig von anderen Existenzprinzipien stand. Die Schlussfolgerungen, die an die Paradoxien grenzen und durch diese Betrachtungsweise ermöglicht werden, erscheinen mir nicht nur sehr elegant, sondern auch aus logischer Sicht äußerst interessant. ^{[ t ]} Darüber hinaus bin ich überzeugt, dass die grundlegenden Probleme der abstrakten Mengenlehre nur durch eine weitere Auseinandersetzung mit dieser Richtung, d. h. in die dem Konstruktivismus entgegengesetzte Richtung , gelöst werden können.“ ^{[ 30 ]}