Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo ( / zɜːrˈmɛloʊ / ; [tsɛɐ̯ˈmeːlo] ; 27. Juli 1871 – 21. Mai 1953) war ein deutscher Logiker und Mathematiker , dessen Werk die Grundlagen der Mathematik maßgeblich beeinflusst hat. Er ist bekannt für seine Rolle in der Entwicklung der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und seinen Beweis des Wohlordnungssatzes . Darüber hinaus beschreibt seine Arbeit von 1929 [ 1 ] zur Rangfolge von Schachspielern erstmals ein Modell für paarweise Vergleiche , das bis heute in verschiedenen Anwendungsgebieten, die diese Methode nutzen, tiefgreifende Auswirkungen hat.

Leben

Ernst Zermelo in Freiburg (1953)

Ernst Zermelo absolvierte 1889 das Luisenstädtische Gymnasium in Berlin (heute Heinrich-Schliemann-Oberschule ). Anschließend studierte er Mathematik , Physik und Philosophie an der Universität Berlin , der Universität Halle und der Universität Freiburg . 1894 promovierte er an der Universität Berlin mit einer Dissertation über die Variationsrechnung . Zermelo blieb an der Universität Berlin, wo er Assistent von Planck wurde und unter dessen Anleitung er sich mit Hydrodynamik befasste . 1897 wechselte Zermelo an die Universität Göttingen , damals das weltweit führende Zentrum mathematischer Forschung, wo er sich 1899 habilitierte .

1910 verließ Zermelo Göttingen, nachdem er auf den Lehrstuhl für Mathematik an der Universität Zürich berufen worden war , den er 1916 wieder aufgab. 1926 wurde er auf einen Ehrenlehrstuhl an der Universität Freiburg berufen , den er 1935 aufgrund seiner Ablehnung des Hitler- Regimes niederlegte. [ 2 ] Nach dem Zweiten Weltkrieg wurde Zermelo auf seinen Wunsch hin wieder in seine Ehrenposition in Freiburg eingesetzt.

Grabstein von Ernst Zermelo auf dem Friedhof Günterstal im Freiburger Stadtteil Günterstal

Forschung in der Mengenlehre

Auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahr 1900 stellte David Hilbert der mathematischen Welt seine berühmten Hilbertschen Probleme vor – eine Liste von 23 ungelösten fundamentalen Fragen, mit denen sich Mathematiker im Laufe des kommenden Jahrhunderts auseinandersetzen sollten. Das erste dieser Probleme, ein Problem der Mengenlehre , war die Kontinuumshypothese, die Cantor 1878 eingeführt hatte . Im Zuge ihrer Formulierung erwähnte Hilbert auch die Notwendigkeit, den Wohlordnungssatz zu beweisen .

Zermelo begann unter Hilberts Einfluss mit der Beschäftigung mit Problemen der Mengenlehre und veröffentlichte 1902 seine erste Arbeit über die Addition transfiniter Kardinalzahlen . Zu dieser Zeit hatte er auch das sogenannte Russell-Paradoxon entdeckt , das sich in Husserls Nachlass findet . [ 3 ] 1904 gelang ihm der von Hilbert vorgeschlagene erste Schritt hin zur Kontinuumshypothese, indem er den Wohlordnungssatz bewies ( jede Menge kann wohlgeordnet werden ). Dieses Ergebnis brachte Zermelo Ruhm ein, und 1905 wurde er zum Professor in Göttingen ernannt. Sein Beweis des Wohlordnungssatzes , der auf dem Potenzmengenaxiom und dem Auswahlaxiom beruhte , wurde nicht von allen Mathematikern akzeptiert, vor allem weil das Auswahlaxiom ein Paradigma der nicht-konstruktiven Mathematik war. Im Jahr 1908 gelang es Zermelo, einen verbesserten Beweis zu erbringen, indem er Dedekinds Begriff der „Kette“ einer Menge nutzte, der sich zunehmend durchsetzte; dies lag vor allem daran, dass er im selben Jahr auch eine Axiomatisierung der Mengenlehre vorlegte.

Zermelo begann 1905 mit der Axiomatisierung der Mengenlehre; 1908 veröffentlichte er seine Ergebnisse [ 4 ] , obwohl er die Widersprüchlichkeit seines Axiomensystems nicht beweisen konnte. Eine Übersicht über diese Arbeit, die ursprünglichen Axiome und die ursprüngliche Nummerierung finden Sie im Artikel über Zermelos Mengenlehre .

1922 erweiterten Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem unabhängig voneinander Zermelos Axiomensystem um die Ersetzungs- und Regularitätsaxiome . Das daraus entstandene System, heute Zermelo-Fraenkel-Axiome (ZF) genannt, ist das gebräuchlichste System der axiomatischen Mengenlehre .

Zermelos Navigationsproblem

Das 1931 von Zermelo vorgeschlagene Navigationsproblem ist ein klassisches optimales Steuerungsproblem . Es befasst sich mit einem Boot, das auf einem Gewässer von einem Punkt O zu einem Zielpunkt D navigiert. Das Boot erreicht eine bestimmte Höchstgeschwindigkeit, und es gilt, die optimale Steuerung zu finden, um D in kürzester Zeit zu erreichen.

Ohne Berücksichtigung äußerer Kräfte wie Strömung und Wind ist die optimale Steuerung, dass das Boot stets auf Punkt D zusteuert. Sein Kurs ist dann eine gerade Strecke von O nach D, was trivialerweise optimal ist. Berücksichtigt man jedoch Strömung und Wind, so führt die Steuerung ohne Strömung und Wind nicht zum optimalen Kurs, wenn die kombinierte auf das Boot wirkende Kraft ungleich null ist.

Veröffentlichungen

  • Zermelo, Ernst (2013), Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Fraser, Craig G.; Kanamori, Akihiro (Hrsg.), Ernst Zermelo – gesammelte Werke. Bd. I. Mengenlehre, Verschiedenes , Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Bd. 21, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-540-79384-7 , ISBN 978-3-540-79383-0MR 2640544​ 
  • Zermelo, Ernst (2013), Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Kanamori, Akihiro (Hrsg.), Ernst Zermelo – gesammelte Werke. Bd. II. Variationsrechnung, angewandte Mathematik und Physik , Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, vol. 23, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-540-70856-8 , ISBN 978-3-540-70855-1MR 3137671​ 
  • Jean van Heijenoort , 1967. Von Frege zu Gödel: Ein Quellenbuch zur mathematischen Logik, 1879–1931 . Harvard Univ. Press.
    • 1904. „Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann“, 139–41.
    • 1908. „Ein neuer Beweis für die Möglichkeit der Wohlordnung“, 183–98.
    • 1908. „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I“, 199–215.
  • 1913. „Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels“ in Rasmusen E., Hrsg., 2001. Readings in Games and Information , Wiley-Blackwell: 79–82.
  • 1930. „Über Randzahlen und Definitionsbereiche von Mengen: Neue Untersuchungen zu den Grundlagen der Mengenlehre“ in Ewald, William B. (Hrsg.), 1996. Von Kant zu Hilbert: Ein Quellenbuch zu den Grundlagen der Mathematik , 2 Bände. Oxford University Press : 1219–33.

Werke anderer:

  • Zermelos Auswahlaxiom, seine Ursprünge, Entwicklung und sein Einfluss, Gregory H. Moore, Band 8 der Reihe Studien zur Geschichte der Mathematik und der physikalischen Wissenschaften, Springer Verlag, New York, 1982.

Siehe auch

Zitate

  1. ^ Zermelo, Ernst (1929). „Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung“. Mathematische Zeitschrift (auf Deutsch). 29 (1): 436–460 . doi : 10.1007/BF01180541 . S2CID 122877703 . 
  2. ^ Kaplansky, Irving (2020). Mengenlehre und metrische Räume . Providence: American Mathematical Society. S.  36–37 . ISBN 978-1-4704-6384-7Die
  3. ^ Rang, B; Thomas, W (Februar 1981). „Zermelos Entdeckung des „Russell-Paradoxons“" . Historia Mathematica . 8 (1): 15–22 . doi : 10.1016/0315-0860(81)90002-1 .
  4. ^ Zermelo, E. (Juni 1908). „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I“ . Mathematische Annalen (auf Deutsch). 65 (2): 261–281 . doi : 10.1007/BF01449999 . ISSN 0025-5831 . 

Referenzen