Grundlegende affine Sprungdiffusion

In der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine grundlegende affine Sprungdiffusion (grundlegende AJD) ein stochastischer Prozess Z der Form

${\displaystyle dZ_{t}=\kappa (\theta -Z_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {Z_{t}}}\,dB_{t}+dJ_{t},\qquad t\geq 0,Z_{0}\geq 0,}$

Dabei ist eine Standard- Brownsche Bewegung und ein unabhängiger zusammengesetzter Poisson-Prozess mit konstanter Sprungintensität und unabhängigen, exponentialverteilten Sprüngen mit Mittelwert . Für die Wohldefiniertheit des Prozesses müssen und gelten . Ein grundlegender AJD-Prozess ist ein Spezialfall eines affinen Prozesses und einer Sprungdiffusion . Der Cox-Ingersoll-Ross -Prozess (CIR-Prozess) ist wiederum ein Spezialfall eines grundlegenden AJD-Prozesses. ${\displaystyle B}$${\displaystyle J}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \kappa \theta \geq 0}$${\displaystyle \mu \geq 0}$

Grundlegende AJDs sind attraktiv für die Modellierung von Ausfallzeiten in Kreditrisikoanwendungen , ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} , da sowohl die momenterzeugende Funktion

${\displaystyle m\left(q\right)=\operatorname {E} \left(e^{q\int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}\right),\qquad q\in \mathbb {R} ,}$

und die charakteristische Funktion

${\displaystyle \varphi \left(u\right)=\operatorname {E} \left(e^{iu\int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}\right),\qquad u\in \mathbb {R} ,}$

sind in geschlossener Form bekannt . ^{[ 3 ]}

Die charakteristische Funktion ermöglicht die Berechnung der Dichte eines integrierten Basis-AJD.

${\displaystyle \int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}$

durch Fourier-Inversion , die effizient mit der FFT durchgeführt werden kann .