Black–Karasinski-Modell

Das Black-Karasinski-Modell ist ein mathematisches Modell der Zinsstrukturkurve in der Finanzmathematik ( siehe Kurzfristzinsmodell) . Es handelt sich um ein Ein-Faktor-Modell, da es Zinsbewegungen als durch eine einzige Zufallsquelle bedingt beschreibt. Es gehört zur Klasse der arbitragefreien Modelle, d. h. es kann die heutigen Kurse von Nullkuponanleihen und in seiner allgemeinsten Form die heutigen Kurse von Caps, Floors oder europäischen Swaptions abbilden. Das Modell wurde 1991 von Fischer Black und Piotr Karasinski eingeführt .

Die wichtigste Zustandsvariable des Modells ist der Kurzfristzinssatz, der (unter der risikoneutralen Annahme ) der stochastischen Differentialgleichung folgt :

${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$

wobei dW _t eine Standard- Brownsche Bewegung ist . Das Modell impliziert eine logarithmische Normalverteilung für den kurzfristigen Zinssatz und daher ist der Erwartungswert des Geldmarktkontos für jede Laufzeit unendlich.

Im Originalartikel von Fischer Black und Piotr Karasinski wurde das Modell mithilfe eines Binomialbaums mit variablem Abstand implementiert, in der Praxis ist jedoch eine Implementierung mittels Trinomialbaum üblicher, typischerweise eine logarithmische Normalverteilung des Hull-White-Gitters .

Das Modell dient hauptsächlich der Preisbildung exotischer Zinsderivate wie amerikanischer und bermudischer Anleiheoptionen und Swaptions , nachdem seine Parameter an die aktuelle Zinsstrukturkurve und die Preise bzw. impliziten Volatilitäten von Caps , Floors oder europäischen Swaptions kalibriert wurden. Numerische Methoden ( üblicherweise Entscheidungsbäume ) werden sowohl in der Kalibrierungsphase als auch für die Preisbildung eingesetzt. Es kann auch zur Modellierung des Kreditausfallrisikos verwendet werden , wobei der Black-Karasinski-Kurzfristzins die (stochastische) Intensität von Ausfallereignissen, die durch einen Cox-Prozess bestimmt wird, ausdrückt ; die garantierten positiven Zinssätze sind hierbei ein wichtiges Merkmal des Modells. Jüngste Arbeiten zu Perturbationsmethoden bei Kreditderivaten haben gezeigt, wie sich in vielen solchen Fällen sowie für Zinsoptionen analytische Preise bequem ableiten lassen.

• Simon Benninga und Zvi Wiener (1998). Binomiale Zinsstrukturmodelle , Mathematica in Education and Research , Band 7, Nr. 3, 1998.
• Blanka Horvath, Antoine Jacquier und Colin Turfus (2017). Analytische Optionspreise für das Black-Karasinski-Kurzfristzinsmodell
• Colin Turfus (2018). Analytische Swaption-Preisgestaltung im Black-Karasinski-Modell
• Colin Turfus (2018). Exakte Arrow-Debreu-Preisbildung für das Black-Karasinski-Kurzfristzinsmodell
• Colin Turfus (2019). Störungsentwicklung für Arrow-Debreu-Preismodelle mit Hull-White-Zinssätzen und Black-Karasinski-Kreditintensität.
• Colin Turfus und Piotr Karasinski (2021). Das Black-Karasinski-Modell: Dreißig Jahre später