Brendel-Bormann-Oszillatormodell

Das Brendel-Bormann-Oszillatormodell (BB-Modell) ist eine mathematische Formel für die Frequenzabhängigkeit der komplexwertigen relativen Dielektrizitätskonstante, auch bekannt als dielektrische Funktion. Das Modell wurde verwendet, um den komplexen Brechungsindex von Materialien mit Absorptionslinienformen , die eine nicht-Lorentzsche Verbreiterung aufweisen, wie z. B. Metalle ^{[ 1 ]} und amorphe Isolatoren ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} , über breite Spektralbereiche, typischerweise im nahen Ultraviolett- , sichtbaren und infraroten Bereich, anzupassen. Die Dispersionsrelation trägt die Namen von R. Brendel und D. Bormann, die das Modell 1992 herleiteten ^{[ 2 ]} , obwohl es erstmals von A. M. Efimov und V. N. Khitrov (1979) ^{[ 6 ]} zur Charakterisierung der optischen Konstanten von Gläsern verwendet wurde. Es wurde außerdem 1983 von A. M. Efimov und E. G. Makarova weiterentwickelt. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} Ungefähr zur selben Zeit entdeckten mehrere andere Forschungsgruppen unabhängig voneinander das Modell. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Die physikalische Gültigkeit und Kausalität des BB-Modells werden in der Physikliteratur kontrovers diskutiert. J. Orosco und CFM Coimbra berichteten, dass das Modell aufgrund einer Singularität bei der Frequenz Null und Nicht-Hermitizität die Kramers-Kronig-Relationen nicht erfüllt . Diese Behauptungen veranlassten die Autoren zur Entwicklung einer detaillierten kausalen Korrektur des BB-Modells. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Diese Behauptungen wurden später von S. Nordebo und M. Štumpf widerlegt, die die Analytizität des Modells auf Grundlage des Lemmas von Jordan bewiesen und die beobachtete Nicht-Hermitizität auf die fehlerhafte Wahl des Verzweigungsschnitts in der komplexen Quadratwurzel zurückführten. ^{[ 12 ]}

Die allgemeine Form eines Oszillatormodells ist gegeben durch ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \varepsilon (\omega )=\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}\chi _{j}(\omega )}$

Wo

• ${\displaystyle \omega }$ist die Kreisfrequenz
• ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$ist die konstante relative Permittivität bei${\displaystyle \omega \to \infty }$
• ${\displaystyle \varepsilon (\omega)}$ist die frequenzabhängige relative Permittivität eines gegebenen Materials,
• ${\displaystyle \chi _{j}}$ist der Beitrag des Absorptionsmechanismus-Oszillators.${\displaystyle j^{\mathrm {th} }}$

Der Brendel-Bormann-Oszillator ist mit dem Lorentz-Oszillator und der Gauß-Verteilung verwandt und wird durch folgende Gleichung beschrieben: ${\displaystyle \left(\chi ^{\mathrm {L} }\right)}$${\displaystyle \left(f^{\mathrm {G} }\right)}$

${\displaystyle \chi _{j}^{\mathrm {L} }(\omega ;\omega _{0,j})={\frac {s_{j}}{\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}-\imath \Gamma _{j}\omega }}}$

${\displaystyle f_{j}^{\mathrm {G} }(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{j}}}\exp {\left[-\left({\frac {\omega }{{\sqrt {2}}\sigma _{j}}}\right)^{2}\right]}}$

Wo

• ${\displaystyle s_{j}}$ist die Lorentzsche Stärke des Oszillators,${\displaystyle j^{\mathrm {th} }}$
• ${\displaystyle \omega _{0,j}}$ist die Lorentzsche Eigenfrequenz des Oszillators,${\displaystyle j^{\mathrm {th} }}$
• ${\displaystyle \Gamma _{j}}$ist die Lorentzsche Verbreiterung des Oszillators,${\displaystyle j^{\mathrm {th} }}$
• ${\displaystyle \sigma _{j}}$ist die Gaußsche Verbreiterung des Oszillators.${\displaystyle j^{\mathrm {th} }}$

Die Faltung dieser Loretz- und Gauß-Terme definiert den BB-Oszillator , sodass jeder Term aus ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \left(\chi ^{\mathrm {BB} }(\omega ;\omega _{0})=\left(\chi ^{\mathrm {L} }\ast f^{\mathrm {G} }\right)(\omega _{0})\right)}$${\displaystyle j^{\mathrm {th} }}$

${\displaystyle \chi _{j}^{\mathrm {BB} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f_{j}^{\mathrm {G} }(\omega _{0,j}-x)\chi _{j}^{\mathrm {L} }(\omega ;x)\mathrm {d} x}$,

was ergibt, wo $${\displaystyle \chi _{j}^{\mathrm {BB} }(\omega )={\frac {\imath {\sqrt {\pi }}\,s_{j}}{2{\sqrt {2}}\,\sigma _{j}}}{\frac {1}{a_{j}(\omega )}}\left[w\left({\frac {a_{j}(\omega )-\omega _{0,j}}{{\sqrt {2}}\sigma _{j}}}\right)+w\left({\frac {a_{j}(\omega )+\omega _{0,j}}{{\sqrt {2}}\sigma _{j}}}\right)\right]}$$

• ${\displaystyle w(z)}$ist die Faddeeva - Funktion
• ${\displaystyle a_{j}(\omega )={\sqrt {\omega ^{2}+\imath \Gamma _{j}\omega }}}$Die

Die Quadratwurzel in der Definition von muss so gewählt werden, dass ihr Imaginärteil positiv ist. Dies wird erreicht durch: ${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle \Re \left(a_{j}\right)=\omega {\sqrt {\frac {{\sqrt {1+\left(\Gamma _{j}/\omega \right)^{2}}}+1}{2}}}}$

${\displaystyle \Im \left(a_{j}\right)=\omega {\sqrt {\frac {{\sqrt {1+\left(\Gamma _{j}/\omega \right)^{2}}}-1}{2}}}}$

Später wurde eine systematischere Definition nicht-Lorentzscher Oszillatoren eingeführt. ^{[ 13 ]} Diese Formulierung beginnt mit der Grenzübergangsbildung , um die komplexe Suszeptibilität eines Oszillators mit verschwindender Linienverbreiterung zu erhalten (auch bekannt als Sellmeier-Gleichung ). ${\displaystyle \Gamma _{j}\to 0^{+}}$

Anschließend wird die gewünschte Linienverbreiterung mithilfe einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) wie Cauchy (Lorentz) (L), Gauß (G) und Voigt (GL) wiederhergestellt.

wobei ein Mittelwert von Null angenommen wird, damit die Verbreiterung die Resonanzfrequenz nicht verschiebt, und die Faddeeva-Funktion bezeichnet . ${\displaystyle w(z)}$

Die Faltung der unverbreiteten Suszeptibilität (Gl. 1 ) mit Verteilungen (Gl. 2 – 4 ) liefert korrekte Lorentz- und Gauß-Oszillatoren, ^{[ 14 ]} wodurch die Faltungsformulierung bestätigt wird, und erzeugt darüber hinaus die korrekte analytische Darstellung des gemischten Gauß-Lorentz-(Voigt-)Oszillators . ${\displaystyle \chi _{j}^{0}(\omega )}$${\displaystyle \chi _{j}^{\text{GL}}}$

Hierbei ist die Eigenfrequenz des Oszillators (wie zuvor) und seine Resonanzfrequenz , während der Verbreiterungsparameter ( ) mit seiner vorherigen Definition ( ) durch die Beziehung verknüpft ist . Im Zeitbereich sind diese Suszeptibilitäten kausal und werden durch die bekannten charakteristischen Funktionen (CF) ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (PDFs) ausgedrückt . ^{[ 13 ]} Sie lassen sich auch effizient in Maxwell-Lösern im Zeitbereich mithilfe minimax-optimierter Linienformdarstellungen implementieren. ^{[ 13 ]} Diese Formulierung folgt einem grundlegenden Prinzip der Wahrscheinlichkeitstheorie und der statistischen Physik: Mehrere Verbreiterungsprozesse falten ihre PDFs im Frequenzbereich und multiplizieren ihre CFs im Zeitbereich. ${\displaystyle \omega _{0,j}}$${\displaystyle \Omega _{j}={\sqrt {\omega _{0,j}^{2}-\gamma _{j}^{2}}}}$${\displaystyle \gamma _{j}}$${\displaystyle \Gamma _{j}}$${\displaystyle \gamma _{j}=\Gamma _{j}/2}$

Ein Vergleich des BB-Modells, , mit dem korrekten Voigt-Oszillator, , offenbart zwei mathematische Fehler in der BB-Formulierung (siehe Anhang B in ^{[ 13 ]} für Details): ${\displaystyle \chi _{j}^{\text{BB}}(\omega )}$${\displaystyle \chi _{j}^{\text{GL}}(\omega )}$

• Die Resonanzfrequenz ( ) und die Eigenfrequenz ( ) werden vermischt,${\displaystyle \Omega _{j}}$${\displaystyle \omega _{0,j}}$ obwohl im Allgemeinen gilt . Für einen schwach gedämpften Oszillator ( ) ist diese Näherung zulässig, da . Das Modell setzt zudem ausreichend hohe Frequenzen voraus, und . Korrektur: Die Faltung muss über die Resonanzfrequenz und nicht über durchgeführt werden .${\displaystyle \omega _{0,j}\neq \Omega _{j}}$${\displaystyle \gamma _{j}\ll \omega _{0,j}}$${\displaystyle \Omega _{j}={\sqrt {\omega _{0,j}^{2}-\gamma _{j}^{2}}}\approx \omega _{0,j}}$${\displaystyle \omega \gg \gamma _{j}}$${\displaystyle a_{j}(\omega )={\sqrt {(\omega +\imath \gamma _{j})^{2}+\gamma _{j}^{2}}}\approx \omega +\imath \gamma _{j}}$${\displaystyle \Omega _{j}}$${\displaystyle \omega _{0,j}}$

• Ersetzung der Differenz von Faddeeva-Funktionen durch eine Summe. Während für Lorentz-Linienformen Summe und Differenz algebraisch äquivalent sind (d. h. ) , ist eine ähnliche Identität für das Voigt-Profil im Allgemeinen ungültig, und die Summe führt zu einem unphysikalischen Pol bei . Für schwach gedämpfte Oszillatoren ( ) , ausgewertet fernab des unphysikalischen Nullstellenpols, kann der BB-Ausdruck aufgrund der asymptotischen Beziehung für große Argumente das korrekte Verhalten scheinbar approximieren . Die Summe und der unphysikalische Pol treten jedoch nur auf , weil der Lorentz-Oszillator in der BB-Faltung nicht korrekt normiert ist. Fixiert man , so ergibt sich im Zeitbereich, gewonnen durch die inverse Fouriertransformation, der Lorentz-Oszillator zu , wobei und die Heaviside-Sprungfunktion ist . Die Verwendung des Amplitudenparameters im Zeitbereich anstelle der Dämpfung in der Faltung stellt die korrekte Normierung wieder her.${\displaystyle {\frac {1}{a}}\left[{\frac {1}{a-\Omega }}+{\frac {1}{a+\Omega }}\right]={\frac {1}{\Omega }}\left[{\frac {1}{a-\Omega }}-{\frac {1}{a+\Omega }}\right]}$${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\Bigl [}w(a-\Omega )+w(a+\Omega ){\Bigr ]}\neq {\frac {1}{\Omega }}{\Bigl [}w(a-\Omega )-w(a+\Omega ){\Bigr ]},}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \gamma _{j}^{2}+\sigma _{j}^{2}\ll \Omega _{j}^{2}}$${\displaystyle w(z)\sim i\pi ^{-1/2}z^{-1}}$${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{\text{L}}(t)={\frac {s_{j}}{\Omega _{j}}}\mathrm {e} ^{-\gamma _{j}t}\sin(\Omega _{j}t)\theta (t)}$${\displaystyle \Omega _{j}={\sqrt {\omega _{0,j}^{2}-\gamma _{j}^{2}}}}$${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle A_{j}=s_{j}/\Omega _{j}}$${\displaystyle s_{j}}$

Nach Korrektur beider Fehler reduziert sich das BB-Integral auf die korrekte Faltungsdarstellung des Gauss-Lorentz-Oszillators (Gl. 7 ).

${\displaystyle \chi _{j}^{\text{BB, corr}}(\omega )=(\chi _{j}^{\text{L}}*f_{j}^{\text{G}})(\Omega _{j})={\frac {1}{\sigma _{j}{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {A_{j}x}{x^{2}-(\omega +\imath \gamma _{j})^{2}}}\exp {\left[-{\frac {(\Omega _{j}-x)^{2}}{2\sigma _{j}^{2}}}\right]}\mathrm {d} x=\chi _{j}^{\text{GL}}(\omega ).}$

Diese Fehler schränken die Anwendbarkeit des BB-Modells im Frequenzbereich ein, und im Zeitbereich ist das Modell aufgrund eines unphysikalischen Pols unbrauchbar. Stattdessen sollte die korrekte Gauss-Lorentz-Suszeptibilität in Gl. 7 sowohl im Frequenz- als auch im Zeitbereich verwendet werden. ${\displaystyle \chi _{j}^{\mathrm {GL} }(\omega )}$

• Cauchy-Gleichung
• Sellmeier-Gleichung
• Forouhi-Bloomer-Modell
• Tauc-Lorentz-Modell
• Lorentz-Oszillatormodell