Sellmeier-Gleichung

Die Sellmeier-Gleichung ist eine empirische Beziehung zwischen Brechungsindex und Wellenlänge für ein bestimmtes transparentes Medium . Mithilfe der Gleichung lässt sich die Dispersion von Licht in diesem Medium bestimmen.

Sie wurde erstmals 1872 von Wolfgang Sellmeier vorgeschlagen und war eine Weiterentwicklung der Arbeit von Augustin Cauchy zur Cauchy-Gleichung für die Modellierung der Dispersion. ^{[ 1 ]}

In ihrer ursprünglichen und allgemeinsten Form lautet die Sellmeier-Gleichung wie folgt:

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}}$,

Dabei ist n der Brechungsindex, λ die Wellenlänge und B _{_i} und C_{_i} sind experimentell bestimmte Sellmeier- Koeffizienten . Diese Koeffizienten werden üblicherweise für λ in Mikrometern angegeben. Zu beachten ist, dass es sich bei diesem λ um die Vakuumwellenlänge handelt, nicht um die Wellenlänge im Material selbst, die λ/n beträgt. Für bestimmte Materialarten, z. B. Kristalle , wird mitunter eine andere Form der Gleichung verwendet .

Jeder Summand repräsentiert eine Absorptionsresonanz der Stärke B _{_i} bei der Wellenlänge √C _{_i} . Beispielsweise entsprechen die Koeffizienten für BK7 unten zwei Absorptionsresonanzen im Ultraviolettbereich und einer im mittleren Infrarotbereich . Analytisch basiert dieses Verfahren auf der Approximation der zugrundeliegenden optischen Resonanzen durch Dirac-Delta -Funktionen, gefolgt von der Anwendung der Kramers-Kronig-Relationen . Dies führt zu physikalisch sinnvollen Real- und Imaginärteilen des Brechungsindex. ^{[ 2 ]} Nahe jedem Absorptionsmaximum liefert die Gleichung jedoch unphysikalische Werte von n ^₂ = ±∞, weshalb in diesen Wellenlängenbereichen ein präziseres Dispersionsmodell, wie beispielsweise das Lorentz-Oszillatormodell, verwendet werden muss.

Sind alle Parameter für ein Material spezifiziert, so strebt der Wert von n bei langen Wellenlängen, die weit von den Absorptionsmaxima entfernt liegen, gegen

${\displaystyle {\begin{matrix}n\approx {\sqrt {1+\sum _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}}\end{matrix}},}$

wobei ε _{r die} relative Permittivität des Mediums ist .

Zur Charakterisierung von Gläsern wird üblicherweise die Gleichung verwendet, die aus drei Termen besteht: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}},}$

Als Beispiel sind die Koeffizienten für ein gängiges Borosilikat- Kronglas mit der Bezeichnung BK7 unten aufgeführt:

Bei gängigen optischen Gläsern weicht der mit der dreigliedrigen Sellmeier-Gleichung berechnete Brechungsindex im Wellenlängenbereich von 365 nm bis 2,3 μm um weniger als 5 × ^{10⁻⁶ vom tatsächlichen Brechungsindex ab [ 5 ]} , was in der Größenordnung der Homogenität einer Glasprobe liegt. ^{[ 6 ]} Zur weiteren Präzisierung der Berechnung werden mitunter zusätzliche Terme eingeführt.

Manchmal wird die Sellmeier-Gleichung in zweigliedriger Form verwendet: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}.}$

Hierbei stellt der Koeffizient A eine Näherung für den Beitrag der kurzwelligen (z. B. ultravioletten) Absorption zum Brechungsindex bei längeren Wellenlängen dar. Es existieren weitere Varianten der Sellmeier-Gleichung, die die Brechungsindexänderung eines Materials aufgrund von Temperatur , Druck und anderen Parametern berücksichtigen können.

Sellmeier leitete seine Gleichung ursprünglich durch die Modellierung der Wechselwirkung von Licht und Materie her, indem er annahm, dass Materieteilchen als Reaktion auf Lichtwellen harmonisch schwingen. ^{[ a ] ​​[ 8 ]} Im Folgenden wird eine alternative Herleitung auf Basis der Kramers-Kronig-Relationen dargestellt.

Analytisch modelliert die Sellmeier-Gleichung den Brechungsindex als Folge einer Reihe optischer Resonanzen im Material. Ihre Herleitung aus den Kramers-Kronig-Relationen erfordert einige Annahmen über das Material, von denen Abweichungen die Genauigkeit des Modells beeinträchtigen:

• Es gibt eine Reihe von Resonanzen, und der endgültige Brechungsindex kann aus der Summe der Beiträge aller Resonanzen berechnet werden.
• Alle optischen Resonanzen liegen bei Wellenlängen, die weit von den interessierenden Wellenlängen entfernt sind, auf die das Modell angewendet wird.
• Bei diesen Resonanzfrequenzen kann die Imaginärkomponente der Suszeptibilität ( ) als Delta-Funktion modelliert werden .${\displaystyle {\chi _{i}}}$

Aus dem letzten Punkt ergibt sich der komplexe Brechungsindex (und die elektrische Suszeptibilität ):

${\displaystyle \chi _{i}(\omega )=\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i})}$

Der Realteil des Brechungsindex ergibt sich durch Anwendung der Kramers-Kronig-Relationen auf den Imaginärteil:

${\displaystyle n^{2}=1+\chi _{r}(\omega )=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{i}(\omega )}{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

Einsetzen der ersten Gleichung oben für den Imaginärteil:

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

Die Reihenfolge von Summation und Integration kann vertauscht werden. Die Auswertung ergibt Folgendes, wobei die Heaviside-Funktion ist : ${\displaystyle H}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}\int _{0}^{\infty }\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega =1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}H(\omega _{i})}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

Da angenommen wird, dass sich das Gebiet weit entfernt von jeglichen Resonanzen befindet (Annahme 2 oben), ergibt sich der Wert 1, und man erhält eine bekannte Form der Sellmeier-Gleichung: ${\displaystyle H(\omega _{i})}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

Durch Umstellen der Terme können die Konstanten und in die obige Gleichung eingesetzt werden, um die Sellmeier-Gleichung zu erhalten. ^{[ 2 ]}${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$

• Cauchys Gleichung
• Lorentz-Oszillatormodell

• RefractiveIndex.INFO – Datenbank für Brechungsindizes mit Sellmeier-Koeffizienten für Hunderte von Materialien.
• Ein browserbasierter Rechner, der den Brechungsindex aus Sellmeier-Koeffizienten berechnet.
• Annalen der Physik – freier Zugang, digitalisiert von der französischen Nationalbibliothek
• Sellmeier-Koeffizienten für 356 Gläser von Ohara, Hoya und Schott