Lorentz-Oszillatormodell

Das Lorentz-Oszillatormodell (klassischer Elektronenoszillator oder CEO-Modell) beschreibt die optische Antwort gebundener Ladungen . Es ist nach dem niederländischen Physiker Hendrik Lorentz benannt , der es 1878 vorschlug. ^{[ 1 ]} Es handelt sich um ein klassisches , phänomenologisches Modell für Materialien mit charakteristischen Resonanzfrequenzen (oder anderen charakteristischen Energieskalen) für die optische Absorption, z. B. für Ionen- und Molekülschwingungen , Interbandübergänge (Halbleiter), Phononen und kollektive Anregungen. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Das Modell basiert auf der Modellierung eines Elektrons, das einen massereichen, ruhenden Atomkern umkreist, als Feder-Masse-Dämpfer-System . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Das Elektron ist über eine hypothetische Feder mit dem Atomkern verbunden, und seine Bewegung wird durch einen hypothetischen Dämpfer gedämpft. Die Dämpfungskraft gewährleistet, dass die Oszillatorantwort bei seiner Resonanzfrequenz endlich ist. Bei einer zeitlich harmonischen Anregung durch das elektrische Feld kann das zweite Newtonsche Gesetz auf das Elektron angewendet werden , um dessen Bewegung sowie Ausdrücke für das Dipolmoment , die Polarisation , die Suszeptibilität und die dielektrische Funktion zu erhalten . ^{[ 5 ]}

Die Bewegungsgleichung für den Elektronenoszillator lautet: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{net}}=\mathbf {F} _{\text{Dämpfung}}+\mathbf {F} _{\text{Feder}}+\mathbf {F} _{\text{Antrieb}}&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {-m}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-k\mathbf {r} -{e}\mathbf {E} (t)&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}\mathbf {r} \;&=\;{\frac {-e}{m}}\mathbf {E} (t),\end{aligned}}}$$

Wo

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$ist die Verschiebung der Ladung aus der Ruhelage,
• ${\displaystyle t}$ist Zeit.
• ${\displaystyle \tau }$ist die Relaxationszeit/Streuzeit,
• ${\displaystyle k}$ist ein konstanter Faktor, der für die Feder charakteristisch ist.
• ${\displaystyle m}$ist die effektive Masse des Elektrons,
• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$ist die Resonanzfrequenz des Oszillators,
• ${\displaystyle e}$ist die Elementarladung
• ${\displaystyle \mathbf {E} (t)}$ist das elektrische Feld.

Für zeitlich harmonische Felder $${\displaystyle \mathbf {E} (t)=\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t},}$$$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}e^{-i\omega t},}$$

Die stationäre Lösung dieser Bewegungsgleichung ist $${\displaystyle \mathbf {r} (\omega )={\frac {-e}{m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega /\tau }}\mathbf {E} (\omega ).}$$

Die Tatsache, dass die obige Lösung komplex ist , bedeutet, dass zwischen dem anregenden elektrischen Feld und der Reaktion der Elektronenbewegung eine Zeitverzögerung (Phasenverschiebung) besteht. ^{[ 5 ]}

Die Verschiebung induziert ein Dipolmoment , gegeben durch ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {r} (\omega )={\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}$$

Hier ist die Polarisierbarkeit eines einzelnen Oszillators gegeben durch ${\displaystyle {\hat {\alpha }}(\omega )}$$${\displaystyle {\hat {\alpha }}(\omega )={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }}.}$$

Es lassen sich drei unterschiedliche Streuregime interpretieren, die dem dominanten Nennerterm im Dipolmoment entsprechen: ^{[ 6 ]}

Regime	Zustand	Dispersionsskalierung	Phasenverschiebung
Thomson-Streuung	${\displaystyle \omega ^{2}\gg {\frac {\omega }{\tau }},\omega _{0}^{2}}$	${\displaystyle 1}$	0°
Shneider-Miles-Streuung	${\displaystyle {\frac {\omega }{\tau }}\gg |\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}|}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	90°
Rayleigh-Streuung	${\displaystyle \omega _{0}^{2}\gg \omega ^{2},{\frac {\omega }{\tau }}}$	${\displaystyle \omega ^{4}}$	180°

Die Polarisation ist das Dipolmoment pro Volumeneinheit. Bei makroskopischen Materialeigenschaften entspricht sie der Ladungsdichte (Elektronendichte) pro Volumeneinheit. Unter der Annahme, dass jedes Elektron das gleiche Dipolmoment besitzt, ergibt sich die Polarisation zu ${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle N}$$${\displaystyle \mathbf {P} =N\mathbf {p} =N{\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}$$

Die elektrische Verschiebung hängt mit der Polarisationsdichte zusammen durch ${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$$${\displaystyle \mathbf {D} ={\hat {\varepsilon }}\mathbf {E} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} =(1+4\pi N{\hat {\alpha }})\mathbf {E} .}$$

Die komplexe dielektrische Funktion ist (in Gaußschen Einheiten ): wobei man definieren kann , was das Quadrat der sogenannten Plasmafrequenz ist . $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=1+{\frac {4\pi Ne^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }},}$$${\displaystyle \omega _{p}^{2}\equiv {\frac {4\pi Ne^{2}}{m}}}$

In der Praxis wird das Modell üblicherweise modifiziert, um mehrere in einem Medium vorhandene Absorptionsmechanismen zu berücksichtigen. Diese modifizierte Version ist in ^{[ 8 ]} angegeben, wobei und $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}\chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j}),}$$$${\displaystyle \chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})={\frac {s_{j}}{\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}-i\Gamma _{j}\omega }},}$$

• ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$ist der Wert der dielektrischen Funktion bei unendlicher Frequenz, der als anpassbarer Parameter verwendet werden kann, um Absorptionsmechanismen bei hohen Frequenzen zu berücksichtigen;
• ${\displaystyle s_{j}=\omega _{p}^{2}f_{j}}$und steht in Zusammenhang mit der Stärke des Absorptionsmechanismus;${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \Gamma _{j}=1/\tau }$Die

Trennung der Real- und Imaginärteile, $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )+i\varepsilon _{2}(\omega )=\left[\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}{\frac {s_{j}(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2})}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]+i\left[\sum _{j}{\frac {s_{j}(\Gamma _{j}\omega )}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right].}$$

Die komplexe optische Leitfähigkeit ist im Allgemeinen mit der komplexen dielektrischen Funktion (in Gaußschen Einheiten ) wie folgt verknüpft:$${\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {\omega }{4\pi i}}\left({\hat {\varepsilon }}(\omega )-1\right).}$$

Durch Einsetzen der Formel in die obige Gleichung erhalten wir ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )}$$${\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\omega }{\omega /\tau +i\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)}}.}$$

Die Trennung der Real- und Imaginärteile ergibt $${\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )=\sigma _{1}(\omega )+i\sigma _{2}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\frac {\omega ^{2}}{\tau }}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}-i{\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)\omega }{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}.}$$

• Cauchy-Gleichung
• Sellmeier-Gleichung
• Forouhi-Bloomer-Modell
• Tauc-Lorentz-Modell
• Brendel-Bormann-Oszillatormodell