Kuchennummer

In der Mathematik bezeichnet die Kuchenzahl , abgekürzt C_{_n} , die maximale Anzahl an Bereichen, in die ein dreidimensionaler Würfel durch genau n Ebenen unterteilt werden kann . Die Kuchenzahl wird so genannt, weil man sich jede Unterteilung des Würfels durch eine Ebene wie einen Schnitt mit einem Messer durch einen würfelförmigen Kuchen vorstellen kann . Sie ist das dreidimensionale Analogon zur „ Lazy Caterer’s Sequence“ .

Die Werte von C _n für n = 0, 1, 2, ... sind gegeben durch 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, ... (Folge A000125 im OEIS ).

Wenn n ! die Fakultät bezeichnet , bezeichnen wir die Binomialkoeffizienten mit

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(nk)!}},}$

und wir nehmen an, dass n Ebenen zur Unterteilung des Würfels zur Verfügung stehen, dann ist die n -te Kuchenzahl: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\tfrac {1}{6}}\!\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}(n+1)\left(n(n-1)+6\right).}$

Die Kuchenzahlen sind das dreidimensionale Analogon zur zweidimensionalen Folge des faulen Caterers . Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Kuchenzahlen ergibt ebenfalls die Folge des faulen Caterers. ^{[ 1 ]}

Die vierte Spalte des Bernoulli-Dreiecks ( k = 3 ) gibt die Kuchenzahlen für n Schnitte an, wobei n ≥ 3.

Die Folge kann alternativ aus der Summe der ersten vier Glieder jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks abgeleitet werden : ^{[ 2 ]}

k N	0	1	2	3		Summe
0	1	—	—	—		1
1	1	1	—	—		2
2	1	2	1	—		4
3	1	3	3	1		8
4	1	4	6	4		15
5	1	5	10	10		26
6	1	6	15	20		42
7	1	7	21	35		64
8	1	8	28	56		93
9	1	9	36	84		130

In n räumlichen (nicht raumzeitlichen) Dimensionen stellen die Maxwell-Gleichungen verschiedene, unabhängige, reellwertige Gleichungen dar. ${\displaystyle C_{n}}$

• Aufteilung eines Kreises in Flächen (Mosers Kreisproblem)
• Abfolge für faule Caterer
• Pizza-Theorem

• Eric Weisstein. „Raumteilung durch Ebenen“ . MathWorld . Abgerufen am 14. Januar 2021 .
• Eric Weisstein. „Kuchenzahl“ . MathWorld . Abgerufen am 14. Januar 2021 .