Konfirmatorische Faktorenanalyse

In der Statistik ist die konfirmatorische Faktorenanalyse ( CFA ) eine spezielle Form der Faktorenanalyse , die vor allem in der sozialwissenschaftlichen Forschung Anwendung findet. ^{[ 1 ]} Sie dient dazu zu prüfen, ob Messungen eines Konstrukts mit dem Verständnis des Forschers über die Natur dieses Konstrukts (oder Faktors) übereinstimmen. Ziel der konfirmatorischen Faktorenanalyse ist es somit zu testen, ob die Daten zu einem hypothetischen Messmodell passen. Dieses hypothetische Modell basiert auf theoretischen Grundlagen und/oder vorangegangenen analytischen Untersuchungen. ^{[ 2 ]} Die CFA wurde erstmals von Jöreskog (1969) entwickelt ^{[ 3 ]} und hat ältere Methoden zur Analyse der Konstruktvalidität, wie beispielsweise die MTMM-Matrix nach Campbell & Fiske (1959), weiterentwickelt und ersetzt . ^{[ 4 ]}

In der konfirmatorischen Faktorenanalyse entwickelt der Forscher zunächst eine Hypothese darüber, welche Faktoren den verwendeten Messinstrumenten zugrunde liegen (z. B. „ Depression “ als Faktor im Beck-Depressions-Inventar und der Hamilton-Depressionsskala ). Basierend auf diesen a priori Hypothesen kann er das Modell einschränken. Durch diese Einschränkungen wird sichergestellt, dass das Modell mit der Theorie übereinstimmt. Wird beispielsweise angenommen, dass zwei Faktoren die Kovarianz der Messinstrumente erklären und diese Faktoren voneinander unabhängig sind, kann der Forscher ein Modell erstellen, in dem die Korrelation zwischen Faktor A und Faktor B auf null gesetzt wird. Anschließend können Gütemaße ermittelt werden, um zu beurteilen, wie gut das vorgeschlagene Modell die Kovarianz zwischen allen Items oder Messinstrumenten erfasst. Stimmen die vom Forscher auferlegten Einschränkungen nicht mit den Stichprobendaten überein, deuten die Ergebnisse statistischer Gütetests auf eine schlechte Modellanpassung hin, und das Modell wird verworfen. Eine schlechte Anpassung kann darauf zurückzuführen sein, dass einige Items mehrere Faktoren messen. Es könnte auch sein, dass einige Elemente innerhalb eines Faktors stärker miteinander in Beziehung stehen als andere.

Für einige Anwendungen wurde die Forderung nach „Nullladungen“ (für Indikatoren, die nicht auf einem bestimmten Faktor laden sollen) als zu streng angesehen. Eine neu entwickelte Analysemethode, das „explorative Strukturgleichungsmodell“, spezifiziert Hypothesen über die Beziehung zwischen beobachteten Indikatoren und ihren vermuteten primären latenten Faktoren und ermöglicht gleichzeitig die Schätzung von Ladungen mit anderen latenten Faktoren. ^{[ 5 ]}

In der konfirmatorischen Faktorenanalyse untersuchen Forschende typischerweise, inwieweit die Antworten auf einen p x 1-Vektor beobachtbarer Zufallsvariablen dazu genutzt werden können, einer oder mehreren unbeobachteten Variablen einen Wert zuzuordnen . Die Untersuchung erfolgt im Wesentlichen durch die Schätzung und Bewertung der Ladung jedes Items, das Aspekte der unbeobachteten latenten Variable erfasst. Das heißt, y[i] ist der Vektor der beobachteten Antworten, die durch die unbeobachtete latente Variable vorhergesagt werden , welche wie folgt definiert ist: ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle Y=\Lambda \xi +\epsilon }$,

Dabei ist der p x 1-Vektor der beobachteten Zufallsvariablen, sind die unbeobachteten latenten Variablen und ist eine p x k- Matrix mit k = der Anzahl der latenten Variablen. ^{[ 6 ]} Da unvollkommene Maße für sind , besteht das Modell auch aus Fehlern, . Schätzungen im Maximum-Likelihood-Fall (ML) werden durch iterative Minimierung der Anpassungsfunktion generiert. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle F_{\mathrm {ML} }=\ln |\Lambda \Omega \Lambda {'}+I-\operatorname {diag} (\Lambda \Omega \Lambda {'})|+\operatorname {tr} (R(\Lambda \Omega \Lambda {'}+I-\operatorname {diag} (\Lambda \Omega \Lambda {'}))^{-1})-\ln(R)-p}$

Dabei ist die durch das vorgeschlagene Faktorenanalysemodell implizierte Varianz-Kovarianz-Matrix und die beobachtete Varianz-Kovarianz-Matrix. ^{[ 6 ]} Das heißt, es werden Werte für freie Modellparameter gefunden, die die Differenz zwischen der modellimplizierten und der beobachteten Varianz-Kovarianz-Matrix minimieren. ${\displaystyle \Lambda \Omega \Lambda {'}+I-\operatorname {diag} (\Lambda \Omega \Lambda {'})}$${\displaystyle R}$

Obwohl zahlreiche Algorithmen zur Schätzung von CFA-Modellen verwendet wurden, bleibt die Maximum-Likelihood-Schätzung (ML) das primäre Schätzverfahren. ^{[ 7 ]} Allerdings werden CFA-Modelle häufig auf Datenbedingungen angewendet, die von den theoretischen Voraussetzungen für eine gültige ML-Schätzung abweichen. So schätzen Sozialwissenschaftler beispielsweise oft CFA-Modelle mit nicht normalverteilten Daten und Indikatoren, die mit diskreten geordneten Kategorien skaliert sind. ^{[ 8 ]} Dementsprechend wurden alternative Algorithmen entwickelt, die den vielfältigen Datenbedingungen in der angewandten Forschung Rechnung tragen. Diese alternativen Schätzer lassen sich in zwei Haupttypen unterteilen: (1) robuste Schätzer und (2) Schätzer mit beschränkter Information. ^{[ 9 ]}

Wird maschinelles Lernen (ML) auf Daten angewendet, die von den Annahmen der Normalverteilungstheorie abweichen, können konfirmatorische Faktorenanalysen (CFA) zu verzerrten Parameterschätzungen und irreführenden Schlussfolgerungen führen. ^{[ 10 ] Robuste Schätzungen versuchen typischerweise, dieses Problem durch Anpassung des χ²} -Werts und der Standardfehler des Normalverteilungsmodells zu beheben . ^{[ 9 ]} Satorra und Bentler (1994) empfahlen beispielsweise, ML-Schätzungen wie üblich durchzuführen und anschließend den χ²-Wert des Modells durch ein Maß für den Grad der multivariaten Kurtosis zu dividieren ^. [ 11 ] ^{Ein weiterer Vorteil} robuster ML-Schätzer ist ihre Verfügbarkeit in gängiger Strukturgleichungsmodellierungssoftware (z. B. LAVAAN). ^{[ 12 ]}

Leider können robuste Maximum-Likelihood-Schätzer unter gängigen Datenbedingungen unbrauchbar werden. Insbesondere wenn Indikatoren mit wenigen Antwortkategorien skaliert werden (z. B. „Stimme nicht zu“ , „Neutral“ , „ Stimme zu“ ), schneiden robuste Maximum-Likelihood-Schätzer tendenziell schlecht ab. ^{[ 10 ]} Schätzer mit begrenzter Information, wie z. B. die gewichtete Kleinste-Quadrate- Schätzung (WLS), sind wahrscheinlich die bessere Wahl, wenn manifeste Indikatoren ordinal skaliert sind. ^{[ 13 ]} Im Allgemeinen berücksichtigen Schätzer mit begrenzter Information ordinale Indikatoren, indem sie polychorische Korrelationen zur Anpassung von CFA-Modellen verwenden. ^{[ 14 ]} Polychorische Korrelationen erfassen die Kovarianz zwischen zwei latenten Variablen, wenn nur deren kategorisierte Form beobachtet wird. Dies wird hauptsächlich durch die Schätzung von Schwellenwertparametern erreicht. ^{[ 15 ]}

Sowohl die explorative Faktorenanalyse (EFA) als auch die konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) dienen dazu, die gemeinsame Varianz gemessener Variablen zu verstehen, die einem Faktor oder latenten Konstrukt zugeschrieben wird. Trotz dieser Ähnlichkeit sind EFA und CFA jedoch konzeptionell und statistisch unterschiedliche Analyseverfahren.

Ziel der explorativen Faktorenanalyse (EFA) ist es, datenbasierte Faktoren zu identifizieren und die erklärte Varianz zu maximieren. ^{[ 16 ]} Forschende müssen keine spezifischen Hypothesen darüber aufstellen, wie viele Faktoren sich ergeben und welche Items oder Variablen diese Faktoren umfassen. Falls solche Hypothesen existieren, werden sie nicht in die statistischen Analysen einbezogen und beeinflussen deren Ergebnisse nicht. Im Gegensatz dazu überprüft die konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) a priori formulierte Hypothesen und ist weitgehend theoriegeleitet. CFA-Analysen erfordern, dass Forschende im Voraus Hypothesen über die Anzahl der Faktoren, deren Korrelation und die Zuordnung von Items/Messgrößen zu den Faktoren aufstellen. ^{[ 17 ]} Im Gegensatz zur explorativen Faktorenanalyse , bei der alle Ladungen frei variieren können, erlaubt die CFA die explizite Festlegung, dass bestimmte Ladungen null sein müssen.

Die explorative Faktorenanalyse (EFA) gilt in frühen Phasen der Skalenentwicklung oft als geeigneter als die konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA), da die CFA nicht aufzeigt, wie gut die Items auf den nicht hypothesierten Faktoren laden. ^{[ 18 ]} Ein weiteres starkes Argument für den anfänglichen Einsatz der EFA ist, dass eine Fehlbestimmung der Faktorenanzahl in einem frühen Stadium der Skalenentwicklung typischerweise nicht durch die konfirmatorische Faktorenanalyse aufgedeckt wird. In späteren Phasen der Skalenentwicklung können konfirmatorische Verfahren durch den expliziten Vergleich konkurrierender Faktorstrukturen mehr Informationen liefern. ^{[ 18 ]}

Die explorative Faktorenanalyse (EFA) wird in der Forschung mitunter angewendet, obwohl die konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) ein besserer statistischer Ansatz wäre. ^{[ 19 ]} Es wurde argumentiert, dass die CFA restriktiv und ungeeignet sein kann, wenn sie explorativ eingesetzt wird. ^{[ 20 ]} Die Annahme, dass die CFA ausschließlich eine „konfirmatorische“ Analyse darstellt, kann jedoch irreführend sein, da die in der CFA verwendeten Modifikationsindizes einen gewissen explorativen Charakter haben. Modifikationsindizes zeigen die Verbesserung der Modellgüte, wenn ein bestimmter Koeffizient nicht mehr beschränkt ist. ^{[ 21 ]} Ebenso wenig schließen sich EFA und CFA gegenseitig aus; die EFA kann eine sinnvolle Ergänzung zu einem schlecht passenden CFA-Modell sein. ^{[ 22 ]}

Software zur Strukturgleichungsmodellierung (SEM ) wird typischerweise für die konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) verwendet. ^Gängige Softwareprogramme sind LISREL [ ^{23 ]} , EQS ^{[ 24 ]} , AMOS ^{[ 25 ]} , Mplus ^{[ 26 ]} , Jamovi ^{[ 27 ]} und das R-Paket LAVAAN ^{[ 28 ] . Auch das Python-Paket semopy 2 [ 29 ]} ist verfügbar. CFA wird häufig als erster Schritt zur Beurteilung des vorgeschlagenen Messmodells in einem SEM eingesetzt. Viele der Interpretationsregeln zur Beurteilung der Modellpassung und Modellmodifikation in der SEM gelten gleichermaßen für die CFA. CFA unterscheidet sich von der SEM dadurch, dass in der CFA keine gerichteten Pfeile zwischen latenten Faktoren existieren . Anders ausgedrückt: Während in der CFA nicht angenommen wird, dass Faktoren einander direkt verursachen, spezifiziert die SEM häufig bestimmte Faktoren und Variablen als kausal. Im Kontext der Strukturgleichungsmodellierung (SEM) wird die konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) oft als „Messmodell“ bezeichnet, während die Beziehungen zwischen den latenten Variablen (mit gerichteten Pfeilen) als „Strukturmodell“ bezeichnet werden.

In der konfirmatorischen Faktorenanalyse (CFA) werden verschiedene statistische Tests verwendet, um die Güte der Modellanpassung an die Daten zu bestimmen. ^{[ 16 ]} Es ist wichtig zu beachten, dass eine gute Anpassung zwischen Modell und Daten nicht bedeutet, dass das Modell „korrekt“ ist oder einen großen Teil der Kovarianz erklärt. Eine „gute Modellanpassung“ deutet lediglich darauf hin, dass das Modell plausibel ist. ^{[ 30 ]} Bei der Berichterstattung über die Ergebnisse einer konfirmatorischen Faktorenanalyse wird empfohlen, Folgendes anzugeben: a) die vorgeschlagenen Modelle, b) alle vorgenommenen Modifikationen, c) die Messinstrumente zur Identifizierung der einzelnen latenten Variablen, d) Korrelationen zwischen latenten Variablen, e) alle weiteren relevanten Informationen, z. B. ob Restriktionen verwendet wurden. ^{[ 31 ]} Hinsichtlich der Auswahl der zu berichtenden Kennzahlen zur Modellanpassung sollte man nicht einfach die Kennzahlen angeben, die die beste Anpassung schätzen, auch wenn dies verlockend sein mag. Obwohl es verschiedene Meinungen gibt, empfiehlt Kline (2010) die Angabe des Chi-Quadrat-Tests , des Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA), des Comparative Fit Index (CFI) und des Standardized Root Mean Square Residual (SRMR). ^{[ 1 ]}

Absolute Anpassungsgüteindizes bestimmen, wie gut das a priori Modell die Daten abbildet bzw. reproduziert. ^{[ 32 ]} Zu den absoluten Anpassungsgüteindizes gehören unter anderem der Chi-Quadrat-Test, RMSEA, GFI, AGFI, RMR und SRMR. ^{[ 33 ]}

Der Chi-Quadrat-Test gibt die Differenz zwischen beobachteten und erwarteten Kovarianzmatrizen an . Werte nahe null deuten auf eine bessere Anpassung hin; eine geringere Differenz zwischen erwarteten und beobachteten Kovarianzmatrizen ist zu erwarten. ^{[ 21 ]} Chi-Quadrat-Statistiken können auch verwendet werden, um die Anpassung verschachtelter Modelle direkt an die Daten zu vergleichen. Eine Schwierigkeit des Chi-Quadrat-Tests zur Beurteilung der Modellanpassung besteht jedoch darin, dass Forschende bei kleinen Stichprobenumfängen ein ungeeignetes Modell möglicherweise nicht verwerfen und bei großen Stichprobenumfängen ein geeignetes Modell verwerfen. ^{[ 21 ]} Daher wurden andere Anpassungsmaße entwickelt.

Der Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA) umgeht Probleme der Stichprobengröße, indem er die Diskrepanz zwischen dem hypothetischen Modell mit optimal gewählten Parameterschätzungen und der Populationskovarianzmatrix analysiert. ^{[ 33 ]} Der RMSEA-Wert liegt zwischen 0 und 1, wobei kleinere Werte eine bessere Modellanpassung anzeigen. Ein Wert von 0,06 oder weniger deutet auf eine akzeptable Modellanpassung hin. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Der mittlere quadratische Residuenwert (RMR) und der standardisierte mittlere quadratische Residuenwert (SRMR) entsprechen der Quadratwurzel der Abweichung zwischen der Kovarianzmatrix der Stichprobe und der Kovarianzmatrix des Modells. ^{[ 33 ]} Die Interpretation des RMR kann jedoch etwas schwierig sein, da sein Wertebereich von den Skalen der Indikatoren im Modell abhängt (dies wird problematisch, wenn mehrere Indikatoren mit unterschiedlichen Skalen vorliegen; z. B. zwei Fragebögen, einer mit einer Skala von 0–10, der andere mit einer Skala von 1–3). ^{[ 1 ]} Der standardisierte mittlere quadratische Residuenwert beseitigt diese Interpretationsschwierigkeit und liegt zwischen 0 und 1, wobei ein Wert von 0,08 oder weniger auf ein akzeptables Modell hinweist. ^{[ 34 ]}

Der Güteindex (GFI) misst die Übereinstimmung zwischen dem hypothetischen Modell und der beobachteten Kovarianzmatrix. Der adjustierte Güteindex (AGFI) korrigiert den GFI, der von der Anzahl der Indikatoren jeder latenten Variable beeinflusst wird. GFI und AGFI liegen zwischen 0 und 1, wobei ein Wert über 0,9 im Allgemeinen eine akzeptable Modellanpassung anzeigt. ^{[ 36 ]}

Relative Anpassungsindizes (auch „inkrementelle Anpassungsindizes“ ^{[ 37 ]} und „vergleichende Anpassungsindizes“ ^{[ 38 ]} genannt ) vergleichen den Chi-Quadrat-Wert des hypothetischen Modells mit dem eines Nullmodells oder Basismodells. ^{[ 32 ]} Dieses Nullmodell enthält fast immer ein Modell, in dem alle Variablen unkorreliert sind und daher einen sehr hohen Chi-Quadrat-Wert aufweisen (was auf eine schlechte Anpassung hindeutet). ^{[ 33 ]} Zu den relativen Anpassungsindizes gehören der normierte Anpassungsindex und der vergleichende Anpassungsindex.

Der normierte Fit-Index (NFI) analysiert die Diskrepanz zwischen dem Chi-Quadrat-Wert des hypothetischen Modells und dem Chi-Quadrat-Wert des Nullmodells. ^{[ 39 ]} Allerdings ist der NFI tendenziell negativ verzerrt. ^{[ 38 ]} Der nicht-normierte Fit-Index (NNFI; auch bekannt als Tucker-Lewis-Index, da er auf einem 1973 von Tucker und Lewis entwickelten Index basiert ^{[ 40 ]} ) behebt einige Probleme der negativen Verzerrung, obwohl NNFI-Werte gelegentlich außerhalb des Bereichs von 0 bis 1 liegen können. ^{[ 38 ]} Die Werte für NFI und NNFI sollten zwischen 0 und 1 liegen, wobei ein Wert von 0,95 oder höher auf eine gute Modellanpassung hinweist. ^{[ 41 ]}

Der Comparative Fit Index (CFI) analysiert die Modellpassung, indem er die Diskrepanz zwischen den Daten und dem hypothetischen Modell untersucht und dabei die im Chi-Quadrat-Test zur Modellpassung inhärenten Probleme der Stichprobengröße ^{[ 21 ]} sowie des normierten Fit Index ^{[ 38 ]} berücksichtigt. CFI-Werte liegen zwischen 0 und 1, wobei höhere Werte eine bessere Passung anzeigen. Früher galt ein CFI-Wert von 0,90 oder höher als Indikator für eine akzeptable Modellpassung ^{[ 41 ]} . Eine Studie aus dem Jahr 1999 zeigte jedoch, dass ein Wert über 0,90 erforderlich ist, um sicherzustellen, dass falsch spezifizierte Modelle nicht als akzeptabel gelten ^{[ 41 ]} . Daher wird heute ein CFI-Wert von 0,95 oder höher als Indikator für eine gute Passung akzeptiert.

Um die Parameter eines Modells zu schätzen, muss das Modell korrekt identifiziert sein. Das heißt, die Anzahl der geschätzten (unbekannten) Parameter ( q ) muss kleiner oder gleich der Anzahl der eindeutigen Varianzen und Kovarianzen der gemessenen Variablen sein; p ( p +1)/2. Diese Gleichung ist als „t-Regel“ bekannt. Stehen zu wenige Informationen zur Verfügung, um die Parameterschätzungen zu stützen, spricht man von einem unteridentifizierten Modell, und die Modellparameter können nicht angemessen geschätzt werden. ^{[ 42 ]}

• Faktorenanalyse
• Exploratorische Faktorenanalyse
• Latent-Variable-Modell
• Messinvarianz
• Strukturgleichungsmodellierung

• Brown, TA (2006). Konfirmatorische Faktorenanalyse für die angewandte Forschung . New York: Guilford.
• DiStefano, C., & Hess, B. (2005). Die Anwendung der konfirmatorischen Faktorenanalyse zur Konstruktvalidierung: Ein empirischer Überblick. Journal of Psychoeducational Assessment , 23 , 225-241.
• Harrington, D. (2009). Konfirmatorische Faktorenanalyse. New York: Oxford University Press.
• Maruyama, GM (1998). Grundlagen der Strukturgleichungsmodellierung . Thousand Oaks, CA: Sage.

• Zentrum für statistisches und mathematisches Rechnen an der Indiana University