Abdeckungswahrscheinlichkeit

In der statistischen Schätztheorie bezeichnet die Überdeckungswahrscheinlichkeit ( kurz: Coverage ) die Wahrscheinlichkeit , dass ein Konfidenzintervall oder Konfidenzbereich den wahren Wert (Parameter) des interessierenden Parameters enthält . Sie kann als der Anteil der Fälle definiert werden, in denen das Intervall den wahren Wert umschließt, wie durch die langfristige Häufigkeit ermittelt . ^{[ 1 ]}

In der statistischen Vorhersage bezeichnet die Überdeckungswahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit , dass ein Vorhersageintervall einen Wert der Zufallsvariablen außerhalb der Stichprobe enthält . Die Überdeckungswahrscheinlichkeit kann als der Anteil der Fälle definiert werden , in denen das Intervall einen Wert außerhalb der Stichprobe umschließt, wie durch die langfristige Häufigkeit ermittelt . ^{[ 2 ]}

Der vom Analysten vorab festgelegte Grad an Sicherheit , das sogenannte Konfidenzniveau bzw. der Konfidenzkoeffizient des konstruierten Intervalls, entspricht der nominalen Überdeckungswahrscheinlichkeit des Verfahrens zur Konstruktion von Konfidenzintervallen. Daher ist die Verwendung von Begriffen wie „nominales Konfidenzniveau“ oder „nominaler Konfidenzkoeffizient“ (z. B. synonym mit nominaler Überdeckungswahrscheinlichkeit ) im Allgemeinen als tautologisch und irreführend zu betrachten , da der Begriff des Konfidenzniveaus selbst bereits Nominalität impliziert . ^{[ a ]} Die nominale Überdeckungswahrscheinlichkeit wird häufig auf 0,95 festgelegt. Die (wahre) Überdeckungswahrscheinlichkeit hingegen ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass das Intervall den Parameter enthält.

Sind alle Annahmen zur Berechnung eines Konfidenzintervalls erfüllt, entspricht die nominale Überdeckungswahrscheinlichkeit der tatsächlichen Überdeckungswahrscheinlichkeit (zur Verdeutlichung auch „wahre“ oder „tatsächliche“ Überdeckungswahrscheinlichkeit genannt). Sind Annahmen nicht erfüllt, kann die tatsächliche Überdeckungswahrscheinlichkeit kleiner oder größer als die nominale sein. Ist die tatsächliche Überdeckungswahrscheinlichkeit größer als die nominale, spricht man von einem konservativen (Konfidenz-)Intervall ; ist sie kleiner, von einem antikonservativen oder permissiven Intervall . Angenommen, es geht beispielsweise um die durchschnittliche Anzahl an Monaten, die Patienten mit einer bestimmten Krebsart nach erfolgreicher Chemotherapie in Remission bleiben . Das Konfidenzintervall soll die unbekannte durchschnittliche Remissionsdauer mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit enthalten. In diesem Beispiel wäre die Überdeckungswahrscheinlichkeit die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass das Intervall die wahre durchschnittliche Remissionsdauer enthält.

Eine Diskrepanz zwischen der tatsächlichen und der nominalen Überdeckungswahrscheinlichkeit tritt häufig auf, wenn eine diskrete Verteilung durch eine stetige approximiert wird . Die Konstruktion von Binomial-Konfidenzintervallen ist ein klassisches Beispiel dafür, dass die Überdeckungswahrscheinlichkeiten selten den nominalen Werten entsprechen. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Für den Binomialfall wurden verschiedene Techniken zur Intervallkonstruktion entwickelt. Das Wilson-Score-Intervall ist eine bekannte Konstruktion, die auf der Normalverteilung basiert . Weitere Konstruktionen sind das Wald-, das exakte, das Agresti-Coull- und das Likelihood-Intervall. Obwohl das Wilson-Score-Intervall möglicherweise nicht die konservativste Schätzung darstellt, liefert es durchschnittliche Überdeckungswahrscheinlichkeiten, die den nominalen Werten entsprechen, und gleichzeitig ein vergleichsweise enges Konfidenzintervall.

Die „Wahrscheinlichkeit“ in der Überdeckungswahrscheinlichkeit wird im Hinblick auf eine Reihe hypothetischer Wiederholungen des gesamten Datenerfassungs- und Analyseverfahrens interpretiert. In diesen hypothetischen Wiederholungen werden unabhängige Datensätze betrachtet, die derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung wie die tatsächlichen Daten folgen, und aus jedem dieser Datensätze wird ein Konfidenzintervall berechnet (siehe Neyman-Konstruktion) . Die Überdeckungswahrscheinlichkeit ist der Anteil dieser berechneten Konfidenzintervalle, die den gewünschten, aber nicht beobachtbaren Parameterwert enthalten.

Bei der Schätzung spricht man von Wahrscheinlichkeitsübereinstimmung, wenn die Überdeckungswahrscheinlichkeit der nominalen Überdeckungswahrscheinlichkeit entspricht. ^{[ 6 ]}

Bei Vorhersagen spricht man von einer Übereinstimmung der Vorhersagewahrscheinlichkeit mit der nominalen Vorhersagewahrscheinlichkeit. ^{[ 2 ]}

Die Konstruktion des Konfidenzintervalls gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeit, den wahren Parameter im stichprobenabhängigen Intervall zu finden , (mindestens) beträgt : ${\displaystyle \vartheta }$${\displaystyle (T_{u},T_{v})}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle P\left(T_{u}\leq \vartheta \leq T_{v}\right)\geq \gamma \quad ({\text{für jeden zulässigen Parameter }}\vartheta )}$

• Konfidenzintervall für Binomialanteile
• Konfidenzverteilung
• Falsche Deckungsrate
• Intervallschätzung