Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind mathematische Operatoren mit vielfältigen Anwendungen in der Quantenmechanik , insbesondere bei der Untersuchung von harmonischen Quantenoszillatoren und Vielteilchensystemen. ^{[ 1 ]} Ein Vernichtungsoperator (üblicherweise mit ) verringert die Anzahl der Teilchen in einem gegebenen Zustand um eins. Ein Erzeugungsoperator (üblicherweise mit ) erhöht die Anzahl der Teilchen in einem gegebenen Zustand um eins und ist die Adjungierte des Vernichtungsoperators. In vielen Teilgebieten der Physik und Chemie wird die Verwendung dieser Operatoren anstelle von Wellenfunktionen als zweite Quantisierung bezeichnet . Sie wurden von Paul Dirac eingeführt . ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren können auf Zustände verschiedener Teilchenarten wirken. Beispielsweise wirken sie in der Quantenchemie und Vielteilchentheorie häufig auf Elektronenzustände . Sie können sich auch speziell auf die Leiteroperatoren des quantenmechanischen harmonischen Oszillators beziehen . In diesem Fall wird der Erzeugungsoperator als Erhöhungsoperator interpretiert, der dem Oszillatorsystem ein Energiequant hinzufügt (analog zum Vernichtungsoperator). Sie können zur Darstellung von Phononen verwendet werden . Die Konstruktion von Hamiltonoperatoren mithilfe dieser Operatoren hat den Vorteil, dass die Theorie automatisch den Cluster-Zerlegungssatz erfüllt . ^{[ 3 ]}

Die Mathematik der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Bosonen ist dieselbe wie die der Leiteroperatoren des quantenmechanischen harmonischen Oszillators . ^{[ 4 ]} Beispielsweise ist der Kommutator der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die zum selben Bosonenzustand gehören, gleich eins, während alle anderen Kommutatoren verschwinden. Bei Fermionen hingegen ist die Mathematik anders; hier kommen Antikommutatoren anstelle von Kommutatoren zum Einsatz. ^{[ 5 ]}

Im Kontext des quantenmechanischen harmonischen Oszillators werden die Leiteroperatoren als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren neu interpretiert, die dem Oszillatorsystem feste Energiequanten hinzufügen oder subtrahieren.

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren unterscheiden sich für Bosonen (ganzzahliger Spin) und Fermionen ( halbzahliger Spin). Dies liegt daran, dass ihre Wellenfunktionen unterschiedliche Symmetrieeigenschaften aufweisen .

Betrachten wir zunächst den einfacheren bosonischen Fall der Photonen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Beginnen wir mit der Schrödingergleichung für den eindimensionalen, zeitunabhängigen quantenmechanischen harmonischen Oszillator . $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

Führe eine Koordinatensubstitution durch, um die Differentialgleichung zu dimensionslos zu machen.$${\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}$$

Die Schrödingergleichung für den Oszillator lautet $${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Beachten Sie, dass es sich bei der Größe um dieselbe Energie handelt wie bei Lichtquanten und dass die Klammern im Hamiltonoperator wie folgt geschrieben werden können: ${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}.}$$

Die letzten beiden Terme lassen sich vereinfachen, indem man ihre Auswirkung auf eine beliebige differenzierbare Funktion betrachtet.${\displaystyle f(q),}$

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}$$ was, übereinstimmend mit der üblichen kanonischen Kommutationsrelation , in der Ortsraumdarstellung impliziert: . $${\displaystyle {\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,}$$${\displaystyle -i[q,p]=1}$${\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}$

Daher lautet die Schrödingergleichung für den Oszillator nach Einsetzen der obigen Gleichung und Umformung des Faktors 1/2: $${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}$$$${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$$

Definiert man als „Erzeugungsoperator“ oder „Erhöhungsoperator“ und als „Vernichtungsoperator“ oder „Vernichtungsoperator“ , so reduziert sich die Schrödingergleichung für den Oszillator auf die folgende Form: Diese ist deutlich einfacher als die ursprüngliche Form. Weitere Vereinfachungen dieser Gleichung ermöglichen es, alle bisher genannten Eigenschaften abzuleiten. $${\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$$${\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)}$$$${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Setzt man , wobei der dimensionslose Impulsoperator ist , so erhält man ${\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle [q,p]=i\,}$$ Und $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}$$

Beachten Sie, dass diese Folgendes implizieren $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$$

Die Operatoren und können den normalen Operatoren gegenübergestellt werden , die mit ihren Adjungierten kommutieren. ^{[ nb 1 ]}${\displaystyle a\,}$${\displaystyle a^{\dagger }\,}$

Unter Verwendung der oben angegebenen Kommutierungsrelationen kann der Hamilton-Operator wie folgt ausgedrückt werden: $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}$$

Man kann die Kommutatorrelationen zwischen den Operatoren und dem Hamiltonoperator berechnen: ^{[ 6 ]}${\displaystyle a\,}$${\displaystyle a^{\dagger }\,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

Mithilfe dieser Beziehungen lassen sich alle Energieeigenzustände des quantenmechanischen harmonischen Oszillators auf einfache Weise wie folgt bestimmen.

Unter der Annahme, dass es sich um einen Eigenzustand des Hamiltonoperators handelt , folgt unter Verwendung dieser Kommutatorrelationen, dass ^{[ 6 ]}${\displaystyle \psi _{n}}$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}$$

Dies zeigt, dass und ebenfalls Eigenzustände des Hamiltonoperators sind, mit den Eigenwerten bzw. . Dadurch werden die Operatoren und als „Absenkungs“- bzw. „Anhebungs“-Operatoren zwischen benachbarten Eigenzuständen identifiziert. Die Energiedifferenz zwischen benachbarten Eigenzuständen beträgt . ${\displaystyle a\psi _{n}}$${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }$

Der Grundzustand lässt sich finden, indem man annimmt, dass der Absenkungsoperator einen nichttrivialen Kern besitzt: mit . Wendet man den Hamiltonoperator auf den Grundzustand an, ${\displaystyle a\,\psi _{0}=0}$${\displaystyle \psi _{0}\neq 0}$

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$$ So ist eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators. ${\displaystyle \psi _{0}}$

Dies liefert die Grundzustandsenergie , mit der man den Energieeigenwert eines beliebigen Eigenzustands bestimmen kann [ ^{6 ] .}${\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}$${\displaystyle \psi _{n}}$$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

Darüber hinaus stellt sich heraus, dass der erstgenannte Operator in (*), der Zahloperator , die wichtigste Rolle in den Anwendungen spielt, während der zweite einfach durch ersetzt werden kann . ${\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}$${\displaystyle aa^{\dagger }\,}$${\displaystyle N+1}$

Folglich, $${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}$$

Der Zeitentwicklungsoperator ist dann $${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}$$

Der Grundzustand des quantenmechanischen harmonischen Oszillators kann gefunden werden, indem man die Bedingung stellt, dass ${\displaystyle \ \psi _{0}(q)}$$${\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}$$

Ausgeschrieben als Differentialgleichung erfüllt die Wellenfunktion die folgende Lösung: $${\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}$$$${\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).}$$

Die Normierungskonstante C ergibt sich aus , unter Verwendung des Gaußschen Integrals . Explizite Formeln für alle Eigenfunktionen können nun durch wiederholte Anwendung von auf gefunden werden . ^{[ 7 ]}${\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}$${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle \psi _{0}}$

Der Matrixausdruck der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren des quantenmechanischen harmonischen Oszillators bezüglich der obigen orthonormalen Basis lautet $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Diese können über die Beziehungen und erhalten werden . Die Eigenvektoren sind diejenigen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators und werden manchmal als „Zahlenbasis“ bezeichnet. ${\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle }$${\displaystyle a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle }$${\displaystyle \psi _{i}}$

Dank der Darstellungstheorie und C*-Algebren stellen die oben hergeleiteten Operatoren einen Spezialfall eines allgemeineren Begriffs von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im Kontext von CCR- und CAR-Algebren dar . Mathematisch und allgemeiner lassen sich Leiteroperatoren im Kontext eines Wurzelsystems einer halbeinfachen Lie-Gruppe und der zugehörigen halbeinfachen Lie-Algebra verstehen , ohne dass die Darstellung als Operatoren auf einem funktionalen Hilbertraum realisiert werden muss . ^{[ 8 ]}

Im Fall der Hilbertraumdarstellung werden die Operatoren wie folgt konstruiert. Sei ein Einteilchen- Hilbertraum (d. h. ein beliebiger Hilbertraum, der den Zustand eines einzelnen Teilchens repräsentiert). ${\displaystyle H}$

Die ( bosonische ) CCR-Algebra über ist die Algebra mit Konjugationsoperator (genannt * ), die abstrakt von Elementen erzeugt wird , wobei frei über läuft , unter den Relationen ${\displaystyle H}$${\displaystyle a(f)}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}}$$ in Bra-Ket-Notation .

Die Abbildung von in die bosonische CCR-Algebra muss komplex antilinear sein (dies führt zu weiteren Relationen). Ihre Adjungierte ist , und die Abbildung ist komplex linear in H. Somit bettet sich als komplexer Vektorunterraum ihrer eigenen CCR-Algebra ein. In einer Darstellung dieser Algebra wird das Element als Vernichtungsoperator und als Erzeugungsoperator realisiert. ${\displaystyle a:f\to a(f)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a(f)}$${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$

Im Allgemeinen ist die CCR-Algebra unendlichdimensional. Bei einer Vervollständigung des Banachraums wird sie zu einer C*-Algebra . Die CCR-Algebra über ist eng mit einer Weyl-Algebra verwandt, aber nicht identisch . ${\displaystyle H}$

Für Fermionen wird die (fermionische) CAR-Algebra über analog konstruiert, jedoch unter Verwendung von Antikommutatorrelationen , nämlich ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}$$

Die CAR-Algebra ist genau dann endlichdimensional, wenn der Raum endlichdimensional ist. Führt man eine Vervollständigung des Banachraums durch (was nur im unendlichdimensionalen Fall notwendig ist), so wird sie zu einer Algebra. Die CAR-Algebra ist eng mit einer Clifford-Algebra verwandt, aber nicht identisch mit ihr . ${\displaystyle H}$${\displaystyle C^{*}}$

Physikalisch gesehen entfernt (d. h. vernichtet) ein Teilchen im Zustand , während ein Teilchen im Zustand erzeugt . ${\displaystyle a(f)}$${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$${\displaystyle |f\rangle }$

Der Vakuumzustand im freien Feld ist der Zustand ohne Teilchen, der sich durch Folgendes auszeichnet: ${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$$${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$$

Wenn so normiert ist, dass , dann gibt dies die Anzahl der Teilchen im Zustand an . ${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$${\displaystyle |f\rangle }$

Die Beschreibung mittels Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren hat sich auch bei der Analyse klassischer Reaktions-Diffusions-Gleichungen als nützlich erwiesen, beispielsweise bei der Diffusion und Wechselwirkung eines Molekülgases unter Bildung eines inerten Produkts . Um zu verstehen, wie sich diese Art von Reaktion mithilfe des Formalismus der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren beschreiben lässt, betrachten wir Teilchen an einem Ort i eines eindimensionalen Gitters. Jedes Teilchen bewegt sich mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nach rechts oder links, und jedes Teilchenpaar am selben Ort vernichtet sich mit einer anderen Wahrscheinlichkeit. ${\displaystyle A}$${\displaystyle A+A\to \emptyset }$${\displaystyle n_{i}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen den Ort innerhalb des kurzen Zeitraums dt verlässt, ist proportional zu , wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Sprung nach links und für einen Sprung nach rechts beispielsweise beträgt. Alle Teilchen bleiben mit der Wahrscheinlichkeit an Ort und Stelle . (Da dt so kurz ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Teilchen den Ort innerhalb von dt verlassen, sehr gering und wird daher vernachlässigt.) ${\displaystyle n_{i}\,dt}$${\displaystyle \alpha n_{i}dt}$${\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}$

Wir können die Besetzung des Gitters durch Teilchen nun als „Ket“ der Form beschreiben . Es repräsentiert die Juxtaposition (oder Konjunktion oder das Tensorprodukt) der Zahlzustände , , die sich an den einzelnen Gitterplätzen befinden. Erinnern wir uns daran, dass ${\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$${\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }$${\displaystyle |n_{0}\rangle }$${\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }$

$${\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }$$ und für alle n ≥ 0 , während $${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,}$$$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Diese Definition der Operatoren wird nun geändert, um dem „nicht-quantenmechanischen“ Charakter dieses Problems Rechnung zu tragen, und wir werden die folgende Definition verwenden: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}$$

Es ist zu beachten, dass die Operatoren auf den Kets trotz der Änderungen weiterhin der Kommutatorrelation gehorchen. $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Definiere nun so, dass es auf gilt . Definiere entsprechend so, dass es auf gilt . Der Nettoeffekt von besteht beispielsweise darin, ein Teilchen vom -ten zum i -ten Platz zu verschieben und dabei mit dem entsprechenden Faktor zu multiplizieren. ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |n_{i}\rangle }$${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle |n_{i}\rangle }$${\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle (i-1)}$

Dies ermöglicht es, das reine Diffusionsverhalten der Partikel wie folgt zu beschreiben: $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}$$

Der Reaktionsterm lässt sich ableiten, indem man beachtet, dass Teilchen auf unterschiedliche Weise wechselwirken können, sodass die Wahrscheinlichkeit für die Annihilation eines Paares gleich ist , woraus sich ein Term ergibt. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n-1)}$${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$$${\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}$$

wobei der Zahlenzustand n an der Stelle mit einer bestimmten Rate durch den Zahlenzustand n − 2 ersetzt wird.${\displaystyle i}$

So entwickelt sich der Zustand durch $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }$$

Andere Arten von Interaktionen können auf ähnliche Weise einbezogen werden.

Diese Notation ermöglicht die Anwendung quantenfeldtheoretischer Techniken bei der Analyse von Reaktions-Diffusions-Systemen. ^{[ 10 ]}

In Quantenfeldtheorien und Vielteilchenproblemen arbeitet man mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Quantenzuständen . Diese Operatoren verändern die Eigenwerte des Zustandszahloperators um eins, analog zum harmonischen Oszillator. Die Indizes (wie z. B. ) repräsentieren Quantenzahlen , die die Einteilchenzustände des Systems kennzeichnen; daher sind sie nicht notwendigerweise einzelne Zahlen. Beispielsweise wird ein Tupel von Quantenzahlen verwendet, um Zustände im Wasserstoffatom zu kennzeichnen . ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle a_{i}^{\,}}$$${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n,\ell ,m,s)}$

Die Kommutatorrelationen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in einem Mehrbosonensystem lauten , wobei der Kommutator und das Kronecker-Delta ist . $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

Bei Fermionen wird der Kommutator durch den Antikommutator ersetzt . Daher kehrt sich das Vorzeichen um, wenn man disjunkte (d. h. ) Operatoren in einem Produkt von Erzeugungs- oder Vernichtungsoperatoren in Fermionensystemen vertauscht, nicht aber in Bosonensystemen. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}$$${\displaystyle i\neq j}$

Sind die mit i gekennzeichneten Zustände eine Orthonormalbasis eines Hilbertraums H , so stimmt das Ergebnis dieser Konstruktion mit der CCR-Algebra- und CAR-Algebra-Konstruktion aus dem vorletzten Abschnitt überein. Stellen sie hingegen „Eigenvektoren“ dar, die dem kontinuierlichen Spektrum eines Operators entsprechen, wie etwa bei ungebundenen Teilchen in der Quantenfeldtheorie, so ist die Interpretation subtiler.

Während Zee ^{[ 11 ]} die Normierung des Impulsraums über die symmetrische Konvention für Fouriertransformationen erhält , verwenden Tong ^{[ 12 ]} und Peskin & Schroeder ^{[ 13 ]} die übliche asymmetrische Konvention, um zu erhalten . Jeder leitet . ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$${\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

Srednicki integriert außerdem das Lorentz-invariante Maß in sein asymmetrisches Fourier-Maß, , was zu führt . ^{[ 14 ]}${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}$