Zweite Quantisierung

Die zweite Quantisierung , auch Besetzungszahldarstellung genannt , ist ein Formalismus zur Beschreibung und Analyse von Quantenvielteilchensystemen . In der Quantenfeldtheorie ist sie als kanonische Quantisierung bekannt . Dabei werden die Felder (typischerweise die Wellenfunktionen der Materie) als Feldoperatoren betrachtet , analog zur ersten Quantisierung , bei der physikalische Größen (Ort, Impuls usw.) als Operatoren behandelt werden . Die Grundideen dieser Methode wurden 1927 von Paul Dirac [ ^{1 ]} eingeführt und später, insbesondere von Pascual Jordan ^{[ 2 ]} und Vladimir Fock ^{[ 3 , 4 ]} , weiterentwickelt . In diesem Ansatz werden die Quantenvielteilchenzustände in der Fock-Zustandsbasis dargestellt , die durch Auffüllen jedes Einteilchenzustands mit einer bestimmten Anzahl identischer Teilchen konstruiert wird [5]. ^{Der Formalismus der} zweiten Quantisierung führt Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ein ^{, um die Fock -} Zustände zu konstruieren und zu handhaben. Dadurch stellt er nützliche Werkzeuge für die Untersuchung der Quantenvielteilchentheorie bereit.

Ausgangspunkt des Formalismus der zweiten Quantisierung ist die Vorstellung der Ununterscheidbarkeit von Teilchen in der Quantenmechanik. Anders als in der klassischen Mechanik, wo jedes Teilchen durch einen eindeutigen Ortsvektor gekennzeichnet ist und unterschiedliche Konfigurationen der Teilchenmenge verschiedenen Vielteilchenzuständen entsprechen, sind die Teilchen in der Quantenmechanik identisch. Der Austausch zweier Teilchen führt daher nicht zu einem anderen Vielteilchenzustand . Daraus folgt, dass die quantenmechanische Vielteilchen-Wellenfunktion (bis auf einen Phasenfaktor ) unter dem Austausch zweier Teilchen invariant sein muss. Gemäß der Teilchenstatistik kann die Vielteilchen-Wellenfunktion unter dem Teilchenaustausch entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein. ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}$

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$Wenn es sich bei den Teilchen um Bosonen handelt ,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$wenn es sich bei den Teilchen um Fermionen handelt .

Diese Austauschsymmetrie-Eigenschaft legt eine Bedingung für die Vielteilchen-Wellenfunktion fest. Jedes Mal, wenn ein Teilchen zum Vielteilchensystem hinzugefügt oder daraus entfernt wird, muss die Wellenfunktion entsprechend symmetrisiert oder antisymmetrisiert werden, um die Symmetriebedingung zu erfüllen. Im Formalismus der ersten Quantisierung wird diese Bedingung durch die Darstellung der Wellenfunktion als Linearkombination von Permanenten (für Bosonen) bzw. Determinanten (für Fermionen) von Einteilchenzuständen gewährleistet. Im Formalismus der zweiten Quantisierung wird die Symmetrisierung automatisch durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren abgedeckt, wodurch die Notation deutlich vereinfacht werden kann.

Betrachten wir einen vollständigen Satz von Einteilchen-Wellenfunktionen, die mit (wobei es sich um einen kombinierten Index mehrerer Quantenzahlen handeln kann) bezeichnet werden. Die folgende Wellenfunktion ${\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

Die Funktion beschreibt einen N- Teilchen-Zustand, wobei sich das i -te Teilchen im Einteilchenzustand befindet . In der Kurzschreibweise kann das Ortsargument der Wellenfunktion weggelassen werden, und es wird angenommen, dass die i -te Einteilchen-Wellenfunktion den Zustand des i -ten Teilchens beschreibt. Die Wellenfunktion ist weder symmetrisiert noch antisymmetrisiert und kann daher im Allgemeinen nicht als Vielteilchen-Wellenfunktion für identische Teilchen gelten. Sie lässt sich jedoch mithilfe der Operatoren für den Symmetrisierer bzw. den Antisymmetrisierer in die symmetrisierte (antisymmetrisierte) Form bringen . ${\displaystyle |{\alpha _{i}}\rangle }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Für Bosonen muss die Vielteilchen-Wellenfunktion symmetrisiert werden.

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

Während bei Fermionen die Vielteilchen-Wellenfunktion antisymmetrisiert sein muss,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}.}$

Hierbei handelt es sich um ein Element der N -Körper-Permutationsgruppe (oder symmetrischen Gruppe ) , das eine Permutation der Zustandsbezeichnungen durchführt , und bezeichnet das entsprechende Permutationszeichen . ist der Normierungsoperator, der die Wellenfunktion normiert. (Es ist der Operator, der einen geeigneten numerischen Normierungsfaktor auf die symmetrisierten Tensoren vom Grad n anwendet ; siehe den nächsten Abschnitt für seinen Wert.) ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S_{N}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle (-1)^{\pi }}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Ordnet man die Einteilchen-Wellenfunktionen in einer Matrix so an, dass das Matrixelement in Zeile i und Spalte j gleich ist , so lässt sich die Vielteilchen-Wellenfunktion des Bosons einfach als Permanente und die Vielteilchen-Wellenfunktion des Fermions als Determinante (auch bekannt als Slater-Determinante ) schreiben. ^{[ 6 ]}${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j}\rangle }$${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}$${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\det U}$

Die Beschreibung physikalisch realisierbarer Vielteilchenzustände mittels erster Quantisierung erfordert komplizierte Symmetrisierungsverfahren, da die Sprache der ersten Quantisierung für ununterscheidbare Teilchen redundant ist. In der Sprache der ersten Quantisierung wird der Vielteilchenzustand durch die Beantwortung einer Reihe von Fragen wie „Welches Teilchen befindet sich in welchem ​​Zustand?“ beschrieben . Dies sind jedoch keine physikalischen Fragen, da die Teilchen identisch sind und es unmöglich ist, sie überhaupt zu unterscheiden. Die scheinbar unterschiedlichen Zustände sind in Wirklichkeit redundante Bezeichnungen für denselben quantenmechanischen Vielteilchenzustand. Daher muss die Symmetrisierung (oder Antisymmetrisierung) eingeführt werden, um diese Redundanz in der Beschreibung mittels erster Quantisierung zu beseitigen. ${\displaystyle \psi _{1}\otimes \psi _{2}}$${\displaystyle \psi _{2}\otimes \psi _{1}}$

In der Sprache der zweiten Quantisierung fragt man nicht mehr „In welchem ​​Zustand befindet sich jedes Teilchen?“, sondern „Wie viele Teilchen befinden sich in jedem Zustand?“ . Da diese Beschreibung keine Teilchenbezeichnungen enthält, ist sie frei von redundanten Informationen und führt somit zu einer präziseren und einfacheren Beschreibung des quantenmechanischen Vielteilchenzustands. In diesem Ansatz wird der Vielteilchenzustand in der Besetzungszahlbasis dargestellt, und die Basiszustände werden durch die Menge der Besetzungszahlen, bezeichnet mit , gekennzeichnet.

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,}$

Das bedeutet, dass sich Teilchen im Einteilchenzustand befinden (oder als ). Die Summe der Besetzungszahlen entspricht der Gesamtzahl der Teilchen, d. h . . Bei Fermionen kann die Besetzungszahl aufgrund des Pauli-Prinzips nur 0 oder 1 sein ; bei Bosonen hingegen kann sie jede nichtnegative ganze Zahl sein. ${\displaystyle n_{\alpha }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\textstyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermions,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end{cases}}}$

Die Besetzungszahlzustände werden auch als Fock-Zustände bezeichnet. Alle Fock-Zustände bilden eine vollständige Basis des Vielteilchen-Hilbert-Raums, des sogenannten Fock-Raums . Jeder beliebige Quanten-Vielteilchenzustand lässt sich als Linearkombination von Fock-Zuständen darstellen. ${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle }$

Es ist zu beachten, dass der Fock-Raum neben einer effizienteren Sprache auch eine variable Anzahl von Teilchen ermöglicht. Als Hilbert-Raum ist er isomorph zur Summe der im vorherigen Abschnitt beschriebenen bosonischen oder fermionischen Tensorräume mit n Teilchen, einschließlich eines eindimensionalen Nullteilchenraums C.

Der Fock-Zustand, bei dem alle Besetzungszahlen gleich null sind, wird als Vakuumzustand bezeichnet und mit bezeichnet . Der Fock-Zustand mit nur einer von null verschiedenen Besetzungszahl ist ein Einmoden-Fock-Zustand und wird mit bezeichnet . Bezogen auf die erste quantisierte Wellenfunktion ist der Vakuumzustand das Einheitstensorprodukt und kann mit bezeichnet werden . Der Einteilchenzustand reduziert sich auf seine Wellenfunktion . Andere Einmoden-Vielteilchenzustände (Bosonen) sind einfach das Tensorprodukt der Wellenfunktion dieses Modus, wie z. B. und . Bei Mehrmoden-Fock-Zuständen (d. h. mehr als ein Einteilchenzustand ist beteiligt) erfordert die entsprechende erste quantisierte Wellenfunktion eine geeignete Symmetrisierung gemäß der Teilchenstatistik, z. B. für einen Bosonenzustand und für einen Fermionenzustand (das Symbol zwischen und wird der Einfachheit halber weggelassen). Im Allgemeinen ergibt sich die Normierung zu , wobei N die Gesamtzahl der Teilchen ist. Für Fermionen vereinfacht sich dieser Ausdruck zu , da nur entweder null oder eins sein kann. Die erste quantisierte Wellenfunktion, die dem Fock-Zustand entspricht, lautet also: ${\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }$${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle }$${\displaystyle |0\rangle =1}$${\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}$${\displaystyle |2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }}$${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi _{2}}$${\textstyle {\sqrt {\frac {1}{N!{\prod _{\alpha }{n_{\alpha }!}}}}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}$${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {1}{N!\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

für Bosonen und

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

für Fermionen. Beachten Sie, dass dies nur für Fermionen gilt; das obige Tensorprodukt ist also effektiv nur ein Produkt über alle besetzten Einteilchenzustände. ${\displaystyle n_{\alpha }=0,1}$

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren dienen dazu, ein Teilchen in ein Vielteilchensystem einzufügen oder daraus zu entfernen. Diese Operatoren bilden den Kern des Formalismus der zweiten Quantisierung und schließen die Lücke zwischen den ersten und zweiten Quantisierungszuständen. Die Anwendung des Erzeugungs- (Vernichtungs-)Operators auf eine erste Quantisierungs-Vielteilchen-Wellenfunktion fügt (entfernt) einen Einteilchenzustand in symmetrisierter Weise aus der Wellenfunktion ein, abhängig von der Teilchenstatistik. Andererseits lassen sich alle zweiten Quantisierungs-Fock-Zustände konstruieren, indem man die Erzeugungsoperatoren wiederholt auf den Vakuumzustand anwendet.

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (für Bosonen) wurden ursprünglich im Kontext des quantenmechanischen harmonischen Oszillators als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren konstruiert und anschließend in der Quantenfeldtheorie zu Feldoperatoren verallgemeinert. ^{[ 7 ]} Sie sind fundamental für die quantenmechanische Vielteilchentheorie, da sich jeder Vielteilchenoperator (einschließlich des Hamiltonoperators des Vielteilchensystems und aller physikalischen Observablen) durch sie ausdrücken lässt.

Die Erzeugung und Vernichtung eines Teilchens erfolgt durch Einfügen bzw. Löschen des Einteilchenzustands aus der ersten quantisierten Wellenfunktion, entweder symmetrisch oder antisymmetrisch. Sei ein Einteilchenzustand, sei 1 die Tensoridentität (sie ist der Generator des Nullteilchenraums C und erfüllt die Bedingung in der Tensoralgebra über dem fundamentalen Hilbertraum), und sei ein beliebiger Tensorproduktzustand. Die Einfüge- und Löschoperatoren sind lineare Operatoren, die durch die folgenden rekursiven Gleichungen definiert sind. ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}$${\displaystyle \Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots }$${\displaystyle \otimes _{\pm }}$${\displaystyle \oslash _{\pm }}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).}$

Hier ist das Kronecker-Delta -Symbol dargestellt, das 1 ergibt, wenn , und 0 sonst. Der Index der Einfüge- oder Löschoperatoren gibt an, ob Symmetrisierung (für Bosonen) oder Antisymmetrisierung (für Fermionen) angewendet wird. ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle \pm }$

Der Erzeugungsoperator (bzw. Vernichtungsoperator) für Bosonen wird üblicherweise mit (bzw. ) bezeichnet. Der Erzeugungsoperator fügt dem Einteilchenzustand ein Boson hinzu , und der Vernichtungsoperator entfernt ein Boson aus dem Einteilchenzustand . Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind zueinander hermitesch konjugiert, aber keiner von ihnen ist ein hermitescher Operator ( ). ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle b_{\alpha }}$${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle b_{\alpha }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\dagger }}$

Der Bosonenerzeugungs- (Vernichtungs-)Operator ist ein linearer Operator, dessen Wirkung auf eine N- Teilchen-Wellenfunktion erster Quantisierung wie folgt definiert ist: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,}$

wobei der Einteilchenzustand symmetrisch an möglichen Einfügepositionen eingefügt und der Einteilchenzustand symmetrisch aus möglichen Löschpositionen gelöscht wird. ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N}$

Im Folgenden wird das Tensorsymbol zwischen Einteilchenzuständen der Einfachheit halber weggelassen. Betrachten wir den Zustand , so erzeugen wir ein weiteres Boson im Zustand , ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(b_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Vernichte dann ein Boson aus dem Zustand , ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}|2_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {3}}}(b_{1}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1})\right)\\=&\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Ausgehend vom Einmoden-Vakuumzustand erhält man durch wiederholte Anwendung des Erzeugungsoperators :${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .}$

Der Erzeugungsoperator erhöht die Bosonenbesetzungszahl um 1. Daher können alle Zustände mit beliebiger Besetzungszahl mithilfe des Bosonenerzeugungsoperators aus dem Vakuumzustand konstruiert werden.

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

Andererseits verringert der Vernichtungsoperator die Bosonenbesetzungszahl um 1. ${\displaystyle b_{\alpha }}$

${\displaystyle b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .}$

Dadurch wird auch der Vakuumzustand gelöscht, da kein Boson mehr im Vakuumzustand vorhanden ist, das vernichtet werden könnte. Mithilfe der obigen Formeln lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

Das bedeutet, dass der Bosonenzahloperator definiert ist. ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }}$

Das obige Ergebnis lässt sich auf beliebige Fock-Zustände von Bosonen verallgemeinern.

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Diese beiden Gleichungen können als definierende Eigenschaften der Bosonenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren im Formalismus der zweiten Quantisierung betrachtet werden. Die komplexe Symmetrisierung der zugrundeliegenden Wellenfunktion der ersten Quantisierung wird durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (bei deren Anwendung auf die Wellenfunktion der ersten Quantisierung) automatisch berücksichtigt, sodass die Komplexität auf der Ebene der zweiten Quantisierung nicht sichtbar wird und die Formeln der zweiten Quantisierung einfach und übersichtlich sind.

Aus der Wirkung der Bosonenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren auf den Fock-Zustand ergeben sich die folgenden Operatoridentitäten.

${\displaystyle [b_{\alpha }^{\dagger },b_{\beta }^{\dagger }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\dagger }]=\delta _{\alpha \beta }.}$

Diese Kommutationsrelationen können als algebraische Definition der Bosonenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren betrachtet werden. Die Tatsache, dass die Vielteilchen-Wellenfunktion der Bosonen symmetrisch unter Teilchenaustausch ist, manifestiert sich ebenfalls in der Kommutation der Bosonenoperatoren.

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren des quantenmechanischen harmonischen Oszillators erfüllen ebenfalls dieselben Kommutierungsrelationen, was impliziert, dass die Bosonen als Energiequanten (Phononen) eines Oszillators interpretiert werden können. Die Orts- und Impulsoperatoren eines harmonischen Oszillators (oder einer Menge harmonischer Schwingungsmoden) sind durch hermitesche Kombinationen von Phononenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren gegeben.

${\displaystyle x_{\alpha }=(b_{\alpha }+b_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha }-b_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

die die kanonische Kommutationsrelation zwischen Orts- und Impulsoperatoren reproduzieren (mit ) ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle [x_{\alpha },p_{\beta }]=\mathrm {i} \delta _{\alpha \beta },\quad [x_{\alpha },x_{\beta }]=[p_{\alpha },p_{\beta }]=0.}$

Diese Idee wird in der Quantenfeldtheorie verallgemeinert , die jeden Modus des Materiefeldes als einen Oszillator betrachtet, der Quantenfluktuationen unterliegt, und die Bosonen werden als Anregungen (oder Energiequanten) des Feldes behandelt.

Der Fermionen-Erzeugungsoperator (Vernichtungsoperator) wird üblicherweise mit ( ) bezeichnet. Der Erzeugungsoperator fügt dem Einteilchenzustand ein Fermion hinzu , und der Vernichtungsoperator entfernt ein Fermion aus dem Einteilchenzustand . ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Der Fermionen-Erzeugungs- (Vernichtungs-)Operator ist ein linearer Operator, dessen Wirkung auf eine N -Teilchen-Wellenfunktion erster Quantisierung wie folgt definiert ist: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,}$

wobei der Einteilchenzustand antisymmetrisch an möglichen Einfügepositionen eingefügt und antisymmetrisch an möglichen Löschpositionen gelöscht wird .${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N}$

Es ist besonders aufschlussreich, die Ergebnisse von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf Zuständen von zwei (oder mehr) Fermionen zu betrachten, da sie die Auswirkungen des Austauschs veranschaulichen. Einige beispielhafte Operationen sind im folgenden Beispiel aufgeführt. Die vollständige Algebra für Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf einem Zwei-Fermionen-Zustand findet sich in Quantum Photonics . ^{[ 8 ]}

Im Folgenden wird das Tensorsymbol zwischen Einteilchenzuständen der Einfachheit halber weggelassen. Betrachtet man den Zustand , so führt der Versuch, ein weiteres Fermion im besetzten Zustand zu erzeugen, zum Erlöschen der gesamten Vielteilchen-Wellenfunktion. ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}-c_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}-\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{array}}}$

Vernichte ein Fermion auf dem Staat, nimm den Staat ein , ${\displaystyle \psi _{2}}$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{2}|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{2}\psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0)\right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}}$

Das Minuszeichen (bekannt als Fermionenzeichen) entsteht durch die antisymmetrische Eigenschaft der Fermionen-Wellenfunktion.

Ausgehend vom Einmoden-Vakuumzustand und unter Anwendung des Fermionen-Erzeugungsoperators , ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\psi _{\alpha }=0.}$

Ist der Einteilchenzustand leer, füllt der Erzeugungsoperator ihn mit einem Fermion. Ist der Zustand jedoch bereits mit einem Fermion besetzt, führt die weitere Anwendung des Erzeugungsoperators zur Löschung des Zustands. Dies beweist das Pauli-Prinzip , wonach zwei identische Fermionen nicht gleichzeitig denselben Zustand besetzen können. Dennoch kann das Fermion mithilfe des Fermionen-Vernichtungsoperators aus dem besetzten Zustand entfernt werden . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle c_{\alpha }}$

${\displaystyle c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.}$

Der Vakuumzustand wird durch die Wirkung des Vernichtungsoperators gelöscht.

Ähnlich wie im Fall der Bosonen kann der Fermionen-Fock-Zustand aus dem Vakuumzustand mithilfe des Fermionen-Erzeugungsoperators konstruiert werden.

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

Man kann leicht überprüfen (durch Aufzählung), dass

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

Das bedeutet, dass der Fermionenzahloperator definiert ist. ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }}$

Das obige Ergebnis lässt sich auf beliebige Fock-Zustände von Fermionen verallgemeinern.

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1+n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$^{[ 9 ]}

${\displaystyle c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Man beachte, dass die Besetzungszahl von Fermionen nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann. Diese beiden Gleichungen können als definierende Eigenschaften der Fermionenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren im Formalismus der zweiten Quantisierung betrachtet werden. Die Fermionen-Vorzeichenstruktur , auch bekannt als Jordan-Wigner-String , erfordert eine vordefinierte Ordnung der Einteilchenzustände (die Spinstruktur ) und beinhaltet das Zählen der Fermionenbesetzungszahlen aller vorhergehenden Zustände; daher gelten die Fermionenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren in gewisser Weise als nichtlokal. Diese Beobachtung führt zu der Annahme, dass Fermionen emergente Teilchen in einem System verschränkter lokaler Qubits mit großer Reichweite sind . ^{[ 10 ]}${\displaystyle n_{\alpha }}$${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

Aus der Wirkung der Fermionenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren auf den Fock-Zustand ergeben sich die folgenden Operatoridentitäten.

${\displaystyle \{c_{\alpha }^{\dagger },c_{\beta }^{\dagger }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \{c_{\alpha },c_{\beta }^{\dagger }\}=\delta _{\alpha \beta }.}$

Diese Antikommutationsrelationen können als algebraische Definition der Fermionenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren betrachtet werden. Die Tatsache, dass die Vielteilchenwellenfunktion der Fermionen unter Teilchenaustausch antisymmetrisch ist, manifestiert sich ebenfalls in der Antikommutation der Fermionenoperatoren.

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind zueinander hermitesch konjugiert, aber keiner von ihnen ist ein hermitescher Operator ( ). Die hermitesche Kombination der Fermionen-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ${\displaystyle c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

Sie werden Majorana- Fermionenoperatoren genannt. Man kann sie als fermionisches Analogon der Orts- und Impulsoperatoren eines fermionischen harmonischen Oszillators betrachten. Sie erfüllen die Antikommutationsrelation.

${\displaystyle \{\chi _{i},\chi _{j}\}=\delta _{ij},}$

Hierbei werden alle Majorana-Fermionenoperatoren gleichberechtigt behandelt (unabhängig von ihrem Ursprung in der Re- oder Im-Kombination komplexer Fermionenoperatoren ). Die Antikommutationsrelation zeigt an, dass Majorana-Fermionenoperatoren eine Clifford-Algebra erzeugen , die systematisch als Pauli-Operatoren im Vielteilchen-Hilbertraum dargestellt werden kann. ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle c_{\alpha }}$

Definiert man einen allgemeinen Vernichtungs- (Erzeugungs-)Operator für einen Einteilchenzustand , der entweder fermionisch oder bosonisch sein kann, so definiert die Ortsraumdarstellung der Operatoren die Quantenfeldoperatoren und durch ${\displaystyle a_{\nu }^{\dagger }}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle (c_{\nu }^{\dagger })}$${\displaystyle (b_{\nu }^{\dagger })}$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\dagger }}$

Dies sind Operatoren der zweiten Quantisierung mit Koeffizienten, die gewöhnliche Wellenfunktionen der ersten Quantisierung sind . Daher sind beispielsweise alle Erwartungswerte gewöhnliche Wellenfunktionen der ersten Quantisierung. Vereinfacht ausgedrückt ist die Summe aller Möglichkeiten, ein Teilchen an der Position r über einen der Basiszustände – nicht notwendigerweise ebene Wellen – in das System einzufügen , wie unten dargestellt.${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)}$${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$

Da es sich bei und um Operatoren zweiter Quantisierung handelt, die in jedem Raumpunkt definiert sind, werden sie Quantenfeldoperatoren genannt . Sie gehorchen den folgenden fundamentalen Kommutator- und Antikommutatorrelationen: ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$Bosonenfelder

${\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$Fermionenfelder.

Bei homogenen Systemen ist es oft wünschenswert, zwischen der Orts- und der Impulsdarstellung zu transformieren; daher ergeben sich die Quantenfeldoperatoren in der Fourierbasis wie folgt :

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }^{\dagger }}$

Der von Jordan eingeführte Begriff „zweite Quantisierung“ ^{[ 11 ]} ist eine irreführende Bezeichnung, die sich aus historischen Gründen gehalten hat. Zu Beginn der Quantenfeldtheorie ging man fälschlicherweise davon aus, dass die Dirac-Gleichung eine relativistische Wellenfunktion beschreibt (daher die veraltete Interpretation des „Dirac-Meeres“), anstatt ein klassisches Spinorfeld, das, wenn es quantisiert wird (ähnlich dem Skalarfeld), ein fermionisches Quantenfeld (und nicht ein bosonisches Quantenfeld) ergibt.

Es findet keine „erneute“ Quantisierung statt, wie der Begriff „zweite“ suggerieren könnte; das zu quantisierende Feld ist keine Schrödinger-Wellenfunktion , die durch die Quantisierung eines Teilchens entstanden ist, sondern ein klassisches Feld (wie das elektromagnetische Feld oder das Dirac-Spinorfeld ), im Wesentlichen eine Anordnung gekoppelter Oszillatoren, die zuvor nicht quantisiert wurde. Es wird lediglich jeder Oszillator in dieser Anordnung einzeln quantisiert, wodurch von einer semiklassischen zu einer vollständig quantenmechanischen Betrachtung des Systems übergegangen wird.

• Kanonische Quantisierung
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• Geometrische Quantisierung
• Quantisierung (Physik)
• Schrödinger-Funktional
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