Satz von Denjoy-Young-Saks

In der Mathematik liefert der Satz von Denjoy-Young-Saks einige Möglichkeiten für die Dini-Ableitungen einer Funktion, die nahezu überall gelten . Denjoy  ( 1915 ) bewies den Satz für stetige Funktionen , Young  ( 1917 ) erweiterte ihn auf messbare Funktionen und Saks  ( 1924 ) auf beliebige Funktionen. Saks (1937 , Kapitel IX, Abschnitt 4) und Bruckner (1978 , Kapitel IV, Satz 4.4) geben einen historischen Überblick über den Satz.

Ist f eine reellwertige Funktion, die auf einem Intervall definiert ist, so erfüllen die Dini-Ableitungen von f – mit Ausnahme einer Menge vom Maß 0 auf dem Intervall – an jedem Punkt eine der folgenden vier Bedingungen:

• f besitzt eine endliche Ableitung
• D ⁺ f = D _– f ist endlich, D ⁻ f = ∞, D ₊ f = –∞.
• D ⁻ f = D ₊ f ist endlich, D ⁺ f = ∞, D _– f = –∞.
• D ⁻ f = D ⁺ f = ∞, D _– f = D ₊ f = –∞.

• Bruckner, Andrew M. (1978), Dold, A.; Eckmann, B. (Hrsg.), Differentiation of Real Functions , Lecture Notes in Mathematics, Band 659, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0069821 , ISBN 978-3-540-08910-0, MR  0507448
• Saks, Stanisław (1937), Theorie des Integrals , Monografie Matematyczne, Bd. VII, englische Übersetzung von L. C. Young und zwei zusätzliche Anmerkungen von S. Bannach (Zweite überarbeitete Auflage), New York: Hafnar Publishing Company, JFM  63.0183.05 , Zbl  0017.30004 , archiviert vom Original am 12.12.2006.
• Young, Grace Chisholm (1917), „Über die Ableitungen einer Funktion“ (PDF) , Proc. London Math. Soc. , 15 (1): 360–384 , doi : 10.1112/plms/s2-15.1.360