Deskriptive Mengenlehre

In der mathematischen Logik befasst sich die deskriptive Mengenlehre mit bestimmten Klassen von Teilmengen der reellen Zahlen und anderer polnischer Räume , die ein bestimmtes Definierbarkeitskriterium erfüllen. Sie ist nicht nur eines der Hauptforschungsgebiete der Mengenlehre , sondern findet auch Anwendung in anderen Bereichen der Mathematik, wie der Funktionalanalysis , der Ergodentheorie , der Untersuchung von Operatoralgebren und Gruppenwirkungen sowie der mathematischen Logik .

Polnische Räume

Die deskriptive Mengenlehre beginnt mit der Untersuchung polnischer Räume und ihrer Borel-Mengen .

Ein polnischer Raum ist ein topologischer Raum zweiter Ordnung , der mit einer vollständigen Metrik metrisierbar ist . Heuristisch ausgedrückt ist er ein vollständig separabler metrischer Raum, dessen Metrik „vergessen“ wurde. Beispiele hierfür sind die reelle Zahlengerade , der Baire-Raum , der Cantor-Raum und der Hilbert-Würfel . $\mathbb {R}$ ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {C}}$ $I^{\mathbb {N} }$

Universalitätseigenschaften

Die Klasse der polnischen Räume besitzt mehrere Universalitätseigenschaften, die zeigen, dass es keinen Verlust an Allgemeingültigkeit gibt, wenn man polnische Räume bestimmter eingeschränkter Formen betrachtet.

Jeder polnische Raum ist homöomorph zu einem G _δ Unterraum des Hilbert-Würfels , und jeder G _δ Unterraum des Hilbert-Würfels ist polnisch.
Jeder polnische Raum entsteht als stetiges Bild eines Baire-Raums; tatsächlich ist jeder polnische Raum das Bild einer stetigen Bijektion auf einer abgeschlossenen Teilmenge des Baire-Raums. Analog dazu ist jeder kompakte polnische Raum ein stetiges Bild eines Cantor-Raums.

Aufgrund dieser Universalitätseigenschaften und weil der Baire-Raum die praktische Eigenschaft besitzt, homöomorph zu zu sein , werden viele Ergebnisse der deskriptiven Mengenlehre allein im Kontext des Baire-Raums bewiesen. ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {N}}^{\omega }$

Borel-Sätze

Die Klasse der Borelmengen eines topologischen Raums X besteht aus allen Mengen der kleinsten σ-Algebra, die die offenen Mengen von X enthält . Dies bedeutet, dass die Borelmengen von X die kleinste Familie von Mengen sind, für die gilt:

Jede offene Teilmenge von X ist eine Borelmenge.
Wenn A eine Borelmenge ist, dann ist auch B eine Borelmenge . Das heißt, die Klasse der Borelmengen ist unter Komplementbildung abgeschlossen. $X\setminus A$
Wenn A _<sub>n</sub> für jede natürliche Zahl n eine Borelmenge ist , dann ist auch ihre Vereinigung eine Borelmenge. Das heißt, die Borelmengen sind unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen. $\bigcup A_{n}$

Ein grundlegendes Ergebnis zeigt, dass je zwei überabzählbare polnische Räume X und Y Borel-isomorph sind : Es gibt eine Bijektion von X nach Y , sodass sowohl das Urbild als auch das Bild einer beliebigen Borel-Menge wieder eine Borel-Menge ist. Dies liefert eine zusätzliche Begründung für die Praxis, sich auf Baire-Räume und Cantor-Räume zu beschränken, da diese und alle anderen polnischen Räume auf der Ebene der Borel-Mengen isomorph sind.

Borel-Hierarchie

Jede Borelmenge eines polnischen Raums wird in der Borel-Hierarchie danach klassifiziert, wie oft die Operationen der abzählbaren Vereinigung und des Komplements zur Bildung der Menge aus offenen Mengen benötigt werden. Die Klassifizierung erfolgt anhand abzählbarer Ordinalzahlen . Für jede von Null verschiedene abzählbare Ordinalzahl α gibt es die Klassen , , und . $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}$

Jede offene Menge wird als . $\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}$
Eine Menge heißt genau dann nativ , wenn ihr Komplement nativ ist . $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$
Eine Menge A wird als , δ > 1 bezeichnet, wenn es eine Folge ⟨ A _i ⟩ von Mengen gibt , von denen jede für ein λ ( i ) < δ ist , sodass . $\mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\lambda (i)}^{0}$ $A=\bigcup A_{i}$
Eine Menge ist genau dann eine Menge, wenn sie sowohl als auch gilt . $\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$

Ein Theorem besagt, dass jede Menge, die entweder oder ist , ist , und dass jede Menge sowohl als auch für alle α > β ist . Daher hat die Hierarchie die folgende Struktur, wobei Pfeile Inklusion anzeigen. $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}$ $\mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}$ $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$

${\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}$

Regularitätseigenschaften von Borel-Mengen

Die klassische deskriptive Mengenlehre umfasst die Untersuchung von Regularitätseigenschaften von Borelmengen. Beispielsweise besitzen alle Borelmengen eines polnischen Raums die Baire-Eigenschaft und die Eigenschaft der perfekten Menge . Die moderne deskriptive Mengenlehre untersucht, inwieweit sich diese Ergebnisse auf andere Klassen von Teilmengen polnischer Räume verallgemeinern lassen oder nicht.

Analytische und koanalytische Datensätze

Unmittelbar nach den Borelmengen folgen die analytischen und koanalytischen Mengen . Eine Teilmenge eines polnischen Raums X heißt analytisch , wenn sie das stetige Bild einer Borelmenge eines anderen polnischen Raums ist. Obwohl jedes stetige Urbild einer Borelmenge wieder eine Borelmenge ist, sind nicht alle analytischen Mengen Borelmengen. Eine Menge heißt koanalytisch , wenn ihr Komplement analytisch ist.

Projektive Mengen und Wadge-Grade

Viele Fragen der deskriptiven Mengenlehre hängen letztlich von mengentheoretischen Überlegungen und den Eigenschaften von Ordinal- und Kardinalzahlen ab . Dieses Phänomen ist besonders deutlich bei den projektiven Mengen . Diese werden über die projektive Hierarchie auf einem polnischen Raum X definiert :

Eine Menge heißt analytisch, wenn sie analytisch ist. $\mathbf {\Sigma } _{1}^{1}$
Eine Menge ist dann koanalytisch, wenn sie koanalytisch ist. $\mathbf {\Pi } _{1}^{1}$
Eine Menge A heißt so viel wie , wenn es eine Teilmenge B von gibt, sodass A die Projektion von B auf die erste Koordinate ist. $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ $X\times X$
Eine Menge A heißt so viel wie , wenn es eine Teilmenge B von gibt, sodass A die Projektion von B auf die erste Koordinate ist. $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}$ $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$ $X\times X$
Ein Set ist dann ein Set , wenn es sowohl als auch gilt . $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$

Wie bei der Borel-Hierarchie gilt für jedes n : Jede Menge ist sowohl als auch . $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}$

Die Eigenschaften projektiver Mengen sind durch den ZFC-Beweis nicht vollständig bestimmt. Unter der Annahme V = L besitzen nicht alle projektiven Mengen die Eigenschaft der perfekten Menge oder die Baire-Eigenschaft. Unter der Annahme projektiver Determiniertheit hingegen besitzen alle projektiven Mengen sowohl die Eigenschaft der perfekten Menge als auch die Baire-Eigenschaft. Dies hängt damit zusammen, dass der ZFC-Beweis die Borel-Determiniertheit , nicht aber die projektive Determiniertheit beweist .

Es gibt auch generische Erweiterungen von für jede natürliche Zahl in , die aus allen Lightface- Teilmengen von besteht . ^[¹^] $L$ $n>2$ ${\mathcal {P}}(\omega )\cap L$ $\Delta _{n}^{1}$ $\omega$

Allgemeiner lassen sich alle Mengen von Elementen eines polnischen Raums X in Äquivalenzklassen, sogenannte Wadge-Grade , einteilen, die die projektive Hierarchie verallgemeinern. Diese Grade sind in der Wadge-Hierarchie geordnet . Das Determiniertheitsaxiom impliziert, dass die Wadge-Hierarchie auf jedem polnischen Raum wohlfundiert und von Länge Θ ist , wobei ihre Struktur die projektive Hierarchie erweitert.

Borel-Äquivalenzbeziehungen

Ein aktuelles Forschungsgebiet der deskriptiven Mengenlehre befasst sich mit Borel-Äquivalenzrelationen . Eine Borel-Äquivalenzrelation auf einem polnischen Raum X ist eine Borel-Teilmenge von , die eine Äquivalenzrelation auf X ist . $X\times X$

effektive deskriptive Mengenlehre

Das Gebiet der effektiven deskriptiven Mengenlehre kombiniert Methoden der deskriptiven Mengenlehre mit denen der verallgemeinerten Rekursionstheorie (insbesondere der Hyperarithmetik ). Im Fokus stehen dabei leichtere Analoga der Hierarchien der klassischen deskriptiven Mengenlehre. So wird beispielsweise die Hyperarithmetik-Hierarchie anstelle der Borel-Hierarchie und die analytische Hierarchie anstelle der projektiven Hierarchie untersucht. Diese Forschung steht in Zusammenhang mit schwächeren Versionen der Mengenlehre, wie der Kripke-Platek-Mengenlehre und der Arithmetik zweiter Stufe .

Tisch

Punktklassen v T e
Lightface		Fettdruck
Σ⁰₀= Π⁰₀= Δ⁰₀(manchmal dasselbe wie Δ)⁰₁)		Σ⁰₀= Π⁰₀= Δ⁰₀(falls definiert)
Δ⁰₁= rekursiv		Δ⁰₁= clopen
Σ⁰₁= rekursiv aufzählbar	Pi⁰₁= ko-rekursiv aufzählbar	Σ⁰₁= G = offen	Pi⁰₁= F = geschlossen
Δ⁰₂		Δ⁰₂
Σ⁰₂	Pi⁰₂	Σ⁰₂= F _σ	Pi⁰₂= G _δ
Δ⁰₃		Δ⁰₃
Σ⁰₃	Pi⁰₃	Σ⁰₃= G _δσ	Pi⁰₃= F _σδ
⋮		⋮
Σ⁰_<ω= Π⁰_<ω= Δ⁰_<ω= Σ¹₀= Π¹₀= Δ¹₀= arithmetisch		Σ⁰_<ω= Π⁰_<ω= Δ⁰_<ω= Σ¹₀= Π¹₀= Δ¹₀= fettgedruckte arithmetische Zahlen
⋮		⋮
Δ⁰_α(α rekursiv )		Δ⁰_α(α zählbar )
Σ⁰_α	Pi⁰_α	Σ⁰_α	Pi⁰_α
⋮		⋮
Σ⁰_ω^CK₁= Π⁰_ω^CK₁= Δ⁰_ω^CK₁= Δ¹₁= hyperarithmetisch		Σ⁰_{ω ₁}= Π⁰_{ω ₁}= Δ⁰_{ω ₁}= Δ¹₁= B = Borel
Σ¹₁= leichtgesichtig analytisch	Pi¹₁= lightface coanalytic	Σ¹₁= A = analytisch	Pi¹₁= CA = koanalytisch
Δ¹₂		Δ¹₂
Σ¹₂	Pi¹₂	Σ¹₂= PCA	Pi¹₂= CPCA
Δ¹₃		Δ¹₃
Σ¹₃	Pi¹₃	Σ¹₃= PCPCA	Pi¹₃= CPCPCA
⋮		⋮
Σ¹_<ω= Π¹_<ω= Δ¹_<ω= Σ²₀= Π²₀= Δ²₀= analytisch		Σ¹_<ω= Π¹_<ω= Δ¹_<ω= Σ²₀= Π²₀= Δ²₀= P = projektiv
⋮		⋮

Siehe auch

Referenzen

Kechris, Alexander S. (1994). Klassische deskriptive Mengenlehre . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9Die
Moschovakis, Yiannis N. (1980). Deskriptive Mengenlehre . North Holland. ISBN 0-444-70199-0Die
Bartoszynski, Tomek; Judah, Haim (1995). Mengenlehre: Zur Struktur der reellen Zahlengeraden . Natick: AK Peters/CRC Press. ISBN 978-1-56881-044-7Die

Zitate

^ V. Kanovei, V. Lyubetsky, " Zum Problem von Harvey Friedman $\Delta _{n}^{1}$ . In: Mathematische Logik und ihre Anwendungen (2020), DOI 10.3380/math8091477 .

Externe Links

Deskriptive Mengenlehre , David Marker, 2002. Vorlesungsskript.

[1] V. Kanovei, V. Lyubetsky, " Zum Problem von Harvey Friedman $\Delta _{n}^{1}$ . In: Mathematische Logik und ihre Anwendungen (2020), DOI 10.3380/math8091477 .

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