Mageres Set

In der allgemeinen Topologie ist eine magere Menge (auch als Menge erster Kategorie bezeichnet ) eine Teilmenge eines topologischen Raums , die eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen ist, die in keiner nichtleeren offenen Menge dicht liegen . Magere Mengen sind also in gewisser Weise „klein“, da sie kleine Vereinigungen kleiner Teilmengen sind.

Die mageren Teilmengen eines festen Raums bilden ein σ-Ideal von Teilmengen; das heißt, jede Teilmenge einer mageren Menge ist mager, und die Vereinigung von abzählbar vielen mageren Mengen ist mager.

Magere Mengen spielen eine wichtige Rolle bei der Formulierung des Begriffs des Baire-Raums und des Baire-Kategoriensatzes , der im Beweis mehrerer fundamentaler Ergebnisse der Funktionalanalysis verwendet wird .

Es handelt sich durchgehend um einen topologischen Raum . ${\displaystyle X}$

Die Definition einer mageren Menge verwendet den Begriff einer nirgends dichten Teilmenge von , d. h. einer Teilmenge, deren Abschluss ein leeres Inneres hat . Weitere Details finden Sie im zugehörigen Artikel. ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

Eine Teilmenge davon wird genannt${\displaystyle X}$mager in${\displaystyle X,}$ einemmagere Teilmenge von${\displaystyle X,}$oder derEine Teilmenge erster Kategorie in ,${\displaystyle X}$wenn sie eine abzählbare Vereinigung vonnirgends dichtenTeilmengen von. ^{[ 1 ]} Andernfalls heißt die Teilmenge .${\displaystyle X}$nicht mager in${\displaystyle X,}$ einemnicht knappe Teilmenge von${\displaystyle X,}$oder derzweite Kategorie in${\displaystyle X.}$ ^{[ 1 ]} Der Zusatz "in" kann weggelassen werden, wenn der umgebende Raum festgelegt und aus dem Kontext erschlossen ist. ${\displaystyle X}$

Ein topologischer Raum wird genanntmager (bzw.nonmeagre ) wenn es eine magere (bzw. nicht magere) Teilmenge von sich selbst ist.

Eine Teilmenge davon wird genannt${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$comeagre in${\displaystyle X,}$oderEine Teilmenge ist genau dann ein Rest in${\displaystyle X,}$, wenn ihrKomplement mager in ist. (Diese Verwendung des Präfixes „ko“ entspricht seiner Verwendung in anderen Begriffen wie „kofinit“.) Eine Teilmenge heißtgenau dann ko-agre in , wenn sie gleich einem abzählbarenSchnittvon Mengen ist, deren Inneres jeweils dicht in ist.${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Anmerkungen zur Terminologie

Die Begriffe „nicht-mager“ und „komagr“ dürfen nicht verwechselt werden. Ist der Raum mager, so ist jede Teilmenge sowohl mager als auch komagr, und es gibt keine nicht-mageren Mengen. Ist der Raum nicht-mager, so ist keine Menge gleichzeitig mager und komagr, jede komagrierte Menge ist nicht-mager, und es kann nicht-magere Mengen geben, die nicht komagr sind, d. h. deren Komplement nicht-mager ist. Siehe dazu die Beispiele weiter unten. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Zur weiteren Terminologie: Wenn einer Teilmenge eines topologischen Raums die von induzierte Unterraumtopologie gegeben wird , kann man von einem mageren Raum sprechen, d. h. von einer mageren Teilmenge von sich selbst (betrachtet man ihn als eigenständigen topologischen Raum). In diesem Fall kann er auch als magerer Unterraum von bezeichnet werden , was bedeutet, dass er, gegeben die Unterraumtopologie, mager ist. Wichtig ist, dass dies nicht dasselbe ist wie Magerkeit im gesamten Raum . (Siehe die Abschnitte „Eigenschaften“ und „Beispiele“ weiter unten für den Zusammenhang zwischen den beiden.) Analog dazu ist ein nicht-magerer Unterraum eine Menge, die in sich selbst nicht mager ist, was nicht dasselbe ist wie Nicht-Magerkeit im gesamten Raum. Beachten Sie jedoch, dass im Kontext topologischer Vektorräume einige Autoren den Ausdruck „magerer/nicht-magerer Unterraum“ verwenden, um einen Vektorunterraum zu bezeichnen, der relativ zum gesamten Raum eine magere/nicht-magere Menge ist. ^{[ 2 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Die Begriffe erste Kategorie und zweite Kategorie waren die ursprünglichen Bezeichnungen, die René Baire in seiner Dissertation von 1899 verwendete . ^{[ 3 ]} Die spärliche Terminologie wurde 1948 von Bourbaki eingeführt . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Die leere Menge ist immer eine abgeschlossene, nirgends dichte (und damit magere) Teilmenge jedes topologischen Raums.

Im nicht-knappen Raum ist die Menge knapp. Die Menge ist nicht-knapp und kommt knapp. ${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$${\displaystyle [0,1]}$

Im nicht-mageren Raum ist die Menge nicht-mager. Sie ist aber nicht komplementär, da auch ihr Komplement nicht-mager ist. ${\displaystyle X=[0,2]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (1,2]}$

Ein abzählbarer T1 _- Raum ohne isolierte Punkte heißt mager. Daher ist er auch in jedem Raum mager, der ihn als Unterraum enthält. Beispielsweise ist sowohl ein magerer Unterraum von (d. h. mager in sich selbst mit der von induzierten Unterraumtopologie ) als auch eine magere Teilmenge von${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Die Cantor-Menge ist nirgends dicht in und daher mager in . Sie ist jedoch in sich nicht mager, da sie ein vollständiger metrischer Raum ist . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

The set ${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$ is not nowhere dense in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, but it is meagre in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. It is nonmeagre in itself (since as a subspace it contains an isolated point).

The line ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ is meagre in the plane ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ But it is a nonmeagre subspace, that is, it is nonmeagre in itself.

The set ${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$ is a meagre subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ even though its meagre subset ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ is a nonmeagre subspace (that is, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is not a meagre topological space).^[6] A countable Hausdorff space without isolated points is meagre, whereas any topological space that contains an isolated point is nonmeagre.^[6] Because the rational numbers are countable, they are meagre as a subset of the reals and as a space—that is, they do not form a Baire space.

Any topological space that contains an isolated point is nonmeagre^[6] (because no set containing the isolated point can be nowhere dense). In particular, every nonempty discrete space is nonmeagre.

There is a subset ${\displaystyle H}$ of the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ that splits every nonempty open set into two nonmeagre sets. That is, for every nonempty open set ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$, the sets ${\displaystyle U\cap H}$ and ${\displaystyle U\setminus H}$ are both nonmeagre.

In the space ${\displaystyle C([0,1])}$ of continuous real-valued functions on ${\displaystyle [0,1]}$ with the topology of uniform convergence, the set ${\displaystyle A}$ of continuous real-valued functions on ${\displaystyle [0,1]}$ that have a derivative at some point is meagre.^[7][8] Since ${\displaystyle C([0,1])}$ is a complete metric space, it is nonmeagre. So the complement of ${\displaystyle A}$, which consists of the continuous real-valued nowhere differentiable functions on ${\displaystyle [0,1],}$ is comeagre and nonmeagre. In particular that set is not empty. This is one way to show the existence of continuous nowhere differentiable functions.

On an infinite-dimensional Banach space, there exists a discontinuous linear functional whose kernel is nonmeagre.^[9] Also, under Martin's axiom, on each separable Banach space, there exists a discontinuous linear functional whose kernel is meagre (this statement disproves the Wilansky–Klee conjecture^[10]).^[9]

Jeder nichtleere Baire-Raum ist nichtmager. Nach dem Baireschen Kategoriensatz gilt dies sowohl für nichtleere vollständige (Pseudo-) metrische Räume als auch für lokalkompakte Hausdorff- Räume. Es gibt jedoch nichtmagere Räume, die keine Baire-Räume sind. ^{[ 6 ]}

Jede nirgends dichte Teilmenge ist eine magere Menge. ^{[ 11 ]} Folglich ist jede abgeschlossene Teilmenge von , deren Inneres in leer ist, von der ersten Kategorie in (das heißt, sie ist eine magere Teilmenge von ). ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Alle Teilmengen und alle abzählbaren Vereinigungen von mageren Mengen sind mager. Daher bilden die mageren Teilmengen eines festen Raums ein σ-Ideal von Teilmengen, ein geeigneter Begriff für eine vernachlässigbare Menge . Dual dazu sind alle Obermengen und alle abzählbaren Schnitte von komagren Mengen komagr. Jede Obermenge einer nicht-mageren Menge ist nicht-mager.

DerDer Banach-Kategoriensatz ^{[ 12 ]} besagt, dass in jedem Raumdie Vereinigung einer beliebigen Familie offener Mengen erster Kategorie wieder eine Menge erster Kategorie ist. ${\displaystyle X,}$

Angenommen, wobei die Unterraumtopologie von induziert ist. Die Menge kann mager in sein , ohne mager in zu sein. Es gelten jedoch die folgenden Ergebnisse: ^{[ 5 ]}${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

• Wenn mager in ist, dann ist mager in${\displaystyle A}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• Wenn in offen ist, dann ist in spärlich, genau dann, wenn in spärlich ist.${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• Wenn dicht in ist, dann ist mager in genau dann, wenn mager in ist${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

Und entsprechend für nicht-magere Mengen:

• Wenn nicht mager in ist, dann ist nicht mager in${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y.}$
• Wenn in offen ist, dann ist in nicht knapp, genau dann, wenn in nicht knapp ist.${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• Wenn dicht in ist, dann ist nicht mager in genau dann, wenn nicht mager in ist${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

Insbesondere ist jede Teilmenge von , die in sich selbst mangelhaft ist, auch in mangelhaft . Jede Teilmenge von , die in nicht mangelhaft ist, ist auch in sich selbst nicht mangelhaft. Und für eine offene oder dichte Menge in ist Mangelhaftigkeit in äquivalent dazu, Mangelhaftigkeit in sich selbst zu sein, und analog gilt die Eigenschaft der Nichtmangelhaftigkeit. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

Ein topologischer Raum heißt nichtmager genau dann, wenn jeder abzählbare Schnitt dichter offener Mengen in diesem Raum nicht leer ist. ^{[ 13 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Jede nirgends dichte Teilmenge von ist mager. Folglich ist jede abgeschlossene Teilmenge mit leerem Inneren mager. Daher muss eine abgeschlossene Teilmenge von , die von der zweiten Kategorie in ist, ein nichtleeres Inneres in ^{[ 14 ]} haben (denn andernfalls wäre sie nirgends dicht und somit von der ersten Kategorie). ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Wenn es sich um eine zweite Kategorie in handelt und wenn es Teilmengen von gibt, sodass , dann ist mindestens eine der zweiten Kategorie in${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle X.}$

Es gibt nirgends dichte Teilmengen (die somit magere Teilmengen sind), die ein positives Lebesgue-Maß haben . ^{[ 6 ]}

Eine magere Menge muss nicht das Lebesgue-Maß Null haben und kann sogar volles Maß haben. Beispielsweise sind dicke Cantor-Mengen im Intervall nirgends abgeschlossen und dicht, wie die Smith-Volterra-Cantor-Menge , und sie können mit einem Maß konstruiert werden, das beliebig nahe an liegt . Die Vereinigung einer abzählbaren Anzahl solcher Mengen mit Maß, das sich annähert, ergibt eine magere Teilmenge von mit Maß ^{[ 15 ].}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle 1.}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle 1.}$

Dual dazu kann es nicht-magere Mengen mit Maß Null geben. Das Komplement einer beliebigen mageren Menge vom Maß in (zum Beispiel derjenigen aus dem vorherigen Absatz) hat das Maß und ist in komegre und somit nicht-mager in , da ein Bairescher Raum ist. ${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$

Hier ist ein weiteres Beispiel einer nicht-mageren Menge mit Maß : wobei eine Folge ist, die die rationalen Zahlen aufzählt. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)}$$${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$

So wie eine nirgends dichte Teilmenge nicht abgeschlossen sein muss, aber immer in einer abgeschlossenen nirgends dichten Teilmenge (d. h. ihrem Abschluss) enthalten ist, so muss eine magere Menge keine Menge (abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen) sein, aber sie ist immer in einer Menge enthalten, die aus nirgends dichten Mengen gebildet wird (indem man den Abschluss jeder Menge bildet). ${\displaystyle F_{\sigma }}$${\displaystyle F_{\sigma }}$

Dual dazu gilt: Genau wie das Komplement einer nirgends dichten Menge nicht offen sein muss, sondern ein dichtes Inneres besitzt (eine dichte offene Menge enthält), so muss eine Comeagre-Menge keine Menge sein (abzählbarer Schnittpunkt offener Mengen), sondern enthält eine dichte Menge, die aus dichten offenen Mengen gebildet wird. ${\displaystyle G_{\delta }}$${\displaystyle G_{\delta }}$

Magere Mengen lassen sich auf nützliche Weise mithilfe des Banach-Mazur-Spiels charakterisieren . Sei ein topologischer Raum, eine Familie von Teilmengen von mit nichtleerem Inneren, sodass jede nichtleere offene Menge eine Teilmenge aus besitzt, und sei eine beliebige Teilmenge von . Dann existiert ein Banach-Mazur-Spiel . In diesem Spiel wählen zwei Spieler, und abwechselnd sukzessive kleinere Elemente aus , um eine Folge zu erzeugen. Spieler gewinnt, wenn der Schnittpunkt dieser Folge einen Punkt in enthält ; andernfalls gewinnt Spieler . ${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {W}},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q,}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Q}$

Viele Argumente über magere Mengen gelten auch für Nullmengen , d. h. Mengen mit Lebesgue-Maß 0. Der Satz von Erdős-Sierpinski besagt, dass es unter der Annahme eines Kontinuums eine Involution von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen gibt, bei der das Bild einer Nullmenge der reellen Zahlen eine magere Menge ist, und umgekehrt. ^{[ 16 ]} Tatsächlich ist das Bild einer Menge reeller Zahlen unter der Abbildung genau dann eine Nullmenge, wenn die ursprüngliche Menge mager war, und umgekehrt. ^{[ 17 ]}

• Fassförmiger Raum  – Art von topologischem Vektorraum
• Generische Eigenschaft  – Eigenschaft, die für typische Beispiele gilt, analog zu einem Restwert.
• Vernachlässigbare Menge  – Mathematische Menge, die als unbedeutend angesehen wird, analog zu mager
• Bairesche Eigenschaft  – Differenz einer offenen Menge durch eine magere Menge

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• Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. Allgemeine Topologie 2: Kapitel 5–10 [ Topologie Générale ]. Elemente der Mathematik . Bd. 4. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4OCLC  246032063 .​
• Oxtoby, John C. (1980). „Der Banachsche Kategoriensatz“ . Maß und Kategorie (2. Aufl.). New York: Springer. S.  62–65 . ISBN 0-387-90508-1Die
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• Willard, Stephen (2004) [1970]. Allgemeine Topologie . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC  115240 .​