Diophantische Approximation

In der Zahlentheorie befasst sich die diophantische Approximation mit der Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen . Sie ist nach Diophant von Alexandria benannt .

Das erste Problem bestand darin, herauszufinden, wie gut sich eine reelle Zahl durch rationale Zahlen annähern lässt. Eine rationale Zahl p / q ist eine „gute“ Näherung einer reellen Zahl α, wenn der Betrag der Differenz zwischen p / q und α nicht kleiner wird, wenn p / q durch eine andere rationale Zahl mit kleinerem Nenner ersetzt wird. Dieses Problem wurde im 18. Jahrhundert mithilfe einfacher Kettenbrüche gelöst .

Kennt man die „besten“ Näherungen einer gegebenen Zahl, so besteht die Hauptaufgabe des Fachgebiets darin, scharfe obere und untere Schranken für die obige Differenz zu finden, ausgedrückt als Funktion des Nenners . Es zeigt sich, dass diese Schranken von der Art der zu approximierenden reellen Zahlen abhängen: Die untere Schranke für die Approximation einer rationalen Zahl durch eine andere rationale Zahl ist größer als die untere Schranke für algebraische Zahlen , welche wiederum größer ist als die untere Schranke für alle reellen Zahlen. Eine reelle Zahl, die besser approximiert werden kann als die Schranke für algebraische Zahlen, ist daher mit Sicherheit eine transzendente Zahl .

Dieses Wissen ermöglichte es Liouville im Jahr 1844, die erste explizite transzendente Zahl anzugeben. Später wurden die Beweise dafür, dass π und e transzendent sind, mit einer ähnlichen Methode erbracht.

Diophantische Approximationen und die Theorie transzendenter Zahlen sind eng verwandte Gebiete, die viele Theoreme und Methoden gemeinsam haben. Diophantische Approximationen finden auch wichtige Anwendungen bei der Untersuchung diophantischer Gleichungen .

Die Fields-Medaille 2022 wurde James Maynard unter anderem für seine Arbeit zur diophantischen Approximation verliehen .

Für eine gegebene reelle Zahl α gibt es zwei Möglichkeiten, eine beste diophantische Approximation von α zu definieren . Nach der ersten Definition ^{[ 1 ]} ist die rationale Zahl p / q eine beste diophantische Approximation von α , wenn

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}$

für jede rationale Zahl p' / q' ungleich p / q , für die 0 < q ′ ≤  q gilt .

Für die zweite Definition ^{[ 2 ] [ 3 ]} wird die obige Ungleichung ersetzt durch

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.}$

Eine bestmögliche Näherung für die zweite Definition ist auch eine bestmögliche Näherung für die erste, die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. ^{[ 4 ]}

Die Theorie der Kettenbrüche ermöglicht es, die besten Näherungen einer reellen Zahl zu berechnen: Nach der zweiten Definition sind dies die Konvergenten ihrer Darstellung als regulärer Kettenbruch. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Nach der ersten Definition müssen zusätzlich die Halbkonvergenten berücksichtigt werden . ^{[ 1 ]}

Die Konstante e = 2,718281828459045235... hat beispielsweise die (reguläre) Kettenbruchdarstellung.

${\displaystyle [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].}$

Die besten Näherungen für die zweite Definition sind

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,}$

Während sie gemäß der ersten Definition Folgendes sind

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

Das offensichtliche Maß für die Genauigkeit einer diophantischen Näherung einer reellen Zahl α durch eine rationale Zahl p / q ist jedoch, dass diese Größe immer beliebig klein gemacht werden kann, indem man die Absolutbeträge von p und q erhöht ; daher wird die Genauigkeit der Näherung üblicherweise abgeschätzt, indem man diese Größe mit einer Funktion φ des Nenners q vergleicht , typischerweise einer negativen Potenz davon. ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Für einen solchen Vergleich benötigt man möglicherweise obere oder untere Schranken für die Genauigkeit. Eine untere Schranke wird typischerweise durch einen Satz wie „Für jedes Element α einer Teilmenge der reellen Zahlen und jede rationale Zahl p / q gilt …“ beschrieben. In manchen Fällen kann „jede rationale Zahl“ durch „alle rationalen Zahlen außer einer endlichen Anzahl“ ersetzt werden, was einer Multiplikation von φ mit einer von α abhängigen Konstanten entspricht . ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$

Bei der Bestimmung von oberen Schranken muss berücksichtigt werden, dass nicht alle von den Konvergenten gelieferten „besten“ diophantischen Näherungen die gewünschte Genauigkeit aufweisen. Daher lauten die Theoreme: „Für jedes Element α einer Teilmenge der reellen Zahlen gibt es unendlich viele rationale Zahlen p / q , sodass …“. ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$

Eine schlecht approximierbare Zahl ist ein x , für das es eine positive Konstante c gibt , sodass für alle rationalen p / q gilt:

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

Die schlecht approximierbaren Zahlen sind genau diejenigen mit beschränkten partiellen Quotienten . ^{[ 6 ]}

Äquivalent dazu ist eine Zahl schlecht approximierbar, wenn und nur wenn ihre Markov-Konstante endlich ist oder, äquivalent dazu, ihr einfacher Kettenbruch beschränkt ist.

Eine rationale Zahl kann offensichtlich und perfekt durch für jede positive ganze Zahl i angenähert werden . ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$

Wenn wir haben ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

Da es sich um eine positive ganze Zahl handelt, ist sie nicht kleiner als 1. Daher ist die Genauigkeit der Näherung im Vergleich zu irrationalen Zahlen schlecht (siehe nächste Abschnitte). ${\displaystyle |aq-bp|}$

Es sei angemerkt, dass der vorhergehende Beweis eine Variante des Schubfachprinzips verwendet : Eine nichtnegative ganze Zahl, die nicht 0 ist, ist nicht kleiner als 1. Diese scheinbar triviale Bemerkung wird in fast jedem Beweis von unteren Schranken für diophantische Approximationen verwendet, selbst in den anspruchsvollsten.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass eine rationale Zahl durch sich selbst perfekt angenähert werden kann, durch jede andere rationale Zahl jedoch nur schlecht.

In den 1840er Jahren erhielt Joseph Liouville die erste untere Schranke für die Approximation algebraischer Zahlen : Wenn x eine irrationale algebraische Zahl vom Grad n über den rationalen Zahlen ist, dann existiert eine Konstante c ( x ) > 0, so dass

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

gilt für alle ganzen Zahlen p und q , wobei q > 0 .

Dieses Ergebnis erlaubte es ihm, das erste bewiesene Beispiel einer transzendenten Zahl, die Liouville-Konstante, zu liefern.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

die den Satz von Liouville nicht erfüllt, egal welchen Grad n man wählt.

Diese Verbindung zwischen diophantischen Approximationen und transzendenter Zahlentheorie besteht bis heute. Viele Beweistechniken werden in beiden Bereichen gemeinsam genutzt.

Über mehr als ein Jahrhundert gab es zahlreiche Versuche, den Satz von Liouville zu verbessern: Jede Verbesserung der Schranke ermöglicht es, weitere transzendente Zahlen nachzuweisen. Die wichtigsten Verbesserungen gehen auf Axel Thue  ( 1909 ), Siegel  ( 1921 ), Freeman Dyson  ( 1947 ) und Klaus Roth  ( 1955 ) zurück und führten schließlich zum Satz von Thue-Siegel-Roth: Ist x eine irrationale algebraische Zahl und ε > 0 , so existiert eine positive reelle Zahl c ( x , ε ) , sodass

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

gilt für alle ganzen Zahlen p und q , für die q > 0 gilt .

In gewisser Hinsicht ist dieses Ergebnis optimal, da der Satz bei ε = 0 nicht gelten würde.  Dies ist eine unmittelbare Folge der unten beschriebenen oberen Schranken.

Anschließend verallgemeinerte Wolfgang M. Schmidt dies auf den Fall simultaner Approximationen und bewies Folgendes: Sind x₁ _, ..., xₙ algebraische Zahlen _, sodass 1, x₁ _, ..., xₙ linear unabhängig über den rationalen Zahlen sind , und ist ε eine beliebige positive reelle Zahl, dann gibt es nur endlich viele rationale n - Tupel ( p₁ _/ q , ..., pₙ / _q ) _, sodass

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Dieses Ergebnis ist wiederum insofern optimal, als dass man ε nicht aus dem Exponenten entfernen darf.

Alle vorhergehenden unteren Schranken sind insofern nicht effektiv , als die Beweise keine Möglichkeit zur Berechnung der in den Aussagen implizierten Konstante liefern. Dies bedeutet, dass man die Ergebnisse oder ihre Beweise nicht verwenden kann, um Schranken für die Größe der Lösungen verwandter diophantischer Gleichungen zu erhalten. Allerdings können diese Techniken und Ergebnisse häufig verwendet werden, um die Anzahl der Lösungen solcher Gleichungen zu beschränken.

Dennoch liefert eine Verfeinerung des Satzes von Baker durch Feldman eine effektive Schranke: Wenn x eine algebraische Zahl vom Grad n über den rationalen Zahlen ist, dann existieren effektiv berechenbare Konstanten c ( x ) > 0 und 0 <  d ( x ) <  n , sodass

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

Gilt für alle rationalen ganzen Zahlen.

Wie bei jeder effektiven Version des Baker-Theorems sind jedoch die Konstanten d und 1/ c so groß, dass dieses effektive Ergebnis in der Praxis nicht angewendet werden kann.

Das erste wichtige Ergebnis über obere Schranken für diophantische Approximationen ist der Dirichletsche Approximationssatz , der besagt, dass es für jede irrationale Zahl α unendlich viele Brüche gibt, sodass ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

Daraus folgt unmittelbar, dass man das ε in der Formulierung des Satzes von Thue-Siegel-Roth nicht unterdrücken kann.

Adolf Hurwitz (1891) ^{[ 7 ]} verstärkte dieses Ergebnis, indem er bewies, dass es zu jeder irrationalen Zahl α unendlich viele Brüche gibt, sodass ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

Daher stellt dies eine obere Schranke für die diophantischen Näherungen beliebiger irrationaler Zahlen dar. Die Konstante in diesem Ergebnis lässt sich nicht weiter verbessern, ohne einige irrationale Zahlen auszuschließen (siehe unten). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$

Émile Borel (1903) ^{[ 8 ]} zeigte, dass, wenn es eine beliebige irrationale Zahl α gibt und drei aufeinanderfolgende Konvergenten von α gegeben sind , mindestens eine die im Satz von Hurwitz angegebene Ungleichung erfüllen muss.

Definition : Zwei reelle Zahlen heißen äquivalent ^{[ 9 ] [ 10 ]} , wenn es ganze Zahlen mit gibt , sodass: ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle a,b,c,d\;}$${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

Äquivalenz wird also durch eine Möbius-Transformation auf den reellen Zahlen oder durch ein Element der Modulgruppe , der Menge der invertierbaren 2×2-Matrizen über den ganzen Zahlen, definiert. Jede rationale Zahl ist äquivalent zu 0; daher bilden die rationalen Zahlen eine Äquivalenzklasse für diese Relation. ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$

Die Äquivalenz kann an der regulären Kettenbruchdarstellung abgelesen werden, wie der folgende Satz von Serret zeigt :

Satz : Zwei irrationale Zahlen x und y sind genau dann äquivalent, wenn es zwei positive ganze Zahlen h und k gibt , sodass die regulären Kettenbruchdarstellungen von x und y

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}}$

erfüllen

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

für jede nichtnegative ganze Zahl i . ^{[ 11 ]}

Bis auf eine endliche Anfangsfolge haben äquivalente Zahlen also die gleiche Kettenbruchdarstellung.

Äquivalente Zahlen sind im gleichen Maße approximierbar, in dem Sinne, dass sie die gleiche Markov-Konstante besitzen .

Wie bereits erwähnt, lässt sich die Konstante im Satz von Borel nicht verbessern, wie Adolf Hurwitz 1891 zeigte. ^{[ 12 ]} Sei der Goldene Schnitt . Dann gibt es für jede reelle Konstante c mit nur endlich vielen rationalen Zahlen p / q, sodass ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

Eine Verbesserung lässt sich daher nur erzielen, wenn die Zahlen, die äquivalent zu sind, ausgeschlossen werden. Genauer gesagt: ^{[ 13 ] [ 14 ]} Für jede irrationale Zahl , die nicht äquivalent zu ist , gibt es unendlich viele Brüche, sodass ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

Durch sukzessives Ausschließen – man muss jeweils die Zahlen ausschließen, die äquivalent zu sind – immer weiterer Äquivalenzklassen lässt sich die untere Schranke weiter vergrößern. Die so erzeugten Werte sind Lagrange-Zahlen , die Teil des Lagrange-Spektrums sind . Sie konvergieren gegen die Zahl 3 und stehen in Zusammenhang mit den Markov-Zahlen . ^{[ 15 ] [ 16 ]}${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Sei f eine positive reellwertige Funktion auf den positiven ganzen Zahlen (d. h. eine positive Folge), sodass f nicht-wachsend ist. Eine reelle Zahl x (nicht notwendigerweise algebraisch) heißt -approximierbar, wenn es unendlich viele rationale Zahlen p / q gibt, sodass ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle q\psi (q)}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.}$

Aleksandr Khinchin bewies 1926, dass, wenn die Reihe divergiert, fast jede reelle Zahl (im Sinne des Lebesgue-Maßes ) approximierbar ist, und wenn die Reihe konvergiert, fast jede reelle Zahl nicht approximierbar ist. Der Gedankenkreis um diesen Satz und verwandte Sätze ist als metrische diophantische Approximation oder metrische Theorie der diophantischen Approximation (nicht zu verwechseln mit Höhenmetriken in der diophantischen Geometrie ) oder metrische Zahlentheorie bekannt . ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$

Duffin und Schaeffer (1941) bewiesen eine Verallgemeinerung von Khinchins Ergebnis und formulierten die heute als Duffin-Schaeffer-Vermutung bekannte Analogie zu Khinchins Dichotomie für allgemeine, nicht notwendigerweise monoton fallende Folgen . Beresnevich und Velani (2006) bewiesen, dass eine Hausdorff-Maß- Analogie der Duffin-Schaeffer-Vermutung äquivalent zur ursprünglichen, a priori schwächeren Duffin-Schaeffer-Vermutung ist. Im Juli 2019 verkündeten Dimitris Koukoulopoulos und James Maynard einen Beweis der Vermutung. ^{[ 17 ] [ 18 ]}${\displaystyle \psi }$

Ein wichtiges Beispiel für eine Funktion, auf die der Satz von Khinchin anwendbar ist, ist die Funktion , wobei c  > 1 eine reelle Zahl ist. Für diese Funktion konvergiert die entsprechende Reihe, und der Satz von Khinchin besagt daher, dass fast jeder Punkt nicht -approximierbar ist. Die Menge der -approximierbaren Zahlen bildet somit eine Teilmenge der reellen Zahlengeraden mit Lebesgue-Maß Null. Der Satz von Jarník-Besicovitch, aufgestellt von V. Jarník und A. S. Besicovitch , besagt, dass die Hausdorff-Dimension dieser Menge gleich ist . ^{[ 19 ]} Insbesondere hat die Menge der Zahlen, die für ein -approximierbar sind (bekannt als die Menge der sehr gut approximierbaren Zahlen ), die Hausdorff-Dimension Eins, während die Menge der Zahlen, die für alle -approximierbar sind (bekannt als die Menge der Liouville-Zahlen ), die Hausdorff-Dimension Null hat. ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle 1/c}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle c>1}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle c>1}$

Ein weiteres wichtiges Beispiel ist die Funktion , wobei eine reelle Zahl ist. Für diese Funktion divergiert die entsprechende Reihe, und daher besagt der Satz von Khinchin, dass fast jede Zahl -approximierbar ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass jede solche Zahl gut approximierbar ist , wobei eine Zahl als gut approximierbar bezeichnet wird, wenn sie nicht schlecht approximierbar ist. Ein geeignetes Analogon zum Satz von Jarník-Besicovitch betrifft daher die Hausdorff-Dimension der Menge der schlecht approximierbaren Zahlen. Und tatsächlich bewies V. Jarník, dass die Hausdorff-Dimension dieser Menge gleich eins ist. Dieses Ergebnis wurde von W. M. Schmidt verbessert , der zeigte, dass die Menge der schlecht approximierbaren Zahlen inkompressibel ist . Das bedeutet: Ist eine Folge von bi-Lipschitz -Abbildungen, so hat die Menge der Zahlen x, für die alle schlecht approximierbar sind, die Hausdorff-Dimension eins. Schmidt verallgemeinerte außerdem den Satz von Jarník auf höhere Dimensionen, was eine bedeutende Leistung darstellt, da Jarníks Argument im Wesentlichen eindimensional ist und auf dem Apparat der Kettenbrüche beruht. ${\displaystyle \psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \psi _{\varepsilon }}$${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$

Ein weiteres Thema, das eingehend erforscht wurde, ist die Theorie der _{Gleichverteilung} modulo 1. Betrachtet man eine Folge a₁ , a₂ _, ... reeller Zahlen und ihre Bruchteile , so betrachtet man abstrakter die Folge ℝⁿ , die einen Kreis darstellt. Für jedes Intervall I auf diesem Kreis betrachtet man den Anteil der Elemente der Folge, die bis auf eine ganze Zahl N darin liegen , und vergleicht ihn mit dem Anteil des Kreisumfangs, der von I eingenommen wird . Gleichverteilung bedeutet, dass im Grenzwert für wachsendes N der Anteil der Treffer im Intervall gegen den Erwartungswert konvergiert. Hermann Weyl bewies ein grundlegendes Ergebnis, das zeigte, dass dies äquivalent zu Schranken für Exponentialsummen ist, die aus der Folge gebildet werden. Dies zeigte, dass die Ergebnisse der diophantischen Approximation eng mit dem allgemeinen Problem der Kürzung in Exponentialsummen zusammenhängen, das in der analytischen Zahlentheorie bei der Abschätzung von Fehlertermen immer wieder auftritt. ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Im Zusammenhang mit der Gleichverteilung steht das Thema der Verteilungsunregelmäßigkeiten , das kombinatorischer Natur ist .

Grotschel, Lovašz und Schrijver beschreiben Algorithmen zur Bestimmung annähernd optimaler diophantischer Approximationen, sowohl für einzelne reelle Zahlen als auch für Mengen reeller Zahlen. Letzteres Problem wird als simultane diophantische Approximation bezeichnet . ^{[ 20 ] : Abschn. 5.2}

Es gibt in der diophantischen Approximation noch immer ungelöste Probleme, beispielsweise die Littlewood-Vermutung und die Vermutung des einsamen Läufers . Außerdem ist unbekannt, ob es algebraische Zahlen mit unbeschränkten Koeffizienten in ihrer Kettenbruchentwicklung gibt.

In seinem Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Kyoto (1990) skizzierte Grigory Margulis ein umfassendes, auf der Ergodentheorie basierendes Programm , das es ermöglicht, zahlentheoretische Ergebnisse mithilfe der dynamischen und ergodischen Eigenschaften von Wirkungen von Untergruppen halbeinfacher Lie-Gruppen zu beweisen . Die Arbeiten von D. Kleinbock, G. Margulis und ihren Mitarbeitern demonstrierten die Leistungsfähigkeit dieses neuartigen Ansatzes für klassische Probleme der diophantischen Approximation. Zu den bemerkenswertesten Erfolgen zählen der Beweis der jahrzehntealten Oppenheim-Vermutung durch Margulis, später erweitert von Dani und Margulis sowie von Eskin, Margulis und Mozes, und der Beweis der Baker- und Sprindzhuk-Vermutungen in der diophantischen Approximation auf Mannigfaltigkeiten durch Kleinbock und Margulis. Verschiedene Verallgemeinerungen der oben genannten Ergebnisse von Aleksandr Khinchin in der metrischen diophantischen Approximation wurden ebenfalls in diesem Rahmen erzielt.

• Satz von Davenport-Schmidt
• Satz von Duffin-Schaeffer
• Heilbronn-Set
• Sequenz mit geringer Diskrepanz

• Diophantische Approximation: Historischer Überblick. Archiviert am 14.02.2012 im Internet Archive . Aus dem Kurs „Einführung in die diophantischen Methoden“ von Michel Waldschmidt .
• „Diophantische Approximationen“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]