Fourier-Transformation in diskreter Zeit

In der Mathematik ist die diskrete Fourier-Transformation ( DTFT ) eine Form der Fourier-Analyse , die auf eine Folge diskreter Werte anwendbar ist.

Die DTFT wird häufig zur Analyse von Abtastwerten einer stetigen Funktion verwendet . Der Begriff „diskrete Zeit“ rührt daher, dass die Transformation auf diskreten Daten operiert, oft auf Abtastwerten mit einem Zeitintervall. Aus gleichmäßig verteilten Abtastwerten erzeugt sie eine Frequenzfunktion, die die periodische Summe der kontinuierlichen Fouriertransformierten der ursprünglichen stetigen Funktion darstellt. Vereinfacht ausgedrückt: Wendet man die DTFT auf regelmäßig verteilte Abtastwerte eines kontinuierlichen Signals an, erhält man sich wiederholende (und möglicherweise überlappende) Kopien des Frequenzspektrums des Signals, deren Abstände der Abtastfrequenz entsprechen. Unter bestimmten theoretischen Bedingungen, die im Abtasttheorem beschrieben werden , lässt sich die ursprüngliche stetige Funktion perfekt aus der DTFT und somit aus den ursprünglichen diskreten Abtastwerten rekonstruieren. Die DTFT selbst ist eine stetige Frequenzfunktion, deren diskrete Abtastwerte jedoch mithilfe der diskreten Fouriertransformation (DFT) leicht berechnet werden können (siehe § Abtastung der DTFT ). Dies ist die mit Abstand gebräuchlichste Methode der modernen Fourier-Analyse.

Beide Transformationen sind umkehrbar. Die inverse DTFT rekonstruiert die ursprüngliche Abtastdatenfolge, während die inverse DFT eine periodische Summation der ursprünglichen Folge erzeugt. Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist ein Algorithmus zur Berechnung eines Zyklus der DFT, und ihre Umkehrung erzeugt einen Zyklus der inversen DFT.

Sei eine stetige Funktion im Zeitbereich . Wir beginnen mit einer üblichen Definition der stetigen Fouriertransformation , wobei die Frequenz in Hertz und die Zeit in Sekunden angibt: ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.}$

Wir können das Integral durch Abtastung in Sekundenintervallen in eine Summe umwandeln (siehe Fourier-Transformation § Numerische Integration einer Reihe geordneter Paare ). Genauer gesagt können wir durch eine diskrete Folge seiner Abtastwerte, , für ganzzahlige Werte von ersetzen und das Differentialelement durch die Abtastperiode ersetzen . Somit erhalten wir eine Formulierung für die diskrete Fourier-Transformation (DTFT): ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s(nT)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi fTn}.}$

Diese Fourierreihe (in der Frequenz) ist eine stetige periodische Funktion , deren Periodizität der Abtastfrequenz entspricht . Der Index unterscheidet sie von der stetigen Fouriertransformation und von der Kreisfrequenzform der DTFT. Letztere erhält man durch die Definition einer Kreisfrequenzvariablen (mit der normierten Einheit Radiant /Abtastwert ), wodurch sich eine periodische Funktion der Kreisfrequenz mit der Periodizität ergibt : ^{[ a ]}${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i\omega n}.}$

Gl. 1

Die Nützlichkeit der DTFT beruht auf der Poisson-Summationsformel , die besagt, dass die durch die Fourier-Reihe dargestellte periodische Funktion eine periodische Summe der kontinuierlichen Fourier-Transformation ist : ^{[ b ]}

Poisson-Summation

${\displaystyle S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fTn}\;=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-k/T\right).}$

Gl. 2

Die Komponenten der periodischen Summation sind um ganzzahlige Werte (bezeichnet mit ) einer normierten Frequenz (Zyklen pro Abtastwert) zentriert. Die physikalische Frequenz (Zyklen pro Sekunde) ist das Produkt aus und der Abtastrate.   Für ausreichend große Werte von ist der Term im Bereich mit geringer oder keiner Verzerrung ( Aliasing ) durch die anderen Terme zu beobachten. Abb. 1 zeigt ein Beispiel, bei dem nicht groß genug ist, um Aliasing zu verhindern. ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f_{s}=1/T.}$${\displaystyle f_{s},}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle [-f_{s}/2,f_{s}/2]}$${\displaystyle 1/T}$

Wir stellen außerdem fest, dass es sich um die Fouriertransformierte von handelt . Daher lautet eine alternative Definition der DTFT : ^{[ A ]}${\displaystyle e^{-i2\pi fTn}}$${\displaystyle \delta (t-nT).}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}.}$

Gl. 3

Die modulierte Dirac- Kammfunktion ist eine mathematische Abstraktion, die manchmal auch als Impulsabtastung bezeichnet wird . ^{[ 3 ]}

Eine Operation, die die diskrete Datensequenz aus der DTFT-Funktion wiederherstellt, wird als inverse DTFT bezeichnet . Beispielsweise liefert die inverse kontinuierliche Fourier-Transformation beider Seiten von Gl. 3 die Sequenz in Form einer modulierten Dirac-Kammfunktion :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

Da jedoch periodisch ist, sind alle notwendigen Informationen in jedem Intervall der Länge enthalten.   Sowohl in Gl. 1 als auch in Gl. 2 sind die Summen über eine Fourier-Reihe mit Koeffizienten.   Die Standardformeln für die Fourier-Koeffizienten sind auch die inversen Transformationen :${\displaystyle S_{1/T}(f)}$${\displaystyle 1/T.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s[n].}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }S_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}}$

Gl. 4

Wenn die Eingangsdatensequenz periodisch ist , kann Gl. 2 rechnerisch auf eine diskrete Fourier-Transformation (DFT) reduziert werden, da :${\displaystyle s[n]}$${\displaystyle N}$

• Alle verfügbaren Informationen sind in den Proben enthalten.${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle S_{1/T}(f)}$Die Funktion konvergiert überall gegen Null, außer bei ganzzahligen Vielfachen der Frequenz, den sogenannten harmonischen Frequenzen. Bei diesen Frequenzen divergiert die DTFT mit unterschiedlichen frequenzabhängigen Raten. Diese Raten ergeben sich aus der DFT eines Zyklus der Sequenz.${\displaystyle 1/(NT),}$${\displaystyle s[n]}$
• Die DTFT ist periodisch, daher ist die maximale Anzahl eindeutiger harmonischer Amplituden${\displaystyle (1/T)/(1/(NT))=N.}$

Die DFT eines Zyklus der Sequenz lautet :${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle S[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},\quad k\in \mathbf {Z} .}$

Und kann mithilfe der inversen Transformation ausgedrückt werden, die manchmal als diskrete Fourierreihe (DFS) bezeichnet wird : ^{[ 1 ] : S. 542} ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle s[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any k-sequence of length N}},\quad n\in \mathbf {Z} .}$

Mit diesen Definitionen können wir den Zusammenhang zwischen der DTFT und der DFT aufzeigen :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}$      ^{[ c ] [ B ]}

Aufgrund der -Periodizität beider Funktionen lässt sich dies vereinfachen zu :${\displaystyle N}$${\displaystyle k,}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),}$

die die Anforderung der inversen Transformation erfüllt :

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}}$

Wenn die DTFT stetig ist, ist es üblich, eine beliebige Anzahl von Abtastwerten eines Zyklus der periodischen Funktion zu berechnen : ^{[ 1 ] : S. 557–559 & 703 [ 2 ] : S. 76} ${\displaystyle (N)}$${\displaystyle S_{1/T}}$  

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

wobei es sich um eine periodische Summation handelt :${\displaystyle s_{_{N}}}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN].}$     (siehe Diskrete Fourier-Reihen )

Die Sequenz ist die inverse DFT. Durch unsere Abtastung der DTFT wird die inverse Transformation periodisch. Das Array der Werte wird als Periodogramm bezeichnet , und der Parameter heißt NFFT in der gleichnamigen Matlab -Funktion. ^{[ 4 ]}${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle |S_{k}|^{2}}$${\displaystyle N}$

Um einen Zyklus numerisch auszuwerten, benötigen wir eine Folge endlicher Länge . Beispielsweise kann eine lange Folge durch eine Fensterfunktion der Länge abgeschnitten werden , was zu drei Fällen führt, die besondere Erwähnung verdienen. Der Einfachheit halber betrachten wir die folgenden Werte als die durch die Fensterfunktion veränderten Werte. ${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle s[n]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s[n]}$

Fallbeispiel: Frequenzdezimierung. für eine ganze Zahl (typischerweise 6 oder 8) ${\displaystyle L=N\cdot I,}$${\displaystyle I}$

Ein Zyklus reduziert sich auf eine Summe von Segmenten der Länge .   Die DFT hat dann verschiedene Namen, wie zum Beispiel :${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle N.}$

• Fenster-Vorsummen-FFT ^{[ 5 ]}
• Gewichtung, Überlappung, Addition (WOLA) ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ C ] [ D ]}
• Polyphasen-DFT ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• Polyphasen-Filterbank ^{[ 12 ]}
• Mehrfachblock-Fensterung und Zeitaliasing . ^{[ 13 ]}

Die Dezimierung von Abtastdaten in einem Bereich (Zeit oder Frequenz) führt zu Überlappungen (auch Aliasing genannt ) im anderen Bereich und umgekehrt. Im Vergleich zu einer DFT der Länge λ bewirkt die Summation/Überlappung eine Dezimierung im Frequenzbereich ^{[ 1 ] : S. 558,} sodass nur die DTFT-Abtastwerte übrig bleiben, die am wenigsten von spektraler Leckage betroffen sind . Dies ist üblicherweise eine Priorität bei der Implementierung einer FFT -Filterbank ( Kanalisierer ). Mit einer herkömmlichen Fensterfunktion der Länge λ wäre der Scalloping-Verlust inakzeptabel. Daher werden Mehrblock-Fenster mithilfe von FIR-Filterdesign -Tools erstellt ^{[ 14 ] [ 15 ]} .   Ihr Frequenzprofil ist am höchsten Punkt flach und fällt in der Mitte zwischen den verbleibenden DTFT-Abtastwerten schnell ab. Je größer der Wert des Parameters λ ist, desto besser ist die potenzielle Leistung. ${\displaystyle L}$${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle I,}$

Fall:${\displaystyle L=N+1}$

Wird eine symmetrische Fensterfunktion der Länge n ( ) um einen Koeffizienten abgeschnitten, spricht man von einer periodischen oder DFT-geraden Funktion . Dies ist gängige Praxis, jedoch beeinflusst die Abschneidung die DTFT (Spektralleckage) geringfügig. Die Charakterisierung dieses Effekts ist zumindest aus akademischem Interesse. Eine DFT der abgeschnittenen Fensterfunktion der Länge n liefert Frequenzabtastwerte in Intervallen von n statt n.   Die Abtastwerte sind reellwertig ( ^{[ 16 ] : S. 52)}   , stimmen aber nicht exakt mit der DTFT der symmetrischen Fensterfunktion überein. Die periodische Summation kann zusammen mit einer DFT der Länge n verwendet werden, um die DTFT in Intervallen von n abzutasten.   Diese Abtastwerte sind ebenfalls reellwertig und stimmen exakt mit der DTFT überein (Beispiel: Datei:Sampling the Discrete-time Fourier transform.svg ). Um das volle symmetrische Fenster für die Spektralanalyse bei dem Abstand zu nutzen , würde man die und Datenproben kombinieren (durch Addition, da das symmetrische Fenster sie gleich gewichtet) und dann das abgeschnittene symmetrische Fenster und die -Länge DFT anwenden. ${\displaystyle L}$${\displaystyle s}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 1/N,}$${\displaystyle 1/L.}$${\displaystyle s_{_{N}},}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 1/N.}$${\displaystyle 1/N}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=N}$${\displaystyle N}$

Fallbeispiel: Frequenzinterpolation.${\displaystyle L\leq N}$

In diesem Fall vereinfacht sich die DFT zu einer bekannteren Form :

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

Um die Vorteile eines schnellen Fourier-Transformationsalgorithmus zur Berechnung der DFT nutzen zu können, wird üblicherweise über alle Terme summiert, auch wenn einige davon null sind. Daher wird dieser Fall oft als Zero-Padding bezeichnet . ${\displaystyle N}$${\displaystyle N-L}$${\displaystyle L<N}$

Spektrale Leckage, die mit abnehmendem Wert zunimmt, beeinträchtigt bestimmte wichtige Leistungskennzahlen, wie die Auflösung mehrerer Frequenzkomponenten und das Rauschen pro DTFT-Abtastwert. Diese Aspekte sind jedoch nicht immer relevant, beispielsweise wenn die Sequenz eine rauschfreie Sinuswelle (oder eine Konstante) ist, die durch eine Fensterfunktion geformt wird. In solchen Fällen ist es üblich, Nullen aufzufüllen, um die detaillierten Leckagemuster von Fensterfunktionen grafisch darzustellen und zu vergleichen. Betrachten wir zur Veranschaulichung die folgende Sequenz für ein Rechteckfenster: ${\displaystyle L}$${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle s[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$Und${\displaystyle L=64.}$

Abbildungen 2 und 3 zeigen die Amplituden zweier DFTs unterschiedlicher Größe, wie in den Beschriftungen angegeben. In beiden Fällen liegt die dominante Komponente bei der Signalfrequenz. In Abb. 2 ist außerdem das spektrale Leckagemuster des Rechteckfensters sichtbar. Die Illusion in Abb. 3 entsteht durch die Abtastung der DTFT an ihren Nulldurchgängen. Anstatt der DTFT einer Sequenz endlicher Länge erweckt sie den Eindruck einer unendlich langen Sinusfolge. Zu dieser Illusion tragen die Verwendung eines Rechteckfensters und die Wahl einer Frequenz (1/8 = 8/64) mit genau 8 (einer ganzen Zahl) Zyklen pro 64 Abtastwerten bei. Ein Hann-Fenster würde ein ähnliches Ergebnis liefern, allerdings würde der Peak auf 3 Abtastwerte verbreitert (siehe DFT-gerades Hann-Fenster ). ${\displaystyle f=1/8=0.125}$${\displaystyle L=64}$

Der Faltungssatz für Folgen lautet :

${\displaystyle s*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[ 17 ] : S. 297 [ d ]}

Ein wichtiger Spezialfall ist die zirkuläre Faltung von Folgen s und y, definiert durch , wobei eine periodische Summation ist. Die diskrete Frequenzcharakteristik von bedeutet, dass auch das Produkt mit der stetigen Funktion diskret ist, was zu einer erheblichen Vereinfachung der inversen Transformation führt :${\displaystyle s_{_{N}}*y,}$${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}}$${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[ 18 ] [ 1 ] : S. 548}

Für s- und y- Folgen, deren von Null verschiedene Dauer kleiner oder gleich N ist , ergibt sich folgende abschließende Vereinfachung :

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

Die Bedeutung dieses Ergebnisses wird unter zirkuläre Faltung und schnelle Faltungsalgorithmen erläutert .

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$ist eine Fourierreihe , die auch mithilfe der bilateralen Z-Transformation ausgedrückt werden kann . D.h .:

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\left.S_{z}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}=S_{z}(e^{i\omega }),}$

Die Notation unterscheidet die Z-Transformation von der Fourier-Transformation. Daher können wir auch einen Teil der Z-Transformation mithilfe der Fourier-Transformation ausdrücken :${\displaystyle S_{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{z}(e^{i\omega })&=\ S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

Beachten Sie, dass sich bei Änderung des Parameters T der Abstand der Terme von S _{1/ T} ( f ) konstant hält und sich ihre Breite 1/ T ändert. ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$${\displaystyle 2\pi }$

Einige gängige Transformationspaare sind in der folgenden Tabelle aufgeführt. Es gilt folgende Notation :

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$ist eine reelle Zahl, die die kontinuierliche Kreisfrequenz (in Radiant pro Abtastwert) darstellt. ( wird in Zyklen/Sekunde angegeben, und wird in Sekunden/Abtastwert angegeben.) In allen Fällen in der Tabelle ist die DTFT 2π-periodisch (in ).${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$bezeichnet eine Funktion, die auf definiert ist .${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$
• ${\displaystyle S_{o}(\omega )}$bezeichnet eine Funktion, die auf definiert ist und außerhalb von null. Dann:${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$$${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k).}$$
• ${\displaystyle \delta (\omega )}$ist die Dirac-Delta-Funktion
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$ist die normalisierte Sinc-Funktion
• ${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$ist die Dreiecksfunktion
• n ist eine ganze Zahl, die den diskreten Zeitbereich (in Abtastwerten) repräsentiert.
• ${\displaystyle u[n]}$ist die diskrete Einheitssprungfunktion
• ${\displaystyle \delta [n]}$ist das Kronecker-Delta${\displaystyle \delta _{n,0}}$

Zeitbereich s [ n ]	Frequenzbereich S 2 π ( ω )	Anmerkungen	Referenz
${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=1}$		[ 17 ] : S. 305
${\displaystyle \delta [n-M]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}}$	ganze Zahl${\displaystyle M}$
${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$ ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$     ungerades M     gerades M${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$	ganze Zahl${\displaystyle M>0}$
${\displaystyle u[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$ ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!}$	Der Term muss als Verteilung im Sinne eines Cauchy-Hauptwertes um seine Pole bei interpretiert werden . ${\displaystyle 1/(1-e^{-i\omega })}$${\displaystyle \omega =2\pi k}$
${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!}$	${\displaystyle 0<|a|<1}$	[ 17 ] : S. 305
${\displaystyle e^{-ian}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),}$     -π < a < π ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)}$	reelle Zahl${\displaystyle a}$
${\displaystyle \cos(a\cdot n)}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],}$ ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k)}$	reelle Zahl mit${\displaystyle a}$${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \sin(a\cdot n)}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]}$	reelle Zahl mit${\displaystyle a}$${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]\equiv \operatorname {rect} \left[{n-M \over N-1}\right]}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\sin(N\omega /2) \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!}$	ganze und ungerade ganze Zahl${\displaystyle M,}$${\displaystyle N}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} (W(n+a))}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }}$	reelle Zahlen mit${\displaystyle W,a}$${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)}$	reelle Zahl ,${\displaystyle W}$${\displaystyle 0<W<0.5}$
${\displaystyle {\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\text{elsewhere}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=j\omega }$	Es funktioniert als Differenzierungsfilter
${\displaystyle {\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }}$	reelle Zahlen mit${\displaystyle W,a}$${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=|\omega |}$
${\displaystyle {\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}}$	Hilbert-Transformation
${\displaystyle {\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=}$	reelle Zahlen komplex${\displaystyle A,B}$${\displaystyle C}$

Diese Tabelle zeigt einige mathematische Operationen im Zeitbereich und die entsprechenden Auswirkungen im Frequenzbereich.

• ${\displaystyle *\!}$ist die diskrete Faltung zweier Sequenzen
• ${\displaystyle s^{*}[n]}$ist die komplex Konjugierte von${\displaystyle s[n].}$

Eigentum	Zeitbereich s [ n ]	Frequenzbereich${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$	Anmerkungen	Referenz
Linearität	${\displaystyle a\cdot s[n]+b\cdot y[n]}$	${\displaystyle a\cdot S_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )}$	komplexe Zahlen${\displaystyle a,b}$	[ 17 ] : S. 294
Zeitumkehr / Frequenzumkehr	${\displaystyle s[-n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(-\omega )\!}$		[ 17 ] : S. 297
Zeitkonjugation	${\displaystyle s^{*}[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }^{*}(-\omega )\!}$		[ 17 ] : S. 291
Zeitumkehr und Konjugation	${\displaystyle s^{*}[-n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }^{*}(\omega )\!}$		[ 17 ] : S. 291
Tatsächlicher Teil der Zeit	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S_{2\pi }(\omega )+S_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[ 17 ] : S. 291
Imaginärer Zeitanteil	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S_{2\pi }(\omega )-S_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[ 17 ] : S. 291
Realteil der Frequenz	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s[n]+s^{*}[-n])}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S_{2\pi }(\omega ))}}$		[ 17 ] : S. 291
Imaginärteil der Frequenz	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s[n]-s^{*}[-n])}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S_{2\pi }(\omega ))}}$		[ 17 ] : S. 291
Zeitverschiebung / Frequenzmodulation	${\displaystyle s[n-k]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}}$	ganze Zahl k	[ 17 ] : S. 296
Frequenzverschiebung / Zeitmodulation	${\displaystyle s[n]\cdot e^{ian}\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega -a)\!}$	reelle Zahl${\displaystyle a}$	[ 17 ] : S. 300
Dezimierung	${\displaystyle s[nM]}$	${\displaystyle {\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}S_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!}$  [ E ]	ganze Zahl${\displaystyle M}$
Zeitausdehnung	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{cases}s[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{2\pi }(M\omega )\!}$	ganze Zahl${\displaystyle M}$	[ 1 ] : S. 172
Ableitung in der Frequenz	${\displaystyle {\frac {n}{i}}s[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {dS_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!}$		[ 17 ] : S. 303
Integration in Frequenz	${\displaystyle \!}$	${\displaystyle \!}$
Zeitliche Unterschiede	${\displaystyle s[n]-s[n-1]\!}$	${\displaystyle \left(1-e^{-i\omega }\right)S_{2\pi }(\omega )\!}$
Summation in der Zeit	${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{n}s[m]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}S_{2\pi }(\omega )+\pi S(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$
Faltung in der Zeit / Multiplikation in der Frequenz	${\displaystyle s[n]*y[n]\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$		[ 17 ] : S. 297
Multiplikation in der Zeit / Faltung in der Frequenz	${\displaystyle s[n]\cdot y[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }S_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!}$	Periodische Faltung	[ 17 ] : S. 302
Kreuzkorrelation	${\displaystyle \rho _{sy}[n]=s^{*}[-n]*y[n]\!}$	${\displaystyle R_{sy}(\omega )=S_{2\pi }^{*}(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$
Satz von Parseval	${\displaystyle E_{sy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{s[n]\cdot y^{*}[n]}\!}$	${\displaystyle E_{sy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{S_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }^{*}(\omega )d\omega }\!}$		[ 17 ] : S. 302

• Spektralanalyse nach der Methode der kleinsten Quadrate
• Multidimensionale Transformation
• Zak verwandelt sich