Abschluss (Mathematik)

In der Mathematik heißt eine Teilmenge einer größeren Menge bezüglich einer gegebenen Operation auf der größeren Menge abgeschlossen , wenn die Anwendung dieser Operation auf Elemente der Teilmenge stets ein Element dieser Teilmenge ergibt. Beispielsweise sind die natürlichen Zahlen bezüglich der Addition abgeschlossen, nicht aber bezüglich der Subtraktion: 1 − 2 ist keine natürliche Zahl, obwohl 1 und 2 natürliche Zahlen sind.

Analog dazu heißt eine Teilmenge abgeschlossen unter einer Menge von Operationen, wenn sie unter jeder einzelnen Operation abgeschlossen ist.

Der Abschluss einer Teilmenge ist das Ergebnis eines Abschlussoperators, der auf die Teilmenge angewendet wird. Der Abschluss einer Teilmenge bezüglich bestimmter Operationen ist die kleinste Obermenge, die unter diesen Operationen abgeschlossen ist. Er wird oft als Spann (z. B. linearer Spann ) oder als erzeugte Menge bezeichnet .

Sei S eine Menge, die mit einem oder mehreren Verfahren ausgestattet ist, um Elemente von S aus anderen Elementen von S zu erzeugen . ^{[ Anmerkung 1 ]} Eine Teilmenge X von S heißt abgeschlossen bezüglich dieser Verfahren, wenn die Eingabe von ausschließlich Elementen von X stets zu einem Element führt, das noch in X liegt . Manchmal kann man auch sagen, dass X die Eigenschaft besitzt , dass …Schließungsobjekt .

Die wichtigste Eigenschaft abgeschlossener Mengen, die sich unmittelbar aus der Definition ergibt, ist, dass der Schnitt abgeschlossener Mengen wieder eine abgeschlossene Menge ist . Daraus folgt, dass es zu jeder Teilmenge Y von S eine kleinste abgeschlossene Teilmenge X von S gibt, sodass X der Schnitt aller abgeschlossenen Teilmengen ist, die Y enthalten . Je nach Kontext wird X als der Abschluss von Y oder als die von Y erzeugte bzw. aufgespannte Menge bezeichnet . ${\displaystyle Y\subseteq X}$

Die Konzepte abgeschlossener Mengen und des Abschlusses werden oft auf beliebige Eigenschaften von Teilmengen erweitert, die unter Schnitt stabil sind; das heißt, jeder Schnitt von Teilmengen, die die Eigenschaft besitzen, besitzt auch die Eigenschaft . Beispielsweise ist in einer Zariski-abgeschlossenen Menge , auch bekannt als algebraische Menge , die Menge der gemeinsamen Nullstellen einer Polynomschar , und der Zariski-Abschluss einer Punktmenge V ist die kleinste algebraische Menge, die V enthält . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

Eine algebraische Struktur ist eine Menge, die mit Operationen ausgestattet ist, welche bestimmte Axiome erfüllen . Diese Axiome können Identitäten sein . Einige Axiome können Existenzquantoren enthalten; in diesem Fall ist es sinnvoll, Hilfsoperationen hinzuzufügen, sodass alle Axiome zu Identitäten oder rein universell quantifizierten Formeln werden. Siehe Algebraische Struktur für Details. Eine abgeschlossene Menge mit einer einzigen binären Operation wird als Magma bezeichnet . ${\displaystyle \exists ;}$

In diesem Kontext ist eine Teilstruktur einer gegebenen algebraischen Struktur S eine Teilmenge , die unter allen Operationen von S abgeschlossen ist , einschließlich der Hilfsoperationen, die zur Vermeidung von Existenzquantoren benötigt werden. Eine Teilstruktur ist eine algebraische Struktur vom gleichen Typ wie S. Daraus folgt, dass in einem konkreten Beispiel beim Beweis der Abgeschlossenheit die Axiome für den Beweis, dass eine Teilstruktur eine Struktur vom gleichen Typ ist, nicht überprüft werden müssen.

Gegeben sei eine Teilmenge X einer algebraischen Struktur S. Der Abschluss von X ist die kleinste Teilstruktur von S , die unter allen Operationen von S abgeschlossen ist . Im Kontext algebraischer Strukturen wird dieser Abschluss allgemein als die von X erzeugte oder aufgespannte Teilstruktur bezeichnet , und man sagt, dass X ein Erzeugendensystem der Teilstruktur ist.

Eine Gruppe ist beispielsweise eine Menge mit einer assoziativen Operation (oft Multiplikation genannt ) und einem neutralen Element , sodass jedes Element ein inverses Element besitzt . Die Hilfsoperationen sind hierbei die Nulloperation , die zum neutralen Element führt, und die unäre Operation der Inversion. Eine Teilmenge einer Gruppe, die bezüglich Multiplikation und Inversion abgeschlossen ist, ist genau dann auch bezüglich der Nulloperation abgeschlossen (d. h., sie enthält das neutrale Element), wenn sie nicht leer ist. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe, die bezüglich Multiplikation und Inversion abgeschlossen ist, wird daher als Untergruppe bezeichnet . Die von einem einzelnen Element erzeugte Untergruppe, also der Abschluss dieses Elements, wird als zyklische Gruppe bezeichnet .

In der linearen Algebra ist der Abschluss einer nichtleeren Teilmenge eines Vektorraums (bezüglich Vektorraumoperationen, d. h. Addition und Skalarmultiplikation ) die lineare Hülle dieser Teilmenge. Nach dem vorangegangenen allgemeinen Ergebnis ist es ein Vektorraum, und es lässt sich leicht beweisen, dass die Menge der Linearkombinationen von Elementen der Teilmenge ist.

Ähnliche Beispiele lassen sich für nahezu alle algebraischen Strukturen anführen, mitunter unter Verwendung spezifischer Terminologie. Beispielsweise wird in einem kommutativen Ring der Abschluss eines einzelnen Elements unter Idealoperationen als Hauptideal bezeichnet .

Eine binäre Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge von , der Menge aller geordneten Paare auf . Die Infixnotation wird häufig für verwendet . Wir können verschiedene Arten von Abschlüssen von auf durch die Eigenschaften und Operationen von definieren. Zum Beispiel: ^{[ Anmerkung 2 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle (x,y)\in R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

Reflexivität

Da jeder Schnittpunkt reflexiver Relationen reflexiv ist, definieren wir den reflexiven Abschluss von auf als die kleinste reflexive Relation auf , die enthält .${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

Symmetrie

Da wir eine unäre Operation auf definieren können, die auf abbildet , definieren wir den symmetrischen Abschluss von auf als die kleinste Relation auf , die enthält und unter dieser unären Operation abgeschlossen ist.${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (y,x)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

Transitivität

Da wir eine partielle binäre Operation auf definieren können , die und auf abbildet , definieren wir den transitiven Abschluss von auf als die kleinste Relation auf , die enthält und unter dieser partiellen binären Operation abgeschlossen ist.${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (y,z)}$${\displaystyle (x,z)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

Eine Präordnung ist eine Relation, die reflexiv und transitiv ist. Daraus folgt, dass der reflexiv-transitive Abschluss einer Relation die kleinste Präordnung ist, die sie enthält. Analog dazu ist der reflexiv-transitive symmetrische Abschluss oder Äquivalenzabschluss einer Relation die kleinste Äquivalenzrelation , die sie enthält.

• In der Matroidtheorie ist der Abschluss von X die größte Obermenge von X , die denselben Rang wie X hat .
• Der transitive Abschluss einer Menge . ^{[ 1 ]}
• Der algebraische Abschluss eines Körpers . ^{[ 2 ]}
• Der Integralabschluss eines Integritätsbereichs in einem Körper , der diesen enthält.
• Das Radikal eines Ideals in einem kommutativen Ring .
• In der Geometrie ist die konvexe Hülle einer Punktmenge S die kleinste konvexe Menge , von der S eine Teilmenge ist . ^{[ 3 ]}
• In formalen Sprachen kann der Kleene-Abschluss einer Sprache als die Menge der Zeichenketten beschrieben werden, die durch Verkettung von null oder mehr Zeichenketten aus dieser Sprache gebildet werden können.
• In der Gruppentheorie ist der konjugierte Abschluss oder normale Abschluss einer Menge von Gruppenelementen die kleinste normale Untergruppe, die die Menge enthält.
• In der mathematischen Analysis und in der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Abschluss einer Menge von Teilmengen von X unter abzählbar vielen Mengenoperationen als die von der Menge erzeugte σ-Algebra bezeichnet .

In den vorangegangenen Abschnitten wurden Abschlüsse für Teilmengen einer gegebenen Menge betrachtet. Die Teilmengen einer Menge bilden eine partiell geordnete Menge (Poset) für die Inklusion . Abschlussoperatoren ermöglichen es, das Konzept des Abschlusses auf beliebige partiell geordnete Mengen zu verallgemeinern.

Gegeben sei eine partielle Ordnung S , deren partielle Ordnung mit ≤ bezeichnet wird . Ein Abschlussoperator auf S ist eine Funktion , die ${\displaystyle C:S\to S}$

• zunehmend ( für alle ),${\displaystyle x\leq C(x)}$${\displaystyle x\in S}$
• idempotent ( ), und${\displaystyle C(C(x))=C(x)}$
• monoton ( ). ^{[ 4 ]}${\displaystyle x\leq y\implies C(x)\leq C(y)}$

Äquivalent dazu ist eine Funktion von S nach S ein Abschlussoperator, wenn für alle${\displaystyle x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)}$${\displaystyle x,y\in S.}$

Ein Element von S ist abgeschlossen , wenn es sein eigener Abschluss ist, d.h. wenn Nach dem Idempotenzprinzip ist ein Element genau dann abgeschlossen, wenn es der Abschluss eines Elements von S ist . ${\displaystyle x=C(x).}$

Ein Beispiel ist der topologische Abschlussoperator ; in Kuratowskis Charakterisierung entsprechen die Axiome K2, K3, K4' den oben definierten Eigenschaften. Ein Beispiel, das nicht auf Teilmengen operiert, ist die Aufrundungsfunktion , die jede reelle Zahl x auf die kleinste ganze Zahl abbildet, die nicht kleiner als x ist .

Ein Abschluss auf den Teilmengen einer gegebenen Menge kann entweder durch einen Abschlussoperator oder durch eine Menge abgeschlossener Mengen definiert werden, die unter Schnitt stabil ist und die gegebene Menge enthält. Diese beiden Definitionen sind äquivalent.

Die definierenden Eigenschaften eines Abschlussoperators C implizieren, dass ein Schnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist: Wenn ein Schnitt abgeschlossener Mengen ist, dann muss X enthalten und in jedem enthalten sein. Dies impliziert nach Definition des Schnitts. ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle C(X)=X}$

Umgekehrt gilt: Sind abgeschlossene Mengen gegeben und ist jeder Schnitt abgeschlossen, so kann man einen Abschlussoperator C definieren , sodass der Schnitt der abgeschlossenen Mengen ist, die X enthalten . ${\displaystyle C(X)}$

Diese Äquivalenz bleibt auch für partiell geordnete Mengen mit der Eigenschaft der größten unteren Schranke gültig , wenn man „abgeschlossene Mengen“ durch „abgeschlossene Elemente“ und „Schnittmenge“ durch „größte untere Schranke“ ersetzt.

• Weisstein, Eric W. „Algebraischer Abschluss“ . MathWorld .