Euler-System

In der Mathematik , insbesondere in der Zahlentheorie , bezeichnet man als Euler-System eine Menge kompatibler Elemente von Galois-Kohomologiegruppen, indiziert durch Körper . Sie wurden von Kolyvagin  ( 1990 ) in seiner Arbeit über Heegner-Punkte auf modularen elliptischen Kurven eingeführt, die durch seine frühere Arbeit (Kolyvagin, 1988) und die Arbeiten von Thaine (1988) motiviert war . Euler-Systeme sind nach Leonhard Euler benannt, da die Faktoren, die verschiedene Elemente eines Euler-Systems verknüpfen, den Euler-Faktoren eines Euler-Produkts ähneln .

Euler-Systeme können zur Konstruktion von Annihilatoren von Idealklassengruppen oder Selmer-Gruppen verwendet werden , wodurch Schranken für deren Ordnungen bestimmt werden können. Dies wiederum führte zu tiefgreifenden Theoremen wie der Endlichkeit einiger Tate-Shafarevich-Gruppen . Daraus resultierte Karl Rubins neuer Beweis der Hauptvermutung der Iwasawa-Theorie , der als einfacher gilt als der ursprüngliche Beweis von Barry Mazur und Andrew Wiles .

Obwohl es verschiedene Definitionen spezieller Euler-Systeme gibt, scheint keine veröffentlichte Definition zu existieren, die alle bekannten Fälle abdeckt. Man kann jedoch grob sagen, was ein Euler-System ist, und zwar wie folgt:

• Ein Eulersystem ist eine Menge von Elementen c ∈ _F. Diese Elemente werden oft durch bestimmte Zahlkörper F , die einen festen Zahlkörper K enthalten , oder durch etwas eng Verwandtes wie quadratfreie ganze Zahlen indiziert. Die Elemente c ∈ _F sind typischerweise Elemente einer Galois-Kohomologiegruppe wie H₁ ⁽ F , T ) , wobei T eine p -adische Darstellung der absoluten Galoisgruppe von K ist .
• Die wichtigste Bedingung ist, dass die Elemente c _F und c _G für zwei verschiedene Körper F  ⊆  G durch eine einfache Formel miteinander verknüpft sind, wie zum Beispiel

${\displaystyle {\rm {cor}}_{G/F}(c_{G})=\prod _{q\in \Sigma (G/F)}P(\mathrm {Fr} _{q}^{-1}|{\rm {Hom}}_{O}(T,O(1));\mathrm {Fr} _{q}^{-1})c_{F}}$

Hierbei ist der "Euler-Faktor" P (τ| B ; x ) definiert als das Element det(1-τ x | B ), das als Element von O[ x ] betrachtet wird und das, wenn x auf B wirkt, nicht dasselbe ist wie det(1-τ x | B ), das als Element von O betrachtet wird.

• Es können weitere Bedingungen vorliegen, die die c _F erfüllen müssen, wie zum Beispiel Kongruenzbedingungen.

Kazuya Kato bezeichnet die Elemente eines Eulersystems als „arithmetische Inkarnationen von Zeta“ und beschreibt die Eigenschaft, ein Eulersystem zu sein, als „eine arithmetische Widerspiegelung der Tatsache, dass diese Inkarnationen mit speziellen Werten von Eulerprodukten in Zusammenhang stehen“. ^{[ 1 ]}

Für jede quadratfreie positive ganze Zahl n wähle man eine n -te Wurzel ζ_{_n} von 1, wobei ζ _{_mn} = ζ _{_m} ζ _n für teilerfremde m und n gilt . Dann ist das zyklotomische Euler-System die Menge der Zahlen α _{_n} = 1 − ζ _{_n} . Diese erfüllen die folgenden Relationen:

${\displaystyle N_{Q(\zeta _{nl})/Q(\zeta _{l})}(\alpha _{nl})=\alpha _{n}^{F_{l}-1}}$

${\displaystyle \alpha _{nl}\equiv \alpha _{n}}$modulo aller Primzahlen oberhalb von l

wobei l eine Primzahl ist, die n nicht teilt, und F _l ein Frobenius-Automorphismus mit F _l (ζ _n ) = ζ ist^l _nKolyvagin nutzte dieses Euler-System, um einen elementaren Beweis der Gras-Vermutung zu liefern .

Kolyvagin konstruierte ein Euler-System aus den Heegner-Punkten einer elliptischen Kurve und nutzte dieses, um zu zeigen, dass die Tate-Shafarevich-Gruppe in einigen Fällen endlich ist.

Katos Euler-System besteht aus bestimmten Elementen, die in der algebraischen K-Theorie modularer Kurven auftreten . Diese Elemente – benannt nach Alexander Beilinson, der sie in Beilinson (1984) einführte – wurden von Kazuya Kato in Kato (2004) verwendet , um eine Teilbarkeit in Barry Mazurs Hauptvermutung der Iwasawa-Theorie für elliptische Kurven zu beweisen . ^{[ 2 ]}

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• Mehrere Artikel über Kolyvagin-Systeme sind auf Barry Mazurs Webseite verfügbar ( archiviert am 17.05.2011 in der Wayback Machine , Stand Juli 2005).