Adelische algebraische Gruppe

In der Zahlentheorie und arithmetischen Geometrie bilden die Adelepunkte einer algebraischen Gruppe über einem globalen Körper eine topologische Gruppe , die mit bezeichnet wird , wobei der Adele-Ring von ist . Für eine lineare algebraische Gruppe kann als das eingeschränkte Produkt der lokalen Gruppen über alle Stellen von bezüglich kompakter offener Untergruppen an fast allen nicht-archimedischen Stellen beschrieben werden .${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle G(K_{v})}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G({\mathcal {O}}_{v})}$

Adelische Gruppen bilden den natürlichen Rahmen für automorphe Formen und Darstellungen. Ihre Basisquotienten, wie z. B. , kodieren arithmetische Informationen aus allen Vervollständigungen von gleichzeitig. Wichtige Beispiele sind die Idele-Gruppe , adelische allgemeine lineare Gruppen , adelische Tori und adelische Punkte reduktiver Gruppen . Tamagawa-Maße und Tamagawa-Zahlen werden mithilfe von Haar-Maßen auf solchen Gruppen definiert .${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\mathbb {G} _{m}(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {A} _{K})}$

Historisch gesehen wurden die Idèles ( / ɪ ˈ d ɛ l z / ) von Chevalley  ( 1936 ) unter dem Namen „élément idéal“ (französisch für „ideales Element“) eingeführt, den Chevalley (1940) auf Anregung von Hasse zu „idèle“ abkürzte . (In diesen Arbeiten gab er den Idèles auch eine nicht- Hausdorffsche Topologie .) Dies diente der Formulierung der Klassenkörpertheorie für unendliche Erweiterungen mithilfe topologischer Gruppen. Weil (1938) definierte (ohne jedoch einen Namen zu vergeben) den Adeles-Ring im Funktionenkörperfall und wies darauf hin, dass Chevalleys Gruppe der Idealelemente die Gruppe der invertierbaren Elemente dieses Rings sei. Tate (1950) definierte den Adeles-Ring als eingeschränktes direktes Produkt, nannte seine Elemente jedoch „Bewertungsvektoren“ statt Adeles.

Chevalley (1951) definierte den Adelenring im Funktionenkörper unter der Bezeichnung „Repartitionen“. Der heutige Begriff „Adèle “ steht für „additive Idèles“ und kann auch ein französischer Frauenname sein. Der Begriff „Adèle“ war kurz darauf in Gebrauch ( Jaffard 1953 ) und wurde möglicherweise von André Weil eingeführt . Die allgemeine Konstruktion adelischer algebraischer Gruppen durch Ono (1957) folgte der von Armand Borel und Harish-Chandra begründeten algebraischen Gruppentheorie .

Sei ein globaler Körper und sei sein Adele-Ring . Ist eine algebraische Gruppe über , so bezeichnet die Notation die Gruppe der Adele-Punkte von . Informell ist ein Element von eine kompatible Familie lokaler Punkte von , wobei es sich um einen Punkt über jeder Vervollständigung von handelt . ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle K}$

Für eine lineare algebraische Gruppe kann die adelische Gruppe als eingeschränktes Produkt beschrieben werden, wobei über die Stellen von läuft . An fast allen nicht-archimedischen Stellen wird das eingeschränkte Produkt bezüglich der kompakten offenen Untergruppe gebildet , wobei der Bewertungsring von ist , nachdem ein Integralmodell von außerhalb einer endlichen Menge von Stellen gewählt wurde. ^{[ 2 ]} Somit ist ein Element von ein Tupel, sodass für alle bis auf endlich viele nicht-archimedische Stellen gilt . $${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})=\prod _{v}'G(K_{v}),}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v}$${\displaystyle G({\mathcal {O}}_{v})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$$${\displaystyle (g_{v})_{v}\in \prod _{v}G(K_{v})}$$${\displaystyle g_{v}\in G({\mathcal {O}}_{v})}$${\displaystyle v}$

Die eingeschränkte Produkttopologie erzeugt in den üblichen Fällen der linearen Algebra eine lokal kompakte topologische Gruppe. Zum Beispiel, wenn , dann bezüglich der kompakten offenen Untergruppen an fast allen nicht-archimedischen Stellen. ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}}$$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {A} _{K})=\prod _{v}'\operatorname {GL} _{n}(K_{v}),}$$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}({\mathcal {O}}_{v})}$

Die rationalen Punkte lassen sich diagonal in einbetten . Für lineare algebraische Gruppen ist dieses diagonale Bild diskret unter der adelischen Topologie. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Der resultierende Quotient ist einer der Basisräume, auf denen automorphe Formen und automorphe Darstellungen definiert sind. ^{[ 3 ]}${\displaystyle G(K)}$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$$${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$$

Die einfachsten Beispiele sind die additive und die multiplikative Gruppe. Für die additive Gruppe gilt : Für die multiplikative Gruppe gilt : die Idelgruppe von . Die Topologie auf ist die eingeschränkte Produkttopologie bezüglich an fast allen nicht-archimedischen Stellen; äquivalent dazu ist sie die Topologie, die durch die Einbettung von in induziert wird . Sie ist im Allgemeinen feiner als die von geerbte Unterraumtopologie . ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}(\mathbb {A} _{K})=\mathbb {A} _{K}.}$$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(\mathbb {A} _{K})=\mathbb {A} _{K}^{\times },}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$$${\displaystyle x\longmapsto (x,x^{-1})}$$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

Sei eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe über einem globalen Körper und sei der Adele-Ring von . Ein Tamagawa-Maß ist ein kanonisch normiertes Haar-Maß auf der Adele-Gruppe , das aus algebraischen Differentialformen auf konstruiert wird . ^{[ 1 ] [ 4 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle G}$

Sei zunächst eine glatte Gruppe der Dimension , und sei eine von Null verschiedene, linksinvariante rationale Differentialform höchsten Grades auf , definiert über . Hier bedeutet „rational“, dass ein rationaler Schnitt der kanonischen Garbe ist , oder äquivalent dazu eine Differentialform höchsten Grades, definiert im generischen Punkt von , mit Koeffizienten im Funktionenkörper . Für jede Stelle von definiert die Form ein lokales Haar-Maß auf der lokal kompakten Gruppe . Mit den üblichen Konvergenznormierungen an fast allen Stellen definieren diese lokalen Maße ein Maß auf dem eingeschränkten Produkt . ^{[ 1 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Omega _{G/K}^{d}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K(G)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle |\omega |_{v}}$${\displaystyle G(K_{v})}$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$

Die Konstruktion ist unabhängig von der Multiplikation mit einem Element von . Wird nämlich durch ersetzt , wobei , so wird das lokale Maß an mit multipliziert . Die Produktformel für Bewertungen, , impliziert, dass das resultierende adelische Maß unverändert bleibt. Diese Beobachtung war eine der Hauptmotivationen für die Definition von Tamagawa-Maßen als adelisch. ^{[ 1 ]}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle a\omega }$${\displaystyle a\in K^{\times }}$${\displaystyle v}$${\displaystyle |a|_{v}}$$${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1,}$$

Hat der Quotient endliches Maß, so ist die Tamagawa-Zahl von definiert als , wobei das Volumen bezüglich des Tamagawa-Maßes berechnet wird. Einige Autoren verwenden die umgekehrte Quotientennotation ; beide Notationen bezeichnen nach Wahl der Links- bzw. Rechtskonvention denselben Quotientenraum, wobei in der Theorie der automorphen Formen die Notation Standard ist. ^{[ 1 ] [ 3 ]}${\displaystyle G}$$${\displaystyle \tau (G)=\operatorname {vol} {\bigl (}G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K}){\bigr )},}$$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})/G(K)}$${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$

Für viele reduktive Gruppen kodieren Tamagawa-Zahlen arithmetische Informationen. Im Fall von Tori stehen sie in Zusammenhang mit Klassengruppen und der Galois-Kohomologie , während sie für halbeinfache Gruppen mit der Arithmetik quadratischer Formen und dem Volumen arithmetischer Quotienten verknüpft sind. ^{[ 5 ] [ 1 ]} Weil vermutete, dass für eine einfach zusammenhängende halbeinfache algebraische Gruppe über einem Zahlkörper gilt: Diese Vermutung wurde über Zahlkörpern durch Arbeiten bewiesen, die in Robert Kottwitz ’ Beweis gipfelten und auf früheren Arbeiten von Robert Langlands aufbauten . ^{[ 6 ]}${\displaystyle G}$$${\displaystyle \tau (G)=1.}$$

• Chevalley, Claude (1936), „Généralisation de la théorie du corps declasses pour les extensions infinies.“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (auf Französisch), 15 : 359–371 , JFM  62.1153.02
• Chevalley, Claude (1940), „La théorie du corps declasses“, Annals of Mathematics , Second Series, 41 (2): 394–418 , doi : 10.2307/1969013 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969013 , MR  0002357
• Chevalley, Claude (1951), Einführung in die Theorie algebraischer Funktionen einer Variablen , Mathematical Surveys, Nr. VI, Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0042164
• Jaffard, Paul (1953), Anneaux d'adèles (d'après Iwasawa) , Séminaire Bourbaki, Secrétariat mathématique, Paris, MR  0157859
• Ono, Takashi (1957), „Sur une propriété arithmétique des groupes algébriques commutatifs“ , Bulletin de la Société Mathématique de France , 85 : 307–323 , doi : 10.24033/bsmf.1491 , ISSN  0037-9484 , MR  0094362
• Tate, John T. (1950), „Fourier-Analysis in Zahlkörpern und Heckes Zetafunktionen“, Algebraische Zahlentheorie (Proceedings der Instructional Conference, Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, S.  305–347 , ISBN 978-0-9502734-2-6, MR  0217026{{citation}}:ISBN-/Datumsinkompatibilität ( Hilfe )
• Weil, André (1938), „Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen.“ , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (auf Deutsch), 179 : 129–133 , doi : 10.1515/crll.1938.179.129 , ISSN  0075-4102 , S2CID  116472982

• Rapinchuk, A. S. (2001) [1994], „Tamagawa-Zahl“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press