Verteilung mit dicken Rändern

Eine Verteilung mit dicken Rändern ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung , die im Vergleich zu einer Normal- oder Exponentialverteilung eine hohe Schiefe oder Kurtosis aufweist . Im allgemeinen Sprachgebrauch werden die Begriffe „ Verteilung mit dicken Rändern“ und „Verteilung mit schweren Rändern“ manchmal synonym verwendet, manchmal wird die Verteilung mit dicken Rändern aber auch als echte Teilmenge der Verteilung mit schweren Rändern definiert . Verschiedene Forschungsgemeinschaften bevorzugen aus historischen Gründen die eine oder andere Bezeichnung und können sich in der genauen Definition unterscheiden.

Verteilungen mit dicken Rändern wurden empirisch in verschiedenen Bereichen beobachtet: Physik , Geowissenschaften , Wirtschaftswissenschaften und Politikwissenschaft . Zur Klasse der Verteilungen mit dicken Rändern gehören solche, deren Ränder gemäß einem Potenzgesetz abklingen , was in der wissenschaftlichen Literatur häufig als Referenzpunkt dient. Allerdings zählen auch andere langsam abklingende Verteilungen, wie beispielsweise die Log-Normalverteilung , zu den Verteilungen mit dicken Rändern . ^{[ 1 ]}

Das Gegenstück zu einer Verteilung mit dicken Rändern ist eine Verteilung mit dünnen Rändern , deren Beschreibung eine ähnliche Mehrdeutigkeit aufweist.

Der extremste Fall einer Verteilung mit dickem Rand wird durch eine Verteilung beschrieben, deren Rand wie ein Potenzgesetz abklingt .

Das heißt, wenn die komplementäre kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X wie folgt ausgedrückt werden kann:

${\displaystyle \Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad }$was betrifft${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$${\displaystyle \quad \alpha >0\;,}$

Man spricht von einer Verteilung mit einem dicken Rand, wenn . Für solche Werte sind Varianz und Schiefe des Randes mathematisch nicht definiert (eine besondere Eigenschaft der Potenzgesetzverteilung) und daher größer als bei jeder Normal- oder Exponentialverteilung. Für Werte ist die Aussage über einen dicken Rand weniger eindeutig, da in diesem Parameterbereich Varianz, Schiefe und Kurtosis endlich sein können, abhängig vom genauen Wert von , und somit potenziell kleiner als bei einem Rand mit hoher Varianz einer Normal- oder Exponentialverteilung. Diese Mehrdeutigkeit führt häufig zu Uneinigkeiten darüber, was genau eine Verteilung mit einem dicken Rand ist und was nicht. Momentan ist unendlich, sodass für jede Potenzgesetzverteilung einige Momente nicht definiert sind. ^{[ 2 ]}${\displaystyle \alpha <2}$${\displaystyle \ \alpha >2\ ,}$${\displaystyle \ \alpha \ ,}$${\displaystyle \ k>\alpha -1\ ,}$${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}}\ }$

Notiz

Die Tilde-Notation " " bedeutet hier, dass der Ausläufer der Verteilung wie ein Potenzgesetz abklingt; genauer gesagt bezieht sie sich auf die asymptotische Äquivalenz von Funktionen – das heißt, dass ihr Verhältnis asymptotisch gegen eine Konstante strebt.${\displaystyle \sim }$

Im Vergleich zu Verteilungen mit dicken Rändern haben Ereignisse, die in der Normalverteilung um fünf oder mehr Standardabweichungen vom Mittelwert abweichen (5-Sigma-Ereignisse), eine geringere Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet, dass extreme Ereignisse in der Normalverteilung weniger wahrscheinlich sind als bei Verteilungen mit dicken Rändern. Verteilungen mit dicken Rändern, wie die Cauchy-Verteilung (und alle anderen stabilen Verteilungen mit Ausnahme der Normalverteilung ), weisen eine „undefinierte Standardabweichung“ (genauer: eine undefinierte Varianz ) auf.

Folglich würde die Anwendung des Normalverteilungsmodells auf Basis einer zugrunde liegenden Verteilung mit dicken Rändern – und die damit einhergehende Schätzung von Sigma (notwendigerweise) auf Basis einer endlichen Stichprobengröße – den tatsächlichen Schwierigkeitsgrad der Vorhersage (und das Risiko) unterschätzen, wenn die Daten einer solchen Verteilung entstammen. Viele – insbesondere Benoît Mandelbrot und Nassim Taleb – haben auf diese Schwäche des Normalverteilungsmodells hingewiesen und vorgeschlagen, dass Verteilungen mit dicken Rändern, wie beispielsweise stabile Verteilungen, die Renditen von Vermögenswerten im Finanzwesen häufig bestimmen . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Das Black-Scholes -Modell zur Optionspreisbewertung basiert auf einer Normalverteilung. Handelt es sich tatsächlich um eine Verteilung mit dicken Rändern, so unterschätzt das Modell Optionen , die weit aus dem Geld liegen , da ein Ereignis mit einer Signifikanz von 5 oder 7 Sigma viel wahrscheinlicher ist, als die Normalverteilung vorhersagen würde. ^{[ 6 ]}

In der Finanzwelt treten häufig extreme Ausreißer auf, die aufgrund des damit verbundenen zusätzlichen Risikos als unerwünscht gelten . Beispielsweise kann eine Anlagestrategie nach einem Jahr eine erwartete Rendite aufweisen, die dem Fünffachen ihrer Standardabweichung entspricht. Unter der Annahme einer Normalverteilung liegt die Wahrscheinlichkeit eines Scheiterns (negative Rendite) unter eins zu einer Million; in der Praxis kann sie jedoch höher sein. Normalverteilungen in der Finanzwelt entstehen im Allgemeinen, weil die Faktoren, die den Wert oder Preis eines Vermögenswerts beeinflussen, mathematisch „wohlverträglich“ sind und der zentrale Grenzwertsatz eine solche Verteilung vorhersagt. Traumatische Ereignisse in der realen Welt (wie ein Ölpreisschock, eine große Unternehmensinsolvenz oder ein abrupter politischer Umschwung) verhalten sich jedoch üblicherweise nicht mathematisch wohlverträglich .

Historische Beispiele hierfür sind der Börsenkrach von 1929 , der Schwarze Montag (1987) , die Dotcom-Blase , die Finanzkrise von 2008 , der Flash-Crash von 2010 , der Börsencrash von 2020 und die Aufhebung der Währungsbindung. ^{[ 7 ]}

Die „Fat Tails“ in den Renditeverteilungen am Markt haben auch einen gewissen Ursprung im Verhalten der Anleger (übermäßiger Optimismus oder Pessimismus der Anleger, der zu großen Marktbewegungen führt) und werden daher in der Verhaltensökonomie untersucht .

Im Marketing ist die bekannte 80/20-Regel (z. B. „20 % der Kunden generieren 80 % des Umsatzes“) ein Ausdruck einer Verteilung mit dicken Rändern, die den Daten zugrunde liegt. ^{[ 8 ]}

Die sogenannten „Fat Tails“ sind auch in der Musikindustrie , insbesondere auf dem Markt für Tonträger , zu beobachten . Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für den Logarithmus der wöchentlichen Veränderungen der Schallplattenverkäufe ist stark leptokurtisch und zeichnet sich durch ein schmaleres und größeres Maximum sowie einen dickeren Ausläufer als bei der Normalverteilung aus. Andererseits weist diese Verteilung nur einen einzigen dicken Ausläufer auf, der mit einem Umsatzanstieg aufgrund der Promotion neuer, in die Charts einsteigender Schallplatten zusammenhängt. ^{[ 9 ]}

• Tail-Risiko
• Theorie des Schwarzen Schwans
• Sieben Zustände der Zufälligkeit
• Taleb-Verteilung

• Beispiele für Fat Tails in Finanzzeitreihen
• Fat Tail Distribution – John A. Robb (Archiviert am 17.03.2017 im Internet Archive)