Vierte, fünfte und sechste Ableitung der Position

In der Kinematik sind die vierte, fünfte und sechste Ableitung des Ortsvektors Verallgemeinerungen von Geschwindigkeit und Beschleunigung. Sie sind definiert als Ableitungen des Ortsvektors nach der Zeit – wobei die erste , zweite und dritte Ableitung Geschwindigkeit , Beschleunigung bzw. Ruck darstellen . Diese höheren Ableitungen sind weniger gebräuchlich als die ersten drei; ^[¹^]^[²^] daher sind ihre Bezeichnungen nicht so standardisiert, obwohl das Konzept der minimalen Schnappbahn in der Robotik Anwendung findet . ^[³^]

Die vierte Ableitung wird als „Snap“ bezeichnet , weshalb die fünfte und sechste Ableitung „manchmal etwas scherzhaft“ ^{[ 4 ]} „Crackle “ und „Pop“ genannt werden , nach den gleichnamigen Maskottchen der Rice Krispies . ^[⁵^]^[⁶^] Die vierte Ableitung wird auch als „Jounce“ bezeichnet . ^[⁴^]

Anwendungen

Die Minimierung von Ruck und Stoß ist im Maschinenbau und Bauwesen von Vorteil , da sie Vibrationen reduziert und sanftere Bewegungsübergänge gewährleistet. Im Bauwesen werden Eisenbahnschienen und Straßen so konstruiert, dass Ruck und Stoß minimiert werden, insbesondere in Kurven mit unterschiedlichen Krümmungsradien . Bei konstantem Ruck ändert sich der Stoß linear, was zu einer allmählichen Zunahme der Radialbeschleunigung führt ; bei null Ruck ändert sich die Beschleunigung linear. Diese Profile werden häufig mithilfe mathematischer Klothoidenfunktionen erzielt . Dasselbe Prinzip wenden Achterbahnkonstrukteure an, die sanfte Übergänge in Loopings und Spiralen nutzen, um den Fahrkomfort zu erhöhen. ^{[ 1 ]}

Im Maschinenbau ist die Kontrolle von Schnapp- und Ruckbewegungen in Bereichen wie der Automobilkonstruktion wichtig, um das Abspringen von Nockenstößeln von Nockenwellen zu verhindern , und in der Fertigung, wo schnelle Beschleunigungsänderungen an Schneidwerkzeugen zu vorzeitigem Werkzeugverschleiß und ungleichmäßigen Oberflächen führen können. ^{[ 1 ]} Trajektorien mit minimalem Schnapp- und Ruckverhalten werden auch in der Robotik zur Bahnoptimierung eingesetzt . Trajektorien mit minimalem Schnappverhalten für Quadrocopter können den Steuerungsaufwand reduzieren , [ ⁷^]^während Trajektorien mit minimalem Ruckverhalten für Robotermanipulatoren vorhersagbare Bewegungen erzeugen, die die Steuerungsleistung verbessern und die Mensch-Roboter-Interaktion erleichtern .

Vierte Ableitung (Schnapp-/Ruckbewegung)

Der Schnappimpuls ^{[ 7 ]} oder Ruck ^{[ 2 ]} ist die vierte Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit bzw. die Änderungsrate des Ruckes in Bezug auf die Zeit. ^{[ 4 ]} Äquivalent dazu ist er die zweite Ableitung der Beschleunigung oder die dritte Ableitung der Geschwindigkeit und wird durch einen der folgenden äquivalenten Ausdrücke definiert:

$\mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {a} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{3}}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}.$ Für die Berechnung des konstanten Schnappmechanismus werden folgende Gleichungen verwendet: ${\begin{aligned}\mathbf {j} &=\mathbf {j} _{0}+\mathbf {s} t,\\\mathbf {a} &=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {j} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {s} t^{2},\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {j} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {s} t^{3},\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {j} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {s} t^{4},\end{aligned}}$

Wo

$\mathbf {s}$ ist ein konstanter Schnapp,
$\mathbf {j} _{0}$ ist der anfängliche Ruck,
$\mathbf {j}$ ist der letzte Ruck,
$\mathbf {a} _{0}$ ist die Anfangsbeschleunigung.
$\mathbf {a}$ ist die Endbeschleunigung.
$\mathbf {v} _{0}$ ist die Anfangsgeschwindigkeit,
$\mathbf {v}$ ist die Endgeschwindigkeit
$\mathbf {r} _{0}$ ist die Ausgangsposition
$\mathbf {r}$ ist die Endposition
$t$ ist die Zeit zwischen Anfangs- und Endzustand.

Die von Visser ^[⁴^] verwendete Notation ist nicht mit dem üblicherweise ähnlich bezeichneten Verschiebungsvektor zu verwechseln . $\mathbf {s}$

Die Dimensionen des Schnappens sind Weg pro vierter Potenz der Zeit [LT ⁻⁴ ]. Die entsprechende SI-Einheit ist Meter pro Sekunde hoch vier, m/s ⁴ , m⋅s ⁻⁴ .

Fünfte Ableitung

Die fünfte Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit wird manchmal als Knistern bezeichnet. ^{[ 5 ]} Sie ist die Änderungsrate des Knisterns in Bezug auf die Zeit. ^{[ 5 ]}^{[ 4 ]} Das Knistern ist durch einen der folgenden äquivalenten Ausdrücke definiert: $\mathbf {c} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {j} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {a} }{\mathrm {d} t^{3}}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{4}}}={\frac {\mathrm {d} ^{5}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{5}}}$

Für ein konstantes Knistern werden folgende Gleichungen verwendet: ${\begin{aligned}\mathbf {s} &=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {c} t\\[1ex]\mathbf {j} &=\mathbf {j} _{0}+\mathbf {s} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {c} t^{2}\\[1ex]\mathbf {a} &=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {j} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {s} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {c} t^{3}\\[1ex]\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {j} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {s} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {c} t^{4}\\[1ex]\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {j} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {s} _{0}t^{4}+{\tfrac {1}{120}}\mathbf {c} t^{5}\end{aligned}}$

Wo

$\mathbf {c}$ : ständiges Knistern
$\mathbf {s} _{0}$ : erster Schnappschuss,
$\mathbf {s}$ : letzter Schnappschuss,
$\mathbf {j} _{0}$ anfänglicher Ruck,
$\mathbf {j}$ : letzter Ruck,
$\mathbf {a} _{0}$ : Anfangsbeschleunigung,
$\mathbf {a}$ : Endbeschleunigung,
$\mathbf {v} _{0}$ Anfangsgeschwindigkeit,
$\mathbf {v}$ Endgeschwindigkeit,
$\mathbf {r} _{0}$ : Ausgangsposition,
$\mathbf {r}$ : Endplatzierung
$t$ : Zeit zwischen Anfangs- und Endzustand.

Die Dimensionen des Knisterns sind [LT ⁻⁵ ]. Die entsprechende SI-Einheit ist m/s ⁵ .

Sechste Ableitung

Die sechste Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit wird manchmal als Pop bezeichnet. ^{[ 5 ]} Sie ist die Änderungsrate des Knisterns in Bezug auf die Zeit. ^{[ 5 ]}^{[ 4 ]} Pop ist durch einen der folgenden äquivalenten Ausdrücke definiert:

$\mathbf {p} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {c} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {s} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {j} }{\mathrm {d} t^{3}}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {a} }{\mathrm {d} t^{4}}}={\frac {\mathrm {d} ^{5}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{5}}}={\frac {\mathrm {d} ^{6}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{6}}}$

Für konstante Populationsgrößen werden folgende Gleichungen verwendet: ${\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {c} _{0}+\mathbf {p} t\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {c} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {p} t^{2}\\\mathbf {j} &=\mathbf {j} _{0}+\mathbf {s} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {c} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {p} t^{3}\\\mathbf {a} &=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {j} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {s} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {c} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {p} t^{4}\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {j} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {s} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {c} _{0}t^{4}+{\tfrac {1}{120}}\mathbf {p} t^{5}\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {j} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {s} _{0}t^{4}+{\tfrac {1}{120}}\mathbf {c} _{0}t^{5}+{\tfrac {1}{720}}\mathbf {p} t^{6}\end{aligned}}$

Wo

$\mathbf {p}$ : ständige Pop-Aktion,
$\mathbf {c} _{0}$ anfängliches Knistern
$\mathbf {c}$ : letztes Knistern,
$\mathbf {s} _{0}$ : erster Schnappschuss,
$\mathbf {s}$ : letzter Schnappschuss,
$\mathbf {j} _{0}$ anfänglicher Ruck,
$\mathbf {j}$ : letzter Ruck,
$\mathbf {a} _{0}$ : Anfangsbeschleunigung,
$\mathbf {a}$ : Endbeschleunigung,
$\mathbf {v} _{0}$ Anfangsgeschwindigkeit,
$\mathbf {v}$ Endgeschwindigkeit,
$\mathbf {r} _{0}$ : Ausgangsposition,
$\mathbf {r}$ : Endplatzierung
$t$ : Zeit zwischen Anfangs- und Endzustand.

Die Dimensionen von Pop sind [LT ⁻⁶ ]. Die entsprechende SI-Einheit ist m/s ⁶ .

Referenzen

^{Eager , David; Pendrill, Ann}^- Marie; Reistad, Nina (13.10.2016). „Jenseits von Geschwindigkeit und Beschleunigung: Ruck, Schnapp und höhere Ableitungen“ . European Journal of Physics . 37 ⁽ 6) 065008. Bibcode : 2016EJPh...37f5008E . doi : 10.1088/0143-0807/37/6/ 065008 . hdl : 10453/56556 . ISSN 0143-0807 . S2CID 19486813 .
^ ^a ^b ^c Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (November 1998). „Wie nennt man die dritte Ableitung der Ortsfunktion?“ . Usenet Physics and Relativity FAQ . Math Dept., University of California, Riverside . Abgerufen am 24.10.2015 .
^ "MATLAB-Dokumentation: minsnappolytraj" .
^{Visser ,}^{Matt (31. März 2004). „Jerk, snap}^and ^{the cosmological}^equation of state“. ^Classical and Quantum Gravity . 21 (11): 2603–2616 ^. arXiv : gr-qc/0309109 . Bibcode : 2004CQGra..21.2603V . doi : 10.1088 / 0264-9381/21/11/006 . ISSN 0264-9381 . S2CID 250859930. Snap [die vierte Ableitung nach der Zeit] wird manchmal auch Jounce genannt. Die fünfte und sechste Ableitung nach der Zeit werden manchmal etwas scherzhaft als Crackle und Pop bezeichnet.
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^ Jazar, Reza N. (2022). Theorie der angewandten Robotik: Kinematik, Dynamik und Steuerung . Berlin: Springer. ISBN 978-3-030-93220-6Die
^ ^a ^b Mellinger, Daniel; Kumar, Vijay (2011). Minimale Schnapptrajektoriengenerierung und -steuerung für Quadrocopter . 2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Shanghai, China: IEEE. S. 2520–2525 . doi : 10.1109/ICRA.2011.5980409 . ISBN 978-1-61284-386-5. S2CID 18169351 .

Externe Links

Die Wörterbuchdefinition von „jounce“ bei Wiktionary

[epr-1] {Eager , David; Pendrill, Ann}^- Marie; Reistad, Nina (13.10.2016). „Jenseits von Geschwindigkeit und Beschleunigung: Ruck, Schnapp und höhere Ableitungen“ . European Journal of Physics . 37 ⁽ 6) 065008. Bibcode : 2016EJPh...37f5008E . doi : 10.1088/0143-0807/37/6/ 065008 . hdl : 10453/56556 . ISSN 0143-0807 . S2CID 19486813 .

[PhysicsFAQ-2] Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (November 1998). „Wie nennt man die dritte Ableitung der Ortsfunktion?“ . Usenet Physics and Relativity FAQ . Math Dept., University of California, Riverside . Abgerufen am 24.10.2015 .

[3] "MATLAB-Dokumentation: minsnappolytraj" .

[Visser2004-4] {Visser ,}^{Matt (31. März 2004). „Jerk, snap}^and ^{the cosmological}^equation of state“. ^Classical and Quantum Gravity . 21 (11): 2603–2616 ^. arXiv : gr-qc/0309109 . Bibcode : 2004CQGra..21.2603V . doi : 10.1088 / 0264-9381/21/11/006 . ISSN 0264-9381 . S2CID 250859930. Snap [die vierte Ableitung nach der Zeit] wird manchmal auch Jounce genannt. Die fünfte und sechste Ableitung nach der Zeit werden manchmal etwas scherzhaft als Crackle und Pop bezeichnet.

[Thompson-5] Thompson , Peter M. (5. Mai 2011). ^„ Snap, Crackle, and Pop“ (PDF) . AIAA Info . Hawthorne, Kalifornien: Systems Technology . S. 1. Archiviert vom Original am 26. Juni 2018. Abgerufen am 3. März 2017. ^Die^{gebräuchlichen}^{Bezeichnungen}^für die ersten drei Ableitungen sind Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck. Die weniger gebräuchlichen Bezeichnungen für die nächsten drei Ableitungen sind Schnapp, Knistern und Knallen.

[jazar-6] Jazar, Reza N. (2022). Theorie der angewandten Robotik: Kinematik, Dynamik und Steuerung . Berlin: Springer. ISBN 978-3-030-93220-6Die

[Mellinger2011-7] Mellinger, Daniel; Kumar, Vijay (2011). Minimale Schnapptrajektoriengenerierung und -steuerung für Quadrocopter . 2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Shanghai, China: IEEE. S. 2520–2525 . doi : 10.1109/ICRA.2011.5980409 . ISBN 978-1-61284-386-5. S2CID 18169351 .

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