Ruck (Physik)

Der Ruck (auch als Stoß bezeichnet ^{[ 1 ]} ) ist die Änderungsrate der Beschleunigung eines Objekts über die Zeit. Er ist eine vektorielle Größe (mit Betrag und Richtung). Der Ruck wird üblicherweise mit dem Symbol j bezeichnet und in m/ ^s³ ( SI-Einheiten ) oder Standardgravitation pro Sekunde ^{[ 2 ]} ( g₀ _/ s) angegeben .

Als Vektor kann der Ruck j als erste Zeitableitung der Beschleunigung , zweite Zeitableitung der Geschwindigkeit und dritte Zeitableitung der Position ausgedrückt werden :

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}},}$$

wobei a die Beschleunigung, v die Geschwindigkeit, r die Position und t die Zeit ist.

Differentialgleichungen dritter Ordnung dieser Form werden mitunter als Ruckgleichungen bezeichnet . Werden sie in ein äquivalentes System aus drei gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt, stellen Ruckgleichungen die minimale Bedingung für Lösungen mit chaotischem Verhalten dar . Diese Bedingung weckt das mathematische Interesse an Rucksystemen . Systeme mit Ableitungen vierter oder höherer Ordnung werden dementsprechend als Hyperrucksysteme bezeichnet . ^{[ 3 ]}$${\displaystyle J\left({\overset {\mathbf {...} }{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}$$

Die Körperhaltung des Menschen wird durch das Gleichgewicht antagonistischer Muskeln gesteuert . Beim Ausgleich einer bestimmten Kraft, beispielsweise beim Halten eines Gewichts, etabliert der Gyrus postcentralis einen Regelkreis , um das gewünschte Gleichgewicht zu erreichen . Ändert sich die Kraft zu schnell, können die Muskeln nicht schnell genug entspannen oder anspannen und überschießen in die eine oder andere Richtung, was zu einem vorübergehenden Kontrollverlust führt. Die Reaktionszeit auf Kraftänderungen hängt von physiologischen Grenzen und der Aufmerksamkeit des Gehirns ab: Eine erwartete Änderung wird schneller stabilisiert als eine plötzliche Abnahme oder Zunahme der Belastung.

Um zu vermeiden, dass Fahrzeuginsassen die Kontrolle über ihre Körperbewegungen verlieren und sich verletzen, ist es notwendig, die Einwirkung maximaler Kräfte (Beschleunigung) und maximaler Ruckbewegungen zu begrenzen, da Zeit benötigt wird, um die Muskelspannung anzupassen und sich selbst an geringfügige Belastungsänderungen zu gewöhnen. Plötzliche Beschleunigungsänderungen können Verletzungen wie ein Schleudertrauma verursachen . ^{[ 4 ]} Übermäßige Ruckbewegungen können auch bei einem Maß, das keine Verletzungen verursacht, zu einer unangenehmen Fahrt führen. Ingenieure investieren daher erhebliche Entwicklungsarbeit in die Minimierung ruckartiger Bewegungen bei Aufzügen , Straßenbahnen und anderen Verkehrsmitteln.

Betrachten wir beispielsweise die Auswirkungen von Beschleunigung und Ruck bei einer Autofahrt:

• Geübte und erfahrene Fahrer beschleunigen sanft, Anfänger hingegen verursachen oft ruckartiges Fahren. Beim Gangwechsel in einem Auto mit Fußkupplung ist die Beschleunigungskraft durch die Motorleistung begrenzt, doch ein unerfahrener Fahrer kann durch unregelmäßiges Schließen der Kupplung starke Ruckler hervorrufen.
• Das Gefühl, in einem PS-starken Sportwagen in den Sitz gepresst zu werden, entsteht durch die Beschleunigung. Beim Anfahren aus dem Stand gibt es einen starken Ruck, da die Beschleunigung rapide zunimmt. Nach dem Anfahren folgt ein kleiner, anhaltender Ruck, da der Luftwiderstand mit der Geschwindigkeit des Wagens zunimmt, die Beschleunigung allmählich abnimmt und der Druck auf den Insassen nachlässt. Erreicht der Wagen seine Höchstgeschwindigkeit, ist die Beschleunigung auf null gesunken und bleibt konstant. Danach ist kein Ruck mehr spürbar, bis der Fahrer abbremst oder die Richtung ändert.
• Bei plötzlichem Bremsen oder Kollisionen werden die Insassen mit einer anfänglichen Beschleunigung nach vorne geschleudert, die größer ist als im restlichen Bremsvorgang. Dies liegt daran, dass die Muskelspannung nach dem Einsetzen des Bremsvorgangs oder dem Aufprall schnell wieder die Kontrolle über den Körper erlangt. Diese Effekte werden in Fahrzeugtests nicht simuliert, da Leichen und Crashtest-Dummies keine aktive Muskelkontrolle besitzen.
• Um den Ruck zu minimieren, werden Kurven entlang von Straßen , Eisenbahnkurven und Achterbahnschleifen als Klothoiden konstruiert .

Die menschliche Bewegung zielt darauf ab, die Summe der Quadrate der Ruckbewegungen entlang eines vorgegebenen Pfades zu minimieren. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Als Optimierungsproblem lässt sich dies wie folgt formulieren: Es wurde gezeigt, dass dies für den Menschen äquivalent zum Zwei-Drittel-Potenzgesetz für Geschwindigkeit und Krümmung ist. ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {j} }{\operatorname {minimize} }}&&\int _{0}^{t}|\mathbf {j} (s)|^{2}ds\\&\operatorname {subject\;to} &&\mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{\mathrm {i} }\\&&&\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} _{\mathrm {f} }\\&&&\mathbf {v} (0)=\mathbf {v} _{\mathrm {i} }\\&&&\mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{\mathrm {f} }\end{aligned}}}$$

Bei einer konstanten Masse m ist die Beschleunigung a gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz direkt proportional zur Kraft F : $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$$

In der klassischen Mechanik starrer Körper gibt es keine Kräfte , die mit den Ableitungen der Beschleunigung verbunden sind; physikalische Systeme erfahren jedoch aufgrund von Ruckbewegungen Schwingungen und Deformationen. Bei der Konstruktion des Hubble-Weltraumteleskops legte die NASA Grenzwerte sowohl für Ruckbewegungen als auch für Nachschwingen fest . ^{[ 8 ]}

Die Abraham-Lorentz-Kraft ist die Rückstoßkraft auf ein beschleunigtes, geladenes Teilchen, das Strahlung aussendet. Diese Kraft ist proportional zum Ruck des Teilchens und zum Quadrat seiner Ladung . Die Wheeler-Feynman-Absorbertheorie ist eine fortgeschrittenere Theorie, die in relativistischen und quantenmechanischen Umgebungen anwendbar ist und die Selbstenergie berücksichtigt .

In realen Umgebungen treten keine Beschleunigungssprünge auf, da Deformationen , quantenmechanische Effekte und andere Ursachen eine Rolle spielen. In idealisierten Modellen, wie beispielsweise bei einer idealisierten Punktmasse , die sich auf einem stückweise glatten , stetigen Pfad bewegt , sind jedoch sprunghafte Beschleunigungssprünge und damit einhergehende unbegrenzte Ruckbewegungen möglich . Die Sprünge treten an den Stellen auf, an denen der Pfad nicht glatt ist. Ausgehend von diesen idealisierten Modellen lassen sich die Auswirkungen von Ruckbewegungen in realen Situationen qualitativ beschreiben, erklären und vorhersagen.

Die sprunghafte Beschleunigungsdiskontinuität lässt sich mithilfe einer Dirac-Delta-Funktion im Ruck modellieren, die auf die Sprunghöhe skaliert wird. Die Integration des Rucks über die Zeit innerhalb der Dirac-Delta-Funktion liefert die sprunghafte Diskontinuität.

For example, consider a path along an arc of radius r, which tangentially connects to a straight line. The whole path is continuous, and its pieces are smooth. Now assume a point particle moves with constant speed along this path, so its tangential acceleration is zero. The centripetal acceleration given by ⁠v²/r⁠ is normal to the arc and inward. When the particle passes the connection of pieces, it experiences a jump-discontinuity in acceleration given by ⁠v²/r⁠, and it undergoes a jerk that can be modeled by a Dirac delta, scaled to the jump-discontinuity.

For a more tangible example of discontinuous acceleration, consider an ideal spring–mass system with the mass oscillating on an idealized surface with friction. The force on the mass is equal to the vector sum of the spring force and the kinetic frictional force. When the velocity changes sign (at the maximum and minimum displacements), the magnitude of the force on the mass changes by twice the magnitude of the frictional force, because the spring force is continuous and the frictional force reverses direction with velocity. The jump in acceleration equals the force on the mass divided by the mass. That is, each time the mass passes through a minimum or maximum displacement, the mass experiences a discontinuous acceleration, and the jerk contains a Dirac delta until the mass stops. The static friction force adapts to the residual spring force, establishing equilibrium with zero net force and zero velocity.

Consider the example of a braking and decelerating car. The brake pads generate kinetic frictional forces and constant braking torques on the disks (or drums) of the wheels. Rotational velocity decreases linearly to zero with constant angular deceleration. The frictional force, torque, and car deceleration suddenly reach zero, which indicates a Dirac delta in physical jerk. The Dirac delta is smoothed down by the real environment, the cumulative effects of which are analogous to damping of the physiologically perceived jerk. This example neglects the effects of tire sliding, suspension dipping, real deflection of all ideally rigid mechanisms, etc.

Ein weiteres Beispiel für einen starken Ruck, analog zum ersten Beispiel, ist das Durchtrennen eines Seils mit einem Partikel an seinem Ende. Angenommen, das Partikel schwingt auf einer Kreisbahn mit einer von null verschiedenen Zentripetalbeschleunigung. Beim Durchtrennen des Seils ändert sich die Bahn des Partikels abrupt zu einer geraden Bahn, und die nach innen gerichtete Kraft nimmt schlagartig den Wert null an. Stellen Sie sich eine monomolekulare Faser vor, die von einem Laser durchtrennt wird; das Partikel würde aufgrund der extrem kurzen Schnittzeit sehr hohe Ruckraten erfahren.

Betrachten wir einen starren Körper, der sich in einem Inertialsystem um eine feste Achse dreht . Wenn seine Winkelposition als Funktion der Zeit θ ( t ) ist , können Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Ruck wie folgt ausgedrückt werden:

• Die Winkelgeschwindigkeit , , ist die zeitliche Ableitung von θ ( t ) .${\displaystyle \omega (t)={\dot {\theta }}(t)={\frac {\mathrm {d} \theta (t)}{\mathrm {d} t}}}$
• Die Winkelbeschleunigung , , ist die zeitliche Ableitung von ω ( t ) .${\displaystyle \alpha (t)={\dot {\omega }}(t)={\frac {\mathrm {d} \omega (t)}{\mathrm {d} t}}}$
• Der Winkelruck, , ist die zeitliche Ableitung von α ( t ) .${\displaystyle \zeta (t)={\dot {\alpha }}(t)={\ddot {\omega }}(t)={\overset {...}{\theta }}(t)}$

Die Winkelbeschleunigung entspricht dem auf den Körper wirkenden Drehmoment , dividiert durch das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der momentanen Drehachse. Eine Änderung des Drehmoments führt zu einem Winkelruck.

Der allgemeine Fall eines rotierenden starren Körpers kann mithilfe der kinematischen Schraubentheorie modelliert werden . Diese beinhaltet einen axialen Vektor , die Winkelgeschwindigkeit Ω ( t ) , und einen polaren Vektor , die lineare Geschwindigkeit v ( t ) . Daraus ergibt sich die Winkelbeschleunigung zu

$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\omega }}(t)={\dot {\boldsymbol {\omega }}}(t)}$$

und der Winkelruck ist gegeben durch $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\alpha }}(t)={\dot {\boldsymbol {\alpha }}}(t)={\ddot {\boldsymbol {\omega }}}(t)}$$

Unter Verwendung der Winkelbeschleunigung aus dem Abschnitt „Winkelbeschleunigung eines Teilchens im dreidimensionalen Raum“ erhalten wir $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\zeta }}={\frac {d{\boldsymbol {\alpha }}}{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {a} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)\\\\+{\frac {2}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}{\boldsymbol {\omega }}-{\frac {2}{r}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\boldsymbol {\omega }}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\end{aligned}}}$$

Ersetzen können wir das letzte Element als haben , und wir erhalten schließlich ${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}&=-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)\\\\&=-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)+{\frac {4}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}{\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {j} }{r^{2}}}+{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {4}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)+{\frac {6}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}{\boldsymbol {\omega }}-{\frac {2}{r}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

oder umgekehrt, indem man Folgendes ersetzt : ${\displaystyle \left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {j} }{r^{2}}}+{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {4}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\alpha }}-{\frac {2}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}{\boldsymbol {\omega }}-{\frac {2}{r}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

Betrachten wir beispielsweise einen Malteserkreuzer , der durch die kontinuierliche Drehung eines Antriebsrades (des roten Rades in der Animation) eine intermittierende Rotation des Abtriebsrades (blaues Rad in der Animation) erzeugt. Während einer Umdrehung des Antriebsrades ändert sich die Winkelposition θ des Abtriebsrades um 90 Grad und bleibt dann konstant. Aufgrund der endlichen Dicke der Gabel des Antriebsrades (der Nut für den Antriebsstift) erzeugt diese Vorrichtung eine Unstetigkeit in der Winkelbeschleunigung α und einen unbegrenzten Winkelruck ζ im Abtriebsrad.

Der Ruck schließt den Einsatz des Malteserkreuzgetriebes in Anwendungen wie Filmprojektoren und Kameras nicht aus . In Filmprojektoren wird der Film Bild für Bild transportiert, aber der Projektor arbeitet geräuscharm und äußerst zuverlässig, da nur ein kleiner Filmabschnitt mit einem Gewicht von wenigen Gramm bewegt wird, die moderate Geschwindigkeit (2,4 m/s) und die geringe Reibung dies ermöglichen.

Doppel-Nockenantriebe

⁠1/6pro Umdrehung

⁠1/3pro Umdrehung

Bei Nockenantrieben kann der Einsatz eines Doppelnockensystems das Rucken eines Einzelnockensystems vermeiden; allerdings ist das Doppelnockensystem sperriger und teurer. Das Doppelnockensystem verfügt über zwei Nocken auf einer Achse, die eine zweite Achse um einen Bruchteil einer Umdrehung verschieben. Die Grafik zeigt Stufenantriebe mit einer Sechstel- und einer Dritteldrehung pro Umdrehung der Antriebsachse. Es gibt kein Radialspiel, da zwei Arme des Stufenrades stets mit dem Doppelnocken in Kontakt stehen. Im Allgemeinen können kombinierte Kontakte verwendet werden, um das Rucken (sowie Verschleiß und Geräusche) zu vermeiden, das mit einem einzelnen Stößel verbunden ist (beispielsweise kann das Gleiten eines einzelnen Stößels in einer Nut und das damit verbundene Wechseln des Kontaktpunkts von einer Seite der Nut zur anderen durch den Einsatz von zwei Stößeln vermieden werden, die jeweils auf einer Seite derselben Nut gleiten).

Kompressionswellenmuster

Ebene Welle

Zylindersymmetrie

Eine elastisch verformbare Masse verformt sich unter dem Einfluss einer Kraft (oder Beschleunigung); die Verformung hängt von ihrer Steifigkeit und der Stärke der Kraft ab. Bei langsamer Kraftänderung ist der Ruck gering, und die Ausbreitung der Verformung erfolgt im Vergleich zur Beschleunigungsänderung nahezu instantan. Der verformte Körper verhält sich quasistatisch , und nur eine veränderliche Kraft (Ruck ungleich null) kann die Ausbreitung mechanischer Wellen (bzw. elektromagnetischer Wellen bei einem geladenen Teilchen) verursachen . Daher muss bei einem Ruck ungleich null bis hin zu hohen Ruckwerten die Ausbreitung einer Stoßwelle durch den Körper berücksichtigt werden.

Die Ausbreitung der Verformung wird in der Grafik „Kompressionswellenmuster“ als ebene Kompressionswelle in einem elastisch verformbaren Material dargestellt. Ebenfalls dargestellt sind die sich kreisförmig ausbreitenden Verformungswellen bei einem Winkelruck, der Scherspannungen und möglicherweise weitere Schwingungsmoden verursacht . Die Reflexion der Wellen an den Grenzflächen führt zu konstruktiven Interferenzmustern (nicht abgebildet), die Spannungen erzeugen , welche die Materialgrenzen überschreiten können. Die Verformungswellen können Schwingungen verursachen, die insbesondere im Resonanzfall zu Geräuschen, Verschleiß und Materialversagen führen können.

Die Grafik mit der Bildunterschrift „Stange mit massivem Kreisel“ zeigt einen Block, der mit einer elastischen Stange und einem massiven Kreisel verbunden ist. Die Stange biegt sich, wenn der Block beschleunigt wird. Sobald die Beschleunigung aufhört, schwingt der Kreisel ( gedämpft ) entsprechend der Steifigkeit der Stange. Man könnte argumentieren, dass ein größerer (periodischer) Ruck eine größere Schwingungsamplitude anregen könnte, da kleine Schwingungen vor der Verstärkung durch eine Stoßwelle gedämpft werden. Ebenso könnte man argumentieren, dass ein größerer Ruck die Wahrscheinlichkeit der Anregung einer Resonanzmode erhöht , da die größeren Wellenkomponenten der Stoßwelle höhere Frequenzen und Fourier-Koeffizienten aufweisen .

Um die Amplitude angeregter Spannungswellen und Schwingungen zu reduzieren, kann man den Ruck begrenzen, indem man die Bewegung formt und die Beschleunigung so stetig wie möglich gestaltet. Aufgrund der Beschränkungen abstrakter Modelle berücksichtigen Algorithmen zur Schwingungsreduzierung höhere Ableitungen, wie z. B. den Ruck , oder schlagen stetige Bereiche für Beschleunigung und Ruck vor. Ein Konzept zur Begrenzung des Rucks besteht darin, Beschleunigung und Verzögerung sinusförmig mit einer dazwischenliegenden Nullphase zu formen (siehe Grafik „Sinusförmiges Beschleunigungsprofil“), wodurch die Geschwindigkeit sinusförmig mit konstanter Maximalgeschwindigkeit erscheint. Der Ruck bleibt jedoch an den Punkten, an denen die Beschleunigung in die Nullphase eintritt und sie verlässt, unstetig.

Roads and tracks are designed to limit the jerk caused by changes in their curvature. Design standards for high-speed rail vary from 0.2 m/s³ to 0.6 m/s³.^[9]Track transition curves limit the jerk when transitioning from a straight line to a curve, or vice versa. Recall that in constant-speed motion along an arc, acceleration is zero in the tangential direction and nonzero in the inward normal direction. Transition curves gradually increase the curvature and, consequently, the centripetal acceleration.

An Euler spiral, the theoretically optimum transition curve, linearly increases centripetal acceleration and results in constant jerk . In real-world applications, the plane of the track is inclined (cant) along the curved sections. The incline causes vertical acceleration, which is a design consideration for wear on the track and embankment. The Wiener Kurve (Viennese Curve) is a patented curve designed to minimize this wear.^[10][11]

Rollercoasters^[4] are also designed with track transitions to limit jerk. When entering a loop, acceleration values can reach around 4g (40 m/s²), and riding in this high acceleration environment is only possible with track transitions. S-shaped curves, such as figure eights, also use track transitions for smooth rides.

In motion control, the design focus is on straight, linear motion, with the need to move a system from one steady position to another (point-to-point motion). The design concern from a jerk perspective is vertical jerk; the jerk from tangential acceleration is effectively zero since linear motion is non-rotational.

Motion control applications include passenger elevators and machining tools. Limiting vertical jerk is considered essential for elevator riding convenience.^[12]ISO 8100-34^[13] specifies measurement methods for elevator ride quality with respect to jerk, acceleration, vibration, and noise; however, the standard does not specify levels for acceptable or unacceptable ride quality. It is reported^[14] that most passengers rate a vertical jerk of 2 m/s³ as acceptable and 6 m/s³ as intolerable. For hospitals, 0.7 m/s³ is the recommended limit.

Ein primäres Designziel für die Bewegungssteuerung ist die Minimierung der Übergangszeit ohne Überschreitung von Geschwindigkeits-, Beschleunigungs- oder Ruckgrenzwerten. Betrachten wir ein Bewegungssteuerungsprofil dritter Ordnung mit quadratischen Anstiegs- und Abfallphasen der Geschwindigkeit.

Dieses Bewegungsprofil besteht aus den folgenden sieben Segmenten:

1. Beschleunigungsaufbau – positive Ruckgrenze; ​​linearer Anstieg der Beschleunigung bis zur positiven Beschleunigungsgrenze; ​​quadratischer Anstieg der Geschwindigkeit
2. Obere Beschleunigungsgrenze – keine Ruckbewegung; linearer Anstieg der Geschwindigkeit
3. Beschleunigungsabfall – negative Ruckgrenze; ​​lineare Abnahme der Beschleunigung; (negativer) quadratischer Anstieg der Geschwindigkeit bis zur gewünschten Geschwindigkeitsgrenze
4. Geschwindigkeitsgrenze – kein Ruck; keine Beschleunigung
5. Aufbau der Verzögerung – negative Ruckgrenze; ​​lineare Abnahme der Beschleunigung bis zur negativen Beschleunigungsgrenze; ​​(negative) quadratische Abnahme der Geschwindigkeit
6. Untere Verzögerungsgrenze – kein Ruck; linearer Geschwindigkeitsabfall
7. Abbremsen – positive Ruckgrenze; ​​linearer Anstieg der Beschleunigung auf null; quadratischer Geschwindigkeitsabfall; Annäherung an die gewünschte Position bei null Geschwindigkeit und null Beschleunigung

Die Umlaufzeit des vierten Segments (konstante Geschwindigkeit) variiert mit dem Abstand zwischen den beiden Positionen. Ist dieser Abstand so gering, dass das Weglassen des vierten Segments nicht ausreicht, könnten die Segmente zwei und sechs (konstante Beschleunigung) gleichermaßen verkürzt werden, ohne dass die Grenze für konstante Geschwindigkeit erreicht wird. Reduziert diese Modifikation die zurückgelegte Strecke nicht ausreichend, könnten die Segmente eins, drei, fünf und sieben um denselben Betrag verkürzt werden, ohne dass die Grenzen für konstante Beschleunigung erreicht werden.

Es werden weitere Strategien für Bewegungsprofile eingesetzt, wie beispielsweise die Minimierung des Quadrats des Rucks bei einer gegebenen Übergangszeit ^{[ 15 ]} und, wie bereits erwähnt, sinusförmige Beschleunigungsprofile. Bewegungsprofile werden auf spezifische Anwendungen zugeschnitten, darunter Maschinen, Personentransportsysteme, Kettenzüge, Automobile und Roboter.

Ruck ist ein wichtiger Faktor in Fertigungsprozessen . Schnelle Beschleunigungsänderungen eines Schneidwerkzeugs können zu vorzeitigem Werkzeugverschleiß und ungleichmäßigen Schnitten führen; daher verfügen moderne Bewegungssteuerungen über Funktionen zur Ruckbegrenzung. Im Maschinenbau wird der Ruck neben Geschwindigkeit und Beschleunigung bei der Entwicklung von Kurvenprofilen berücksichtigt, da er tribologische Auswirkungen hat und die Fähigkeit des bewegten Körpers, dem Kurvenprofil ohne Rattern zu folgen, entscheidend ist . ^{[ 16 ]} Ruck spielt häufig eine Rolle, wenn Vibrationen problematisch sind. Ein Gerät zur Messung des Rucks wird als „Ruckmesser“ bezeichnet.

Weitere zeitliche Ableitungen wurden ebenfalls benannt, wie etwa Schnappen oder Ruckeln (vierte Ableitung), Knistern (fünfte Ableitung) und Knallen (sechste Ableitung). ^{[ 17 ] [ 18 ]} Zeitliche Ableitungen der Position höherer Ordnung als vier treten selten auf. ^{[ 19 ]}

Die Begriffe Snap , Crackle und Pop – für die vierte, fünfte und sechste Ableitung von Position – wurden von den Werbemaskottchen Snap, Crackle und Pop inspiriert . ^{[ 18 ]}

• Geomagnetischer Ruck
• Stoß (Mechanik)
• Ruck

• Sprott JC (2003). Chaos and Time-Series Analysis . Oxford University Press. ISBN 0-19-850839-5Die
• Sprott JC (1997). „Einige einfache chaotische Ruckfunktionen“ (PDF) . Am J Phys . 65 (6): 537–43 . Bibcode : 1997AmJPh..65..537S . doi : 10.1119/1.18585 . Archiviert vom Original (PDF) am 13.06.2010 . Abgerufen am 28.09.2009 .
• Blair G (2005). „Making the Cam“ (PDF) . Race Engine Technology (10). Archiviert (PDF) vom Original am 15.05.2008 . Abgerufen am 29.09.2009 .

• Wie nennt man die dritte Ableitung der Position? ( Archiviert am 30.11.2016 im Internet Archive ; Beschreibung des Ruckes in den Usenet Physics FAQ, archiviert am 23.06.2011 im Internet Archive)
• Mathematik der Bewegungssteuerungsprofile (Archiviert am 02.10.2020 im Internet Archive)
• Fahrstuhlqualität ( Archiviert am 28.03.2022 im Internetarchiv Wayback Machine)
• Broschüre des Aufzugsherstellers
• Patent der Wiener-Kurve
• (auf Deutsch) Beschreibung der Wiener Kurve