Halbraum (Geometrie)

In der Geometrie bezeichnet man als Halbraum einen der beiden Teile, in die eine Ebene den dreidimensionalen euklidischen Raum teilt . ^{[ 1 ]} Ist der Raum zweidimensional , so wird ein Halbraum als Halbebene (offen oder geschlossen) bezeichnet. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Ein Halbraum in einem eindimensionalen Raum wird als Halbgerade ^{[ 4 ]} oder Halbstrahl bezeichnet .

Allgemeiner ist ein Halbraum einer der beiden Teile, in die eine Hyperebene einen n- dimensionalen Raum teilt . Das heißt, die Punkte, die nicht mit der Hyperebene inzident sind, werden in zwei konvexe Mengen (d. h. Halbräume) aufgeteilt , sodass jeder Unterraum, der einen Punkt der einen Menge mit einem Punkt der anderen verbindet, die Hyperebene schneiden muss. ^{[ 5 ]}

Ein Halbraum kann entweder offen oder abgeschlossen sein . Ein offener Halbraum ist eine der beiden offenen Mengen, die durch Subtraktion einer Hyperebene vom affinen Raum entstehen. Ein abgeschlossener Halbraum ist die Vereinigung eines offenen Halbraums mit der ihn definierenden Hyperebene.

Der offene (geschlossene) obere Halbraum ist der Halbraum aller , für die gilt ( ). Der offene (geschlossene) untere Halbraum wird analog definiert, indem gefordert wird, dass negativ (nicht positiv) ist. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{n}\geq 0}$${\displaystyle x_{n}>0}$${\displaystyle x_{n}}$

Ein Halbraum kann durch eine lineare Ungleichung beschrieben werden, die sich aus der linearen Gleichung der definierenden Hyperebene ableitet. Eine strikte lineare Ungleichung beschreibt einen offenen Halbraum, eine nicht-strikte einen abgeschlossenen. Hierbei wird angenommen , dass nicht alle reellen Zahlen a₁ _, a₂ _, ..., aₙ _gleich null sind. $${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.}$$$${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b.}$$

Ein Halbraum ist eine konvexe Menge .

• Hemisphäre (Geometrie)
• Linie (Geometrie)
• Nef-Polygon , Konstruktion von Polyedern mithilfe von Halbräumen
• Poincaré-Halbebenenmodell
• Quadrant (Raumgeometrie)
• Siegel oberer Halbraum

• „Halbebene“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Halbraum“ . MathWorld .