Obere Halbebene

In der Mathematik ist die obere Halbebene die Menge aller Punkte in der kartesischen Ebene, für die gilt: ∂ (${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ ... ∂ (${\displaystyle (x,y)}$ ∂ ∂ (∂ ∂ (∂ ∂ ( ∂ ∂ ( ∂ ∂ ( ∂ ∂ (∂ ∂ (∂ ∂ ( ∂ ∂ ( ∂ ∂ (∂ ∂ ( ∂ ∂ (∂ ∂ (∂ ∂ (∂ ∂ (∂ ∂ ( ∂ ∂ (∂ ∂ ( ${\displaystyle y>0.}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y<0}$

Die affinen Transformationen der oberen Halbebene umfassen

1. Schichten , , und${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$
2. Dilatationen​${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$${\displaystyle \lambda >0.}$

Satz: Seien ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ und ⁠ ⁠${\displaystyle B}$ Halbkreise in der oberen Halbebene mit Mittelpunkten auf dem Rand. Dann gibt es eine affine Abbildung, die auf abbildet . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Beweis: Zuerst verschiebt man den Mittelpunkt von ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ nach ⁠ ⁠.${\displaystyle (0,0).}$ Dann nimmt man${\displaystyle \lambda =({\text{diameter of}}\ B)/({\text{diameter of}}\ A)}$

und dehnen. Dann verschieben Sie ⁠ ⁠${\displaystyle (0,0)}$ zur Mitte von ⁠ ⁠${\displaystyle B.}$

Definition: . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$kann als Kreis mit Radius ⁠ ⁠ um${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ Mittelpunkt ⁠ ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}$⁠ und als Polardiagramm von erkannt werden${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

Proposition: ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0),}$⁠ ⁠${\displaystyle \rho (\theta )}$ in ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}},}$ und ⁠ ⁠${\displaystyle (1,\tan \theta )}$ sind kollineare Punkte .

Tatsächlich handelt es sich um die Umkehrung der Geraden im Einheitskreis . Die Diagonale von ⁠ ⁠ nach ⁠ ⁠ hat die quadratische Länge , sodass der Kehrwert dieser Länge ist. ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,\tan \theta )}$${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$

Der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ und ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ in der oberen Halbebene lässt sich konsistent wie folgt definieren: Die Mittelsenkrechte der Strecke von ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ nach ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ schneidet entweder die Grenze oder verläuft parallel zu ihr. Im letzteren Fall liegen ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ und ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ auf einem Strahl senkrecht zur Grenze, und ein logarithmisches Maß kann verwendet werden, um einen unter Dilatation invarianten Abstand zu definieren. Im ersteren Fall liegen ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ und ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ auf einem Kreis um den Schnittpunkt ihrer Mittelsenkrechten mit der Grenze. Gemäß dem obigen Satz kann dieser Kreis durch affine Bewegung nach ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$ verschoben werden. Abstände auf ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ lassen sich mithilfe der Korrespondenz mit Punkten auf ⁠ ⁠ und eines logarithmischen Maßes auf diesem Strahl definieren . Folglich wird die obere Halbebene zu einem metrischen Raum . Die allgemeine Bezeichnung für diesen metrischen Raum ist hyperbolische Ebene . In Bezug auf die Modelle der hyperbolischen Geometrie wird dieses Modell häufig als Poincaré-Halbebenenmodell bezeichnet . ${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$

Mathematiker identifizieren manchmal die kartesische Ebene mit der komplexen Ebene , und dann entspricht die obere Halbebene der Menge der komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil :

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

Der Begriff leitet sich von der gängigen Vorstellung ab, dass die komplexe Zahl der Punkt in der Ebene mit kartesischen Koordinaten ist . Bei vertikaler Ausrichtung der Achse entspricht die „obere Halbebene “ dem Bereich oberhalb der Achse und somit den komplexen Zahlen, für die gilt . ${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y>0}$

Es ist der Definitionsbereich vieler interessanter Funktionen der komplexen Analysis , insbesondere von Modulformen . Die untere Halbebene, definiert durch ⁠ ⁠,${\displaystyle y<0}$ ist ebenso geeignet, wird aber konventionsbedingt seltener verwendet. Die offene Einheitskreisscheibe ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ (die Menge aller komplexen Zahlen mit einem Betrag kleiner als eins) ist äquivalent zu ⁠ ⁠ (siehe „ Poincaré-Metrik “), was bedeutet, dass ein Übergang zwischen ⁠ ⁠ und ⁠ ⁠ üblicherweise möglich ist. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

Sie spielt auch eine wichtige Rolle in der hyperbolischen Geometrie , wo das Poincaré-Halbebenenmodell eine Möglichkeit bietet, hyperbolische Bewegungen zu untersuchen . Die Poincaré-Metrik liefert eine hyperbolische Metrik auf dem Raum.

Der Uniformisierungssatz für Flächen besagt, dass die obere Halbebene der universelle Überdeckungsraum von Flächen mit konstanter negativer Gaußscher Krümmung ist .

Die abgeschlossene obere Halbebene ist die Vereinigung der oberen Halbebene mit der reellen Achse. Sie ist der Abschluss der oberen Halbebene.

Eine natürliche Verallgemeinerung in der Differentialgeometrie ist der hyperbolische Raum ${\displaystyle n}$,${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}$ die maximal symmetrische, einfach zusammenhängende , n -${\displaystyle n}$ dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung . In dieser Terminologie ist die obere Halbebene , da sie reelle Dimension hat .${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$${\displaystyle 2.}$

In der Zahlentheorie befasst sich die Theorie der Hilbertschen Modulformen mit der Untersuchung bestimmter Funktionen auf dem direkten Produkt von Kopien der ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$oberen${\displaystyle n}$ Halbebene. Ein weiterer für Zahlentheoretiker interessanter Raum ist der Siegelsche obere Halbraum , der den Definitionsbereich der Siegelschen Modulformen bildet . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}$

• Cusp-Viertel
• Erweiterte komplexe obere Halbebene
• Fuchsische Gruppe
• Fundamentalbereich
• Halbraum
• Kleinianische Gruppe
• Modulare Gruppe
• Modulstapel elliptischer Kurven
• Riemannsche Fläche
• Satz von Schwarz–Ahlfors–Pick

• Weisstein, Eric W. „Obere Halbebene“ . MathWorld .