Große Zahlen

Große Zahlen sind Zahlen, die weit über die im Alltag vorkommenden Größen wie einfaches Zählen oder Finanztransaktionen hinausgehen. Diese Größen spielen eine wichtige Rolle in Mathematik , Kosmologie , Kryptographie und statistischer Mechanik . Die Googologie untersucht die Benennungskonventionen und Eigenschaften dieser immensen Zahlen. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Da die übliche Dezimaldarstellung großer Zahlen sehr lang sein kann, wurden andere Systeme entwickelt, die eine kürzere Darstellung ermöglichen. Beispielsweise wird eine Milliarde im Dezimalsystem mit 10 Zeichen (1.000.000.000) dargestellt, im Exponentialsystem hingegen nur mit 3 Zeichen ( ^10⁹ ) . Eine Billion hat im Dezimalsystem 13 Zeichen, in wissenschaftlicher Notation jedoch nur vier ( ^10¹² ). Stark schwankende Werte lassen sich mithilfe einer logarithmischen Skala grafisch darstellen und vergleichen .

Ein Zahlensystem in natürlicher Sprache stellt große Zahlen mithilfe von Namen anstatt durch Ziffernfolgen dar. Beispielsweise ist „ Milliarde “ für manche Leser leichter verständlich als „1.000.000.000“. Manchmal wird die Zahl durch ein Suffix abgekürzt, z. B. 2.340.000.000 = 2,34 Mrd. (B = Milliarde). Ein Zahlenwert kann in Worten sehr lang sein, z. B. bedeutet „2.345.789“ „zwei Millionen dreihundertfünfundvierzigtausendsiebenhundertneunundachtzig“. ^{[ 3 ]}

Die wissenschaftliche Notation wurde entwickelt, um die in der wissenschaftlichen Forschung vorkommende große Bandbreite an Werten in einem kompakteren Format als herkömmliche Darstellungsformen abzubilden, das dennoch bei Bedarf hohe Präzision ermöglicht. ^{[ 4 ]} Ein Wert wird als Dezimalbruch multipliziert mit einer Zehnerpotenz dargestellt . ^{[ 4 ]} Dieser Faktor soll das Leseverständnis im Vergleich zu einer langen Folge von Nullen erleichtern. Zum Beispiel: 1,0 × 10⁹ steht für eine Milliarde minus eine 1 mit neun Nullen. Der Kehrwert , ein Milliardstel, ist 1,0 × 10⁻¹².⁻⁹ . Manchmal wird der Exponent durch den Buchstaben e ersetzt, beispielsweise kann 1 Milliarde als 1e9 anstatt 1,0 × 10⁹⁹ .

• Googol =${\displaystyle 10^{100}}$
• Centillion = oder , abhängig vom Zahlensystem${\displaystyle 10^{303}}$${\displaystyle 10^{600}}$
• Millinillionen = oder , abhängig vom Zahlenbenennungssystem${\displaystyle 10^{3003}}$${\displaystyle 10^{6000}}$
• Die größte bekannte Smith-Zahl = (10 ¹⁰³¹ −1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10^{3 913 210}
• Die größte bekannte Mersenne-Primzahl = ^{[ 5 ]}${\displaystyle 2^{136,279,841}-1}$
• Googolplex =${\displaystyle 10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}}$
• Skewes' Zahlen : die erste ist ungefähr , die zweite${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$${\displaystyle 10^{10^{10^{964}}}}$
• Grahams Zahl ist größer als das, was selbst mit Energietürmen ( Tetration ) dargestellt werden kann. Sie lässt sich jedoch mithilfe von Schichten der Knuthschen Pfeilnotation darstellen .
• Der Satz von Kruskal über Bäume ist eine Folge, die sich auf Graphen bezieht. TREE(3) ist größer als die Graham-Zahl .
• Die Rayo-Zahl ist eine große Zahl, benannt nach Agustín Rayo, die als größte benannte Zahl gilt. Sie wurde ursprünglich am 26. Januar 2007 im Rahmen eines „Duells um die größte Zahl“ am MIT definiert.

Beispiele für große Zahlen zur Beschreibung realer Dinge:

• Die Anzahl der Zellen im menschlichen Körper (geschätzt auf 3,72 × 10¹²)¹³ ) oder 37,2 Billionen ^{[ 6 ]}
• Die Anzahl der Bits auf einer Computerfestplatte (Stand 2024, typischerweise etwa 10 ^¹³ , 1–2  TB ) oder 10 Billionen
• Die Anzahl der neuronalen Verbindungen im menschlichen Gehirn (geschätzt auf 10 ^¹⁴ ) oder 100 Billionen
• Die Avogadro-Konstante ist die Anzahl der „Elementarteilchen“ (üblicherweise Atome oder Moleküle) in einem Mol ; die Anzahl der Atome in 12 Gramm Kohlenstoff-12  – ungefähr6,022 × 10²³ oder 602,2 Sextillionen ^.
• Die Gesamtzahl der DNA- Basenpaare in der gesamten Biomasse der Erde, als mögliche Annäherung an die globale Biodiversität , wird auf etwa 1000 geschätzt.(5,3 ± 3,6) × 10 ³⁷ , oder 53±36 Undezillionen ^{[ 7 ] [ 8 ]}
• Die Erde besteht aus etwa 4 × ^10⁵¹ oder 4 Sexdezillionen Nukleonen
• Die geschätzte Anzahl der Atome im beobachtbaren Universum (10 ⁸⁰ ), oder 100 Quinvigintillionen
• Die untere Schranke für die Spielbaumkomplexität von Schach , auch bekannt als „ Shannon-Zahl “ (geschätzt auf 10^¹²⁰ ), beträgt 1 Novemtrigintillion. ^{[ 9 ]} Dieser Wert der Shannon-Zahl gilt für Standardschach. Für Schachvarianten mit größerem Brett wie Grant Acedrex , Tai Shogi und Taikyoku Shogi sind die Werte noch höher .

In der Astronomie und Kosmologie begegnet man großen Zahlen bei Längen- und Zeitmaßen. Dem vorherrschenden Urknallmodell zufolge ist das Universum beispielsweise etwa 13,8 Milliarden Jahre alt (entspricht …).4,355 × 10^¹⁷ Sekunden). Das beobachtbare Universum erstreckt sich über 93 Milliarden Lichtjahre (ungefähr8,8 × 10 ²⁶ Meter) und beherbergt etwa5 × 10²² Sterne, organisiert in etwa 125 Milliarden Galaxien (wie vom Hubble ^- Weltraumteleskop beobachtet). Grob geschätzt gibt es etwa10 ⁸⁰ Atome im beobachtbaren Universum. ^{[ 10 ]}

Laut Don Page , Physiker an der Universität von Alberta, Kanada, ist die längste endliche Zeit, die bisher von einem Physiker explizit berechnet wurde, ^{[ 11 ].}

${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{1,1}}}}}{\mbox{ Jahre}}}$

(was der geschätzten Poincaré-Wiederkehrzeit für den Quantenzustand eines hypothetischen Kastens entspricht, der ein Schwarzes Loch mit der geschätzten Masse des gesamten Universums enthält, unabhängig davon, ob dieses beobachtbar ist oder nicht, unter Annahme eines bestimmten Inflationsmodells mit einem Inflaton der Masse 10⁻⁶ ^Planck -Massen ), ungefähr 10¹⁰¹,²⁸⁸ × 10³,¹⁸⁴ T ^{[ 12 ] [ 13 ].} Diese Zeitangabe basiert auf einem statistischen Modell, das der Poincaré-Wiederkehr unterliegt. Eine deutlich vereinfachte Betrachtungsweise dieser Zeit bietet ein Modell, in dem sich die Geschichte des Universums aufgrund von Eigenschaften der statistischen Mechanik beliebig oft wiederholt ; dies ist die Zeitskala, nach der der Zustand dem aktuellen Zustand (bei einer sinnvollen Definition von „ähnlich“) wieder einigermaßen ähnelt.

Kombinatorische Prozesse führen zu erstaunlich großen Zahlen. Die Fakultätsfunktion , die Permutationen einer festen Menge von Objekten quantifiziert , wächst superexponentiell mit zunehmender Anzahl der Objekte. Die Stirling-Formel liefert einen präzisen asymptotischen Ausdruck für dieses rasante Wachstum. ^{[ 14 ]}

In der statistischen Mechanik erreichen kombinatorische Zahlen so immense Größenordnungen, dass sie oft mithilfe von Logarithmen ausgedrückt werden .

Gödel-Zahlen sowie ähnliche Darstellungen von Bitfolgen in der algorithmischen Informationstheorie sind enorm – selbst für mathematische Aussagen von moderater Länge. Bemerkenswerterweise übertreffen bestimmte pathologische Zahlen sogar die Gödel-Zahlen, die mit typischen mathematischen Aussagen verbunden sind. ^{[ 15 ]}

Der Logiker Harvey Friedman hat bedeutende Beiträge zur Untersuchung sehr großer Zahlen geleistet, darunter Arbeiten im Zusammenhang mit Kruskals Baumsatz und dem Satz von Robertson-Seymour . ^{[ 16 ]}

Um den Zuschauern von „Cosmos“ die Unterscheidung zwischen „Millionen“ und „Milliarden“ zu erleichtern, betonte der Astronom Carl Sagan das „b“. Sagan sagte jedoch nie „ Milliarden und Milliarden “. Die öffentliche Assoziation dieser Formulierung mit Sagan geht auf einen Sketch der „Tonight Show“ zurück. Johnny Carson parodierte Sagans Wirkung mit dem Ausruf „Milliarden und Milliarden“. ^{[ 17 ]} Die Formulierung hat sich mittlerweile zu einer humorvollen, fiktiven Zahl entwickelt – der Sagan- Einheit . Vgl . Sagan-Einheit .

Eine standardisierte Schreibweise für sehr große Zahlen ermöglicht es, diese leicht in aufsteigender Reihenfolge zu sortieren, und man kann sich einen guten Überblick darüber verschaffen, wie viel größer eine Zahl im Vergleich zu einer anderen ist.

Um Zahlen in wissenschaftlicher Notation zu vergleichen, beispielsweise 5 × 10⁴ ^und 2 × 10⁵ ^, vergleicht man zuerst die Exponenten. In diesem Fall ist 5 > 4, also 2 × 10⁵ ^> 5 × ^10⁴ . Sind die Exponenten gleich, vergleicht man die Mantisse (oder den Koeffizienten): 5 × 10⁴ ^> 2 × 10⁴, ^da 5 > 2.

Die Tetration mit der Basis 10 ergibt die Folge , die Potenztürme der Zahlen 10, wobei eine funktionale Potenz der Funktion bezeichnet (die Funktion wird auch durch das Suffix "-plex" wie in Googolplex ausgedrückt, siehe die Googol-Familie ). ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$${\displaystyle f(n)=10^{n}}$

Es handelt sich hierbei um sehr gerundete Zahlen, die jeweils eine Größenordnung im allgemeinen Sinne darstellen. Eine einfache Möglichkeit, die Größe einer Zahl anzugeben, besteht darin, zu bestimmen, zwischen welchen beiden Zahlen dieser Folge sie liegt.

Genauer gesagt lassen sich Zwischenzahlen in der Form darstellen , d. h. mit einer Zehnerpotenz und einer Zahl an der Spitze, gegebenenfalls in wissenschaftlicher Notation, z. B. eine Zahl zwischen und (beachte, dass falls ). (Siehe auch Erweiterung der Tetration auf reelle Höhen .) ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$${\displaystyle 1<a<10}$

Googolplex ist also . ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

Ein weiteres Beispiel:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ Kopien von }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3}$(zwischen und )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$

Die Größenordnung einer Zahl (in einem größeren Kontext als üblicherweise gemeint) lässt sich also durch die Anzahl der Logarithmen ( n ) charakterisieren, die man benötigt, um eine Zahl zwischen 1 und 10 zu erhalten. Die Zahl liegt demnach zwischen 1 und 10. Wie bereits erläutert, gibt eine präzisere Beschreibung einer Zahl auch ihren Wert zwischen 1 und 10 an, oder den Wert der vorherigen Zahl (nachdem man den Logarithmus einmal weniger berechnet hat) zwischen 10 und 10¹⁰ ^, oder den Wert der nächsten Zahl zwischen 0 und 1. ${\displaystyle log_{10}}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$

Beachten Sie, dass

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

Ist eine Zahl x zu groß für eine Darstellung, kann der Kraftturm um eine Stufe erhöht werden, indem x durch log₁₀ _x ersetzt wird . Alternativ kann x aus der Darstellung des Logarithmus zur Basis ₁₀ der gesamten Zahl im unteren Turm ermittelt werden. Enthält der Kraftturm eine oder mehrere von 10 verschiedene Zahlen, führen die beiden Ansätze zu unterschiedlichen Ergebnissen. Dies liegt daran, dass das Erweitern des Kraftturms um eine 10 am unteren Ende nicht dasselbe ist wie das Erweitern um eine 10 an der Spitze (ähnliche Bemerkungen gelten natürlich auch, wenn der gesamte Kraftturm aus Kopien derselben, von 10 verschiedenen Zahl besteht). ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$

Ist die Höhe des Turms groß, lassen sich die verschiedenen Darstellungen für große Zahlen auf die Höhe selbst anwenden. Ist die Höhe nur annähernd angegeben, ist die Angabe eines Wertes an der Spitze nicht sinnvoll; in diesem Fall kann die Doppelpfeil-Notation (z. B. ) verwendet werden. Ist der Wert nach dem Doppelpfeil selbst eine sehr große Zahl, kann die obige Darstellung rekursiv auf diesen Wert angewendet werden. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7,21\times 10^{8})}$

Beispiele:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}}$(zwischen und )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$(zwischen und )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Ähnlich wie oben ist es nicht sinnvoll, rechts einen Wert anzugeben, wenn der Exponent von nicht genau gegeben ist. Anstatt die Potenznotation von zu verwenden , kann man zum Exponenten von addieren , um z. B. zu erhalten . ${\displaystyle (10\uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow )}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2,8\times 10^{12})}$

Ist der Exponent groß, können die verschiedenen Darstellungen für große Zahlen auf diesen Exponenten selbst angewendet werden. Ist dieser Exponent nicht exakt gegeben, ist es wiederum nicht sinnvoll, rechts einen Wert anzugeben. Anstelle der Potenzschreibweise kann man den Dreifachpfeiloperator verwenden, z. B. . ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7,3\times 10^{6})}$

Ist das rechte Argument des Dreifachpfeiloperators groß, gilt das Obige auch, was beispielsweise zu einer Potenz von 1 (zwischen 1 und 2 ) führt. Dies lässt sich rekursiv durchführen, sodass eine Potenz des Dreifachpfeiloperators möglich ist. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9,73\times 10^{32})}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Dann ist es möglich, mit Operatoren mit einer höheren Anzahl von Pfeilen fortzufahren, geschrieben . ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

Vergleichen Sie diese Notation mit dem Hyperoperator und der Conway-Kettenpfeilnotation :

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$= ( a → b → n ) = hyper( a ,  n  + 2,  b )

Ein Vorteil der ersten Methode ist, dass es, wenn man sie als Funktion von b betrachtet , eine natürliche Notation für Potenzen dieser Funktion gibt (genau wie beim Aufschreiben der n Pfeile): . Zum Beispiel: ${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$= ( 10 → ( 10 → ( 10 → b → 2 ) → 2 ) → 2 )

und nur in Sonderfällen wird die Notation der langen verschachtelten Kette reduziert; für erhält man: ${\displaystyle ''b''=1}$

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$= ( 10 → 3 → 3 )

Da b auch sehr groß sein kann, lässt es sich im Allgemeinen als Folge von Potenzen mit abnehmenden n- Werten (mit genau vorgegebenen ganzzahligen Exponenten ) darstellen, an deren Ende eine Zahl in wissenschaftlicher Notation steht. Ist a zu groß, um es exakt anzugeben, wird der Wert von a um 1 erhöht und alles rechts von a neu geschrieben. ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$${\displaystyle {k_{n}}}$${\displaystyle {k_{n}}}$${\displaystyle {k_{n+1}}}$${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$

Zur näherungsweisen Beschreibung von Zahlen sind Abweichungen von der absteigenden Reihenfolge der Werte von n nicht erforderlich. Zum Beispiel gilt: , und . Daraus ergibt sich das etwas kontraintuitive Ergebnis, dass eine Zahl x so groß sein kann, dass x und 10x ^{gewissermaßen} „ fast gleich“ sind (zur Arithmetik großer Zahlen siehe auch unten). ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

Ist der Exponent des Pfeils groß, lassen sich die verschiedenen Darstellungen für große Zahlen auf diesen Exponenten selbst anwenden. Ist dieser Exponent nicht exakt gegeben, erübrigt sich das Potenzieren des Operators oder die Anpassung des Wertes, auf den er wirkt. Stattdessen kann man rechts einfach einen Standardwert, beispielsweise 10, verwenden, und der Ausdruck vereinfacht sich zu einem approximativen n . Für solche Zahlen ist der Vorteil der Pfeilschreibweise nicht mehr gegeben, daher kann stattdessen die Kettenschreibweise verwendet werden. ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$

Das Obige kann rekursiv für dieses n angewendet werden , sodass die Notation im Exponenten des ersten Pfeils usw. oder in einer verschachtelten Kettennotation erhalten wird, z. B.: ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

(10 → 10 → (10 → 10 → ) ) =${\displaystyle 3\times 10^{5}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10}$

Wenn die Anzahl der Stufen zu groß wird, um praktikabel zu sein, verwendet man eine Notation, bei der diese Anzahl als Zahl geschrieben wird (ähnlich wie beim Hochstellen eines Pfeils anstelle vieler Pfeile). Führt man eine Funktion f = (10 → 10 → n ) ein, werden diese Stufen zu funktionalen Potenzen von f , wodurch sich eine Zahl der Form f(m) = m(1) darstellen lässt, wobei m exakt gegeben ist und n eine ganze Zahl ist, die exakt gegeben sein kann oder nicht (zum Beispiel : n = 1). Ist n groß, kann jede der oben genannten Schreibweisen verwendet werden. Die „gerundetesten“ dieser Zahlen sind diejenigen der Form f ( ^m )(1) = (10 → 10 → m → 2). Zum Beispiel:${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$${\displaystyle f^{m}(n)}$${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$

Vergleiche die Definition der Graham-Zahl: Sie verwendet die Zahl 3 anstelle von 10 und hat 64 Pfeilebenen und die Zahl 4 an der Spitze; also , aber auch . ${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$

Ist m zu groß, um es exakt anzugeben, kann man ein festes n verwenden , z. B. n = 1, und die obige Formel rekursiv auf m anwenden . Die Anzahl der Ebenen der Aufwärtspfeile wird dabei durch die hochgestellte Pfeilnotation dargestellt usw. Mit der funktionalen Potenznotation von f erhält man so mehrere Ebenen von f . Führt man eine Funktion ein, werden diese Ebenen zu funktionalen Potenzen von g , wodurch sich eine Zahl in der Form darstellen lässt, wobei m exakt gegeben ist und n eine ganze Zahl ist, die exakt gegeben sein kann oder nicht. Zum Beispiel: (10→10→ m →3) = g ^m (1). Ist n groß, kann jede der obigen Darstellungen verwendet werden. Analog lässt sich eine Funktion h usw. einführen. Werden viele solcher Funktionen benötigt, können sie nummeriert werden, anstatt jedes Mal einen neuen Buchstaben zu verwenden, z. B. als Index. So ergeben sich Zahlen der Form, wobei k und m exakt gegeben sind und n eine ganze Zahl ist, die exakt gegeben sein kann oder nicht. Setzt man k = 1 für f , k = 2 für g usw., erhält man (10→10→ n → k ) = . Ist n groß, kann jede der obigen Ausdrücke verwendet werden. So erhält man eine Verschachtelung von Formen, bei der k von innen nach außen abnimmt, und als innerstes Argument eine Folge von Potenzen mit abnehmenden Werten von n (wobei alle diese Zahlen genau gegebene ganze Zahlen sind), die am Ende eine Zahl in üblicher wissenschaftlicher Notation enthält. ${\displaystyle f^{m}(n)}$${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$${\displaystyle g^{m}(n)}$${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Wenn k zu groß ist, um exakt angegeben zu werden, kann die betreffende Zahl als =(10→10→10→ n ) mit einem Näherungswert für n ausgedrückt werden . Der Übergang von der Folge =(10→ n ) zur Folge =(10→10→ n ) ist dem Übergang von der letzteren zur Folge =(10→10→10→ n ) sehr ähnlich: Es handelt sich um das allgemeine Hinzufügen eines Elements 10 zur Kette in Kettenschreibweise; dieser Vorgang kann wiederholt werden (siehe auch den vorherigen Abschnitt). Durch Nummerierung der nachfolgenden Versionen dieser Funktion kann eine Zahl mithilfe von Funktionen beschrieben werden , die in lexikographischer Reihenfolge verschachtelt sind , wobei q die höchstwertige Zahl ist, aber in absteigender Reihenfolge für q und k . Als inneres Argument ergibt sich eine Folge von Potenzen mit abnehmenden Werten von n (wobei alle diese Zahlen exakt gegebene ganze Zahlen sind), die am Ende eine Zahl in gewöhnlicher wissenschaftlicher Notation enthält. ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$${\displaystyle {f_{n}}(10)}$${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Ist eine Zahl zu groß, um sie in der Conway-Kettenpfeilnotation darzustellen, kann ihre Größe durch die Länge dieser Kette beschrieben werden, beispielsweise durch die Verwendung nur der Elemente 10 in der Kette; mit anderen Worten, man könnte ihre Position in der Folge 10, 10→10, 10→10→10, .. angeben. Ist selbst die Position in der Folge eine große Zahl, können dieselben Techniken erneut angewendet werden.

In Dezimalschreibweise darstellbare Zahlen:

• 2 ² = 4
• 2 ^{2 2} = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3 ³ = 27
• 4 ⁴ = 256
• 5 ⁵ = 3.125
• 6 ⁶ = 46.656
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}$= 2 ↑↑ 4 = 2↑↑↑3 = 65.536
• 7 ⁷ = 823.543
• 10⁶ = 1.000.000 = 1 ^Million
• 8 ⁸ = 16.777.216
• 9 ⁹ = 387.420.489
• 10⁹ = 1.000.000.000 = 1 ^Milliarde
• 10 ¹⁰ = 10.000.000.000
• 10 ¹² = 1.000.000.000.000 = 1 Billion
• 3 ^{3 3} = 3 ↑↑ 3 = 7.625.597.484.987 ≈ 7,63 × 10 ¹²
• 10^¹⁵ = 1.000.000.000.000.000 = 1 Million Milliarden = 1 Billiarde
• 10¹⁸ = ^{1.000.000.000.000.000.000} = 1 Milliarde Milliarden = 1 Quintillion

In wissenschaftlicher Notation darstellbare Zahlen:

• Ungefähre Anzahl der Atome im beobachtbaren Universum = 10 ⁸⁰ = 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
• googol = 10 ¹⁰⁰ = 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000, 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 ^{[ 18 ]}
• 4 ^{4 4} = 4 ↑↑ 3 = 2 ⁵¹² ≈ 1,34 × 10 ¹⁵⁴ ≈ (10 ↑) ² 2,2
• Die ungefähre Anzahl der Planck-Volumina, aus denen das Volumen des beobachtbaren Universums besteht , beträgt 8,5 × 10 ^¹⁸⁴.
• 5 ^{5 5} = 5 ↑↑ 3 = 5 ³¹²⁵ ≈ 1,91 × 10 ²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑) ² 3,3
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3}$
• 6 ^{6 6} = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10 ^36,305 ≈ (10 ↑) ² 4,6
• 7 ^{7 7} = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10 ^695,974 ≈ (10 ↑) ² 5,8
• 8 ^{8 8} = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 10 ^15.151.335 ≈ (10 ↑) ² 7,2
• ${\displaystyle M_{136,279,841}\approx 8.82\times 10^{41,024,319}\approx 10^{10^{7.6130}}\approx (10\uparrow )^{2}\ 7.6130}$, die 52. und, Stand Oktober 2024, die größte bekannte Mersenne-Primzahl . ^{[ 5 ]}
• 9 ^{9 9} = 9 ↑↑ 3 ≈ 4,28 × 10 ^369.693.099 ≈ (10 ↑) ² 8,6
• 10 ^{10 10} = 10 ↑↑ 3 = 10 ^{10.000.000.000} = (10 ↑) ³ 1
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10}$

Zahlen, die in der (10 ↑) ⁿ k Notation darstellbar sind:

• Googolplex =${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4.3}\approx 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}$
• 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) ⁵ 1
• 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) ⁵ 1,10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) ⁵ 4.3
• 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) ⁶ 1
• 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) ¹⁰ 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65.536 ≈ (10 ↑) ^65.533 4,3 liegt zwischen 10 ↑↑ 65.533 und 10 ↑↑ 65.534

Größere Zahlen:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² liegt zwischen (10 ↑↑) ² 2 und (10 ↑↑) ² 3
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1}$= ( 10 → 3 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1}$= ( 10 → 4 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1}$= ( 10 → 5 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1}$= ( 10 → 6 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1}$= ( 10 → 7 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1}$= ( 10 → 8 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1}$= ( 10 → 9 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1}$= ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
• Der erste Term in der Definition der Graham-Zahl, g ₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) liegt zwischen (10 ↑↑↑) ² 2 und (10 ↑↑↑) ² 3 (Siehe Graham-Zahl#Magnitude ) .
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1}$= (10 → 3 → 4)
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$= ( 4 → 4 → 4 )${\displaystyle \approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1}$= ( 10 → 4 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1}$= ( 10 → 5 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1}$= ( 10 → 6 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=}$= ( 10 → 7 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=}$= ( 10 → 8 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=}$= ( 10 → 9 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1}$= ( 10 → 2 → 5 ) = ( 10 → 10 → 4 )
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → ) =${\displaystyle 10^{10}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{10^{10}}10}$
• Der zweite Term in der Definition der Graham-Zahl, g ₂ = 3 ↑ ^{g ₁} 3 > 10 ↑ ^{g ₁ – 1} 10.
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → ) ) =${\displaystyle 10^{10}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$
• g ₃ = (3 → 3 → g ₂ ) > (10 → 10 → g ₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• g ₄ = (3 → 3 → g ₃ ) > (10 → 10 → g ₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g ₉ = (3 → 3 → g ₈ ) liegt zwischen (10 → 10 → 9 → 2) und (10 → 10 → 10 → 2)
• ( 10 → 10 → 10 → 2 )
• g ₁₀ = (3 → 3 → g ₉ ) liegt zwischen (10 → 10 → 10 → 2) und (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g ₆₃ = (3 → 3 → g ₆₂ ) liegt zwischen (10 → 10 → 63 → 2) und (10 → 10 → 64 → 2)
• ( 10 → 10 → 64 → 2 )
• Graham-Zahl, g ₆₄ ^{[ 19 ]}
• ( 10 → 10 → 65 → 2 )
• ( 10 → 10 → 10 → 3 )
• ( 10 → 10 → 10 → 4 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 ) wobei es ( 10 → 10 → 10 ) "10"s gibt

Einige Notationen für extrem große Zahlen:

• Knuths Pfeilnotation , Hyperoperatoren , Ackermann-Funktion , einschließlich Tetration
• Conway-Kettenpfeilnotation
• Die Steinhaus-Moser-Notation beinhaltet neben der Konstruktionsmethode für große Zahlen auch eine grafische Darstellung mit Polygonen . Alternativ können für dieselben Funktionen auch andere Notationen, wie beispielsweise eine konventionellere Funktionsnotation, verwendet werden.
• Schnell wachsende Hierarchie

Diese Notationen sind im Wesentlichen Funktionen von ganzzahligen Variablen, die mit diesen ganzen Zahlen sehr schnell ansteigen. Immer schneller ansteigende Funktionen lassen sich leicht rekursiv konstruieren, indem man diese Funktionen mit großen ganzen Zahlen als Argument anwendet.

Eine Funktion mit einer vertikalen Asymptote ist nicht hilfreich, um eine sehr große Zahl zu definieren, obwohl die Funktion sehr schnell ansteigt: Man muss ein Argument sehr nahe an der Asymptote definieren, d.h. eine sehr kleine Zahl verwenden, und die Konstruktion dieser Zahl ist äquivalent zur Konstruktion einer sehr großen Zahl, z.B. des Kehrwerts.

Das folgende Beispiel veranschaulicht die Auswirkungen einer von 10 verschiedenen Basis, nämlich der Basis 100. Es veranschaulicht außerdem Darstellungen von Zahlen und die Arithmetik.

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$Bei der Basis 10 wird der Exponent verdoppelt.

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$dito.

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}}$Der höchste Exponent hat sich kaum mehr als verdoppelt (erhöht sich um log ₁₀ 2).

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$(Wenn n also groß ist, kann man wohl sagen, dass es "ungefähr gleich" ist .)${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$(Vergleiche ; daher scheint es für große n gerechtfertigt zu sagen, dass "ungefähr gleich" ist )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(vergleichen )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(vergleichen )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(Vergleiche ; wenn n groß ist, ist dies "annähernd" gleich)${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$

Bei einer Zahl n ändert sich das Ergebnis um den Faktor 10, wenn n um eine Einheit verändert wird. Bei einer Zahl wie 6,2, wobei die 6,2 das Ergebnis korrekten Rundens unter Berücksichtigung signifikanter Stellen ist, kann der wahre Wert des Exponenten um 50 kleiner oder größer sein. Daher kann das Ergebnis um einen Faktor zu groß oder zu klein sein. Dies erscheint als extrem ungenau, kann aber bei einer so großen Zahl als akzeptabel gelten (ein großer Fehler bei einer großen Zahl kann „relativ klein“ und daher hinnehmbar sein). ${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle 10^{\,\!6.2\times 10^{3}}}$${\displaystyle 10^{50}}$

Bei der Annäherung an eine extrem große Zahl kann der relative Fehler groß sein, dennoch kann es sinnvoll sein, die Zahlen als „von ähnlicher Größenordnung“ zu betrachten. Betrachten wir beispielsweise

${\displaystyle 10^{10}}$Und${\displaystyle 10^{9}}$

Der relative Fehler beträgt

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

Ein großer relativer Fehler. Man kann jedoch auch den relativen Fehler der Logarithmen betrachten; in diesem Fall sind die Logarithmen (zur Basis 10) 10 und 9, sodass der relative Fehler der Logarithmen nur 10 % beträgt.

Der springende Punkt ist, dass Exponentialfunktionen relative Fehler stark vergrößern – wenn a und b einen kleinen relativen Fehler aufweisen,

${\displaystyle 10^{a}}$Und${\displaystyle 10^{b}}$

Der relative Fehler ist größer, und

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$Und${\displaystyle 10^{10^{b}}}$

wird einen noch größeren relativen Fehler aufweisen. Die Frage lautet dann: Auf welcher Ebene iterierter Logarithmen sollten zwei Zahlen verglichen werden? Es gibt einen Aspekt, in dem man Folgendes berücksichtigen sollte:

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$Und${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

Sie liegen „in ihrer Größenordnung nahe beieinander“. Der relative Fehler zwischen diesen beiden Zahlen ist groß, und der relative Fehler zwischen ihren Logarithmen ist ebenfalls groß; der relative Fehler ihrer zweiten iterierten Logarithmen ist jedoch klein:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$Und${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

Derartige Vergleiche iterierter Logarithmen sind üblich, z. B. in der analytischen Zahlentheorie .

Eine Lösung für das Problem des Vergleichens großer Zahlen besteht in der Definition von Zahlenklassen, wie beispielsweise dem von Robert Munafo ^{[ 20 ]} entwickelten System , das auf unterschiedlichen Wahrnehmungsebenen eines Durchschnittsmenschen basiert. Klasse 0 – Zahlen zwischen null und sechs – umfasst Zahlen, die leicht erfassbar sind , also Zahlen, die im Alltag sehr häufig vorkommen und nahezu sofort vergleichbar sind. Klasse 1 – Zahlen zwischen sechs und 1.000.000 = 10⁶ ^– umfasst Zahlen, deren Dezimaldarstellung ebenfalls leicht erfassbar ist, also Zahlen, die nicht anhand ihrer Anzahl , sondern aufgrund ihrer Dezimaldarstellung auf einen Blick vergleichbar sind.

Jede nachfolgende Klasse wird durch die iterative Anwendung dieser Zehnerpotenzierung definiert, um den Effekt einer weiteren „Iteration“ der menschlichen Ununterscheidbarkeit zu simulieren. Beispielsweise umfasst Klasse 5 Zahlen zwischen 10 ^{¹⁰ 10 ¹⁰ 6} und 10 ^{¹⁰ 10¹⁰ 6} , bei denen X für den Menschen nicht mehr von X ^{² zu unterscheiden ist [ 21 ]} (die iterative Logarithmierung solcher X führt zunächst zur Ununterscheidbarkeit zwischen log( X ) und 2log( X ), dann zwischen log(log( X )) und 1+log(log( X )) und schließlich zu einer extrem langen Dezimaldarstellung, deren Länge nicht subitisiert werden kann).

Es gibt einige allgemeine Regeln für die üblichen arithmetischen Operationen mit sehr großen Zahlen:

• Die Summe und das Produkt zweier sehr großer Zahlen sind jeweils „annähernd“ gleich der größeren Zahl.
• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

Somit:

• Eine sehr große Zahl potenziert mit einer sehr großen Zahl ist „annähernd“ gleich dem größeren der folgenden beiden Werte: dem ersten Wert und 10 hoch dem zweiten Wert. Zum Beispiel gilt für sehr große Zahlen (siehe z. B. die Berechnung von Mega ) und auch . Siehe Tabelle .${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533}$

Gegeben eine streng monoton steigende Folge/Funktion ganzer Zahlen ( n ≥ 1), lässt sich eine schneller wachsende Folge erzeugen (wobei der hochgestellte Index n die n- ^te Potenz der Funktion bezeichnet ). Dies kann beliebig oft wiederholt werden, indem man setzt , wobei jede Folge deutlich schneller wächst als die vorherige. Somit lässt sich definieren , welche Folge für endliche k deutlich schneller wächst als jede andere (hierbei ist ω die erste unendliche Ordinalzahl , die den Grenzwert aller endlichen Zahlen k darstellt). Dies ist die Grundlage für die Hierarchie schnell wachsender Funktionen, in der der Index auf immer größere Ordinalzahlen erweitert wird. ${\displaystyle f_{0}(n)}$${\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)}$${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)}$${\displaystyle f_{\omega }(n)=f_{n}(n)}$${\displaystyle f_{k}}$

Zum Beispiel, beginnend mit f ₀ ( n ) = n + 1:

• f ₁ ( n ) = f ₀ ⁿ ( n ) = n + n = 2 n
• f ₂ ( n ) = f ₁ ⁿ ( n ) = 2 ⁿ n > (2 ↑) n für n ≥ 2 (unter Verwendung der Knuth-Aufwärtspfeilnotation )
• f ₃ ( n ) = f ₂ ⁿ ( n ) > (2 ↑) ⁿ n ≥ 2 ↑ ² n für n ≥ 2
• f _{k +1} ( n ) > 2 ↑ ^k n für n ≥ 2, k < ω
• f _ω ( n ) = f _n ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 2 ↑ ^{n − 2} ( n + 3) − 3 = A ( n , n ) für n ≥ 2, wobei A die Ackermann-Funktion ist (von der f _ω eine unäre Version ist)
• f _ω+1 (64) > f _ω ⁶⁴ (6) > Graham-Zahl (= g ₆₄ in der durch g ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{g _k} 3 definierten Folge)
  • Dies folgt aus der Feststellung, dass f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 3 ↑ ^{n – 2} 3 + 2, und somit f _ω ( g _k + 2) > g _{k +1} + 2
• f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (unter Verwendung der Conway-Kettenpfeilnotation )
• f _ω+1 ( n ) = f _ω ⁿ ( n ) > (2 → n → n -1 → 2) (denn wenn g _k ( n ) = X → n → k dann X → n → k +1 = g _k ⁿ (1))
• f _{ω+ k} ( n ) > (2 → n → n -1 → k +1) > ( n → n → k )
• f _ω2 ( n ) = f _{ω+ n} ( n ) > ( n → n → n ) = ( n → n → n → 1)
• f _{ω2+ k} ( n ) > ( n → n → n → k )
• f _ω3 ( n ) > ( n → n → n → n )
• f _{ω k} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Kette von k +1 n' s)
• f _{ω ²} ( n ) = f _{ω n} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Kette von n +1 n' s)

Die Busy-Beaver- Funktion Σ ist ein Beispiel für eine Funktion, die schneller wächst als jede berechenbare Funktion. Ihr Wert ist selbst für relativ kleine Eingabewerte enorm. Die Werte von Σ( n ) für n = 1, 2, 3, 4, 5 sind 1, 4, 6, 13, 4098 ^{[ 22 ]} (Folge A028444 in der OEIS ). Σ(6) ist unbekannt, liegt aber mindestens bei 10↑↑15.

Obwohl alle oben genannten Zahlen sehr groß sind, sind sie dennoch endlich . Bestimmte Bereiche der Mathematik definieren unendliche und transfinite Zahlen . Beispielsweise ist Aleph-Null die Kardinalität der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen , und Aleph-Eins ist die nächstgrößere Kardinalität. Die Kardinalität der reellen Zahlen wird als Kontinuumshypothese bezeichnet . Diese Aussage lässt sich mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre weder als wahr noch als falsch beweisen . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

• Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit  – Berechnungen, bei denen die Genauigkeit der Zahlen nur durch den Computerspeicher begrenzt ist.
• Dirac-Hypothese der großen Zahlen  – Hypothese, die das Alter des Universums mit physikalischen Konstanten in Beziehung setzt
• Exponentielles Wachstum  – Wachstum von Größen mit einer Rate, die proportional zum aktuellen Betrag ist
• Geschichte großer Zahlen
• Menschlicher Maßstab  – ein Konzept, das den Menschen als primäres Maß für Entwicklung betrachtet.
• Unbestimmte und fiktive Zahlen
• Indisches Zahlensystem  – Indische Konvention zur Benennung großer Zahlen
• Unendlichkeit  – Mathematisches Konzept
• Gesetz der großen Zahlen  – Mittelwerte wiederholter Versuche konvergieren gegen den Erwartungswert
• Liste von Software für Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit
• Lange und kurze Skalen  – Unterschiedliche Bedeutungen für Zahlen
• Myriade  – Größenordnungsbezeichnung für 10.000
• Namen großer Zahlen
• Größenordnungen  – Zahlenskala mit einem festen VerhältnisPages displaying short descriptions of redirect targets
• Zehnerpotenz  – Zehn hoch einer ganzen Zahl
• Zweierpotenz  – Zwei hoch einer ganzen Zahl
• Tetration  – Arithmetische Operation

• Vortragsreihe „ Unfassbar große Zahlen“ von David Metzler