Tetration

In der Mathematik ist die Tetration (oder Hyper-4 ) eine Operation , die auf wiederholter Potenzierung basiert . Es gibt keine universelle Notation für die Tetration, obwohl Knuths Pfeilnotation und der Linksexponent gebräuchlich sind. ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$${\displaystyle {}^{x}b}$

Gemäß der Definition als wiederholte Exponentiation bedeutet a = n- maliges Exponentieren von rechts nach links, also die Anwendung der Exponentiation n - mal. Die Zahl n wird als Höhe der Funktion bezeichnet, während a als Basis n bezeichnet wird , analog zur Exponentiation. Man liest es als „die n -te Tetration von a “. Zum Beispiel ist 2 tetraeder 4 (oder die vierte Tetration von 2) gleich 4 . ${\displaystyle {^{n}a}}$${\displaystyle {a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle {^{4}2}=2^{(2^{(2^{2})})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536}$

Die Tetration ist die nächste Hyperoperation nach der Potenzierung , aber vor der Pentation. Zusammen mit den anderen Hyperoperationen wird die Tetration zur Notation sehr großer Zahlen verwendet. Der Name wurde von Reuben Goodstein aus dem Präfix Tetra- (was „vier“ bedeutet) und dem Wort „Iteration“ geprägt .

Tetration kann auch rekursiv definiert werden als

${\displaystyle {a\uparrow \uparrow n}:={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=0,\\a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}&{\text{falls }}n>0.\end{cases}}}$

Diese Form erlaubt die Erweiterung der Tetration auf allgemeinere Bereiche als die natürlichen Zahlen, wie zum Beispiel reelle , komplexe oder Ordinalzahlen .

Die beiden Umkehrfunktionen der Tetration heißen Superwurzel und Superlogarithmus . Sie sind analog zu den Operationen des Ziehens der n -ten Wurzel bzw. des Logarithmus . Keine der drei Funktionen ist elementar .

Die ersten vier Hyperoperationen sind hier dargestellt, wobei die Tetration als vierte Operation in der Reihe gilt. Die unäre Operationsfolge , definiert als , wird als nullte Operation betrachtet. ${\displaystyle a'=a+1}$

1. Addition n Kopien von 1 werden nacheinander zu a kombiniert.$${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$$
2. Multiplikation n Kopien von a kombiniert durch Addition.$${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$$
3. Potenzierung von n Kopien von a , die durch Multiplikation kombiniert werden.$${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$$
4. Tetration bezeichnet die Vervielfältigung von n Kopien von a durch Exponentiation. Wichtig: Verschachtelte Exponenten werden von rechts nach links berechnet: ⁠ ⁠ bedeutet ⁠ ⁠ und nicht ⁠ ⁠$${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}} _{n}}$$${\displaystyle c^{b^{a}}}$${\displaystyle c^{\left(b^{a}\right)}}$${\displaystyle \left(c^{b}\right)^{a}.}$

Die Folge (n) ist die grundlegendste Operation. Die Addition (n ) ist eine primäre Operation, die bei natürlichen Zahlen als verkettete Folge von Nachfolgern von n betrachtet werden kann . Auch die Multiplikation (n ) ist eine primäre Operation, die bei natürlichen Zahlen analog als verkettete Addition von Zahlen der Größe n verstanden werden kann . Die Potenzierung kann als verkettete Multiplikation von Zahlen der Größe n und die Tetration ( n) als verkettete Potenzierung von Zahlen der Größe n betrachtet werden . Jede der oben genannten Operationen ist durch Iteration der vorherigen definiert; ^{[ 1 ]} im Gegensatz zu den vorhergehenden Operationen ist die Tetration jedoch keine elementare Funktion . ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+1}$${\displaystyle a+n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ^{n}a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$

Der Parameter wird als Basis bezeichnet , der Parameter als Höhe . In der ursprünglichen Definition der Tetration muss der Höhenparameter eine natürliche Zahl sein; beispielsweise wäre es unlogisch zu sagen „drei hoch minus fünf“ oder „vier hoch ein halbes“. Doch genau wie Addition, Multiplikation und Potenzierung so definiert werden können, dass sie auf reelle und komplexe Zahlen erweitert werden können, wurden verschiedene Versuche unternommen, die Tetration auf negative Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen zu verallgemeinern. Eine Möglichkeit hierfür ist die Verwendung einer rekursiven Definition der Tetration; für jede positive reelle und nichtnegative ganze Zahl können wir rekursiv definieren als: ^{[ 1 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle {^{n}a}}$

${\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

Die rekursive Definition entspricht der wiederholten Exponentiation für natürliche Höhen; diese Definition erlaubt jedoch Erweiterungen auf die anderen Höhen wie , , und – viele dieser Erweiterungen sind Gegenstand aktiver Forschung. ${\displaystyle ^{0}a}$${\displaystyle ^{-1}a}$${\displaystyle ^{i}a}$

Es gibt viele Begriffe für Tetration, die jeweils eine gewisse Logik besitzen, sich aber aus verschiedenen Gründen nicht durchgesetzt haben. Im Folgenden werden die einzelnen Begriffe mit ihren Begründungen und Gegenargumenten verglichen.

• Der Begriff der Tetration , eingeführt von Goodstein in seiner 1947 erschienenen Arbeit „Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory“ ^{[ 2 ]} (eine Verallgemeinerung der rekursiven Basisdarstellung aus Goodsteins Theorem für höhere Operationen), hat sich durchgesetzt. Bekannt wurde er auch durch Rudy Ruckers Werk „ Infinity and the Mind“ .
• Der Begriff Superexponentiation wurde 1987 von Bromer in seiner Arbeit Superexponentiation veröffentlicht. ^{[ 3 ]} Er wurde bereits 1986 von Ed Nelson in seinem Buch Predictative Arithmetic ( Princeton University Press) verwendet .
• Der Begriff Hyperkraft ^{[ 4 ]} ist eine natürliche Kombination aus Hyper und Kraft und beschreibt die Tetration treffend. Das Problem liegt in der Bedeutung von Hyper im Hinblick auf die Hyperoperationssequenz . Bei Hyperoperationen bezieht sich der Begriff Hyper auf alle Ränge, während Super den Rang 4, also die Tetration, bezeichnet. Daher ist Hyperkraft irreführend, da sie sich nur auf die Tetration bezieht.
• Der Begriff „Potenzturm ^{“ [ 5 ]} wird gelegentlich in der Form „der Potenzturm der Ordnung n “ verwendet . Die Potenzierung wird leicht missverstanden: Beachten Sie, dass die Operation des Potenzierens rechtsassoziativ ist (siehe unten ). Die Tetration ist eine iterierte Potenzierung (nennen wir diese rechtsassoziative Operation ^), beginnend oben rechts im Ausdruck mit einem Wert a^a (nennen wir diesen Wert c). Die Potenzierung des nächsten a links (nennen wir dieses die „nächste Basis“ b) erfolgt, indem man nach dem Erhalt des neuen Wertes b^c nach links arbeitet. Dabei verwendet man das nächste a links als Basis b und berechnet das neue b^c. Anschließend geht man schrittweise den „Turm“ hinunter und verwendet dabei den neuen Wert für c im nächsten Schritt.${\displaystyle {\ \atop {\ }}{{\underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}} } \atop n}}$

Aufgrund ähnlicher Terminologie und Notation wird die Tetration häufig mit eng verwandten Funktionen und Ausdrücken verwechselt. Hier einige verwandte Begriffe:

Begriffe im Zusammenhang mit der Tetraration

Terminologie	Bilden
Tetration	${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$
Iterierte Exponentialfunktionen	${\displaystyle a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a^{x}}}}}}$
Verschachtelte Exponentialfunktionen (auch Türme)	${\displaystyle a_{n}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{2}^{a_{1}}}}}}$
Unendliche Exponentialfunktionen (auch Türme)	${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{{a_{3}}^{{a_{2}}^{a_{1}}}}}}}$

In den ersten beiden Ausdrücken ist a die Basis , und die Anzahl der Vorkommen von a ist die Höhe (bei x addiert man eins ). Im dritten Ausdruck ist n die Höhe , aber die Basen sind jeweils unterschiedlich.

Bei der Verwendung des Begriffs „iterierte Exponentialfunktionen“ ist Vorsicht geboten, da Ausdrücke dieser Form häufig als „iterierte Exponentiation“ bezeichnet werden, was mehrdeutig ist, da damit entweder „ iterierte Potenzen“ oder „iterierte Exponentialfunktionen“ gemeint sein können .

Es gibt viele verschiedene Notationsstile, mit denen sich Tetrationen ausdrücken lassen. Einige Notationen können auch zur Beschreibung anderer Hyperoperationen verwendet werden , während andere auf Tetrationen beschränkt sind und keine unmittelbare Erweiterung haben.

Notationsstile für die Tetration

Name	Bilden	Beschreibung
Knuths Pfeilnotation nach oben	${\displaystyle {\begin{aligned}a{\uparrow \uparrow }n\\a{\uparrow }^{2}n\end{aligned}}}$	Ermöglicht die Erweiterung durch Hinzufügen weiterer Pfeile oder, noch leistungsfähiger, eines indizierten Pfeils.
Conway-Kettenpfeilnotation	${\displaystyle a\rightarrow n\rightarrow 2}$	Ermöglicht die Erweiterung durch Erhöhung der Zahl 2 (entspricht den oben genannten Erweiterungen), aber auch, und das ist noch leistungsfähiger, durch Erweiterung der Kette.
Ackermann-Funktion	${\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}$	Ermöglicht es, den Spezialfall mithilfe der Ackermann-Funktion auszudrücken. ${\displaystyle a=2}$
Iterierte Exponentialnotation	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(1)}$	Ermöglicht die einfache Erweiterung auf iterierte Exponentialfunktionen mit anderen Anfangswerten als 1.
Hooshmand-Notation [ 6 ]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {uxp} _{a}n\\[2pt]&a^{\frac {n}{}}\end{aligned}}}$	Verwendet von MH Hooshmand [2006].
Hyperoperationsnotationen​	${\displaystyle {\begin{aligned}&a[4]n\\[2pt]&H_{4}(a,n)\end{aligned}}}$	Ermöglicht die Erweiterung durch Erhöhung der Zahl 4; dies ergibt die Familie der Hyperoperationen .
Doppelcart-Notation	a^^n	Da der Pfeil nach oben identisch zum Caret ( ^) verwendet wird, kann die Tetration als ( ) geschrieben werden ^^; praktisch für ASCII .

Eine der obigen Notationen verwendet die iterierte Exponentialnotation; diese ist allgemein wie folgt definiert:

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a^{x}}}}}}$mit n a s.

Für iterierte Exponentialfunktionen gibt es nicht so viele Notationen, aber hier sind einige:

Notationsstile für iterierte Exponentialfunktionen

Name	Bilden	Beschreibung
Standardnotation	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$	Euler prägte die Notation , und die Iterationsnotation gibt es etwa genauso lange. ${\displaystyle \exp _{a}(x)=a^{x}}$${\displaystyle f^{n}(x)}$
Knuths Pfeilnotation nach oben	${\displaystyle (a{\uparrow })^{n}x}$	Ermöglicht Superkräfte und superexponentielle Funktionen durch Erhöhung der Anzahl der Pfeile; wird im Artikel über große Zahlen verwendet .
Textnotation	exp_a^n(x)	Basierend auf der Standardnotation; geeignet für ASCII .
J-Notation	x^^:(n-1)x	Wiederholt die Exponentiation. Siehe J (Programmiersprache) . [ 7 ]
Unendlichkeitsbarriere-Notation	${\displaystyle a\uparrow \uparrow n|x}$	Jonathan Bowers hat diesen Begriff geprägt, [ 8 ] und er kann auf höhere Hyper-Operationen erweitert werden.

Aufgrund des extrem schnellen Wachstums der Tetration sind die meisten Werte in der folgenden Tabelle zu groß, um sie in wissenschaftlicher Notation darzustellen . In diesen Fällen wird die iterierte Exponentialschreibweise verwendet, um sie zur Basis 10 auszudrücken. Die Werte mit Dezimalpunkt sind gerundet. Üblicherweise liegt die Grenze, die in einem numerischen Berechnungsprogramm wie Wolfram Alpha berechnet werden kann , bei 3↑↑⁴, und die Anzahl der Stellen bis 3↑↑⁵ kann dargestellt werden.

Beispiele für Tetration

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {}^{2}x}$	${\displaystyle {}^{3}x}$	${\displaystyle {}^{4}x}$	${\displaystyle {}^{5}x}$	${\displaystyle {}^{6}x}$	${\displaystyle {}^{7}x}$
1	1	1	1	1	1	1
2	4 (2 2 )	16 (2 4 )	65.536 (2 16 )	2,00353 × 10 19.728 (2 65.536 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.29508)}$(10 6,03123×10 19,727 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(4.29508)}$
3	27 (3 3 )	7.625.597.484.987 (3 27 )	1,25801 × 10 3.638.334.640.024 (3 7.625.597.484.987 ) [ 9 ]	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1.09902)}$ (10 6,00225×10 3.638.334.640.023 )	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(1.09902)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(1.09902)}$
4	256 (4 4 )	1,34078 × 10 154 (4 256 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.18726)}$(10 8,07230×10 153 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(2.18726)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(2.18726)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(2.18726)}$
5	3.125 (5 5 )	1,91101 × 10 2,184 (5 3,125 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(3.33928)}$(10 1,33574×10 2,184 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(3.33928)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(3.33928)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(3.33928)}$
6	46.656 (6 6 )	2,65912 × 10 36,305 (6 46,656 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.55997)}$(10 2,0692×10 36,305 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(4.55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(4.55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(4.55997)}$
7	823.543 (7 7 )	3,75982 × 10 695,974 (7 823,543 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(5.84259)}$(10 3,17742×10 695,974 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(5.84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(5.84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(5.84259)}$
8	16.777.216 (8 8 )	6,01452 × 10 15.151.335	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(7.18045)}$(10 5,43165×10 15.151.335 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(7.18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(7.18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(7.18045)}$
9	387.420.489 (9 9 )	4,28125 × 10 369.693.099	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(8.56784)}$(10 4,08535×10 369.693.099 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(8.56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(8.56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(8.56784)}$
10	10.000.000.000 (10 10 )	10 10.000.000.000	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}$(10 10 10.000.000.000 )	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{7}(1)}$

Anmerkung: Wenn x sich nicht um Größenordnungen von 10 unterscheidet, dann gilt dies für alle . Beispielsweise ist in der obigen Tabelle der Unterschied in den folgenden Zeilen sogar noch geringer. ${\displaystyle k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'{\text{ with }}z'\approx z}$${\displaystyle z-z'<1.5\cdot 10^{-15}{\text{ for }}x=3=k,~m=4}$

Die Tetration lässt sich auf zwei verschiedene Arten erweitern; in der Gleichung können sowohl die Basis a als auch die Höhe n mithilfe der Definition und der Eigenschaften der Tetration verallgemeinert werden. Obwohl Basis und Höhe über die nichtnegativen ganzen Zahlen hinaus auf andere Bereiche , einschließlich komplexer Funktionen wie z. B. , und Höhen von unendlichem n , erweitert werden können, schränken die begrenzteren Eigenschaften der Tetration die Erweiterungsmöglichkeiten ein. ${\displaystyle ^{n}a}$${\displaystyle {^{n}0}}$${\displaystyle {}^{n}i}$

Die Exponentialfunktion ist nicht einheitlich definiert. Daher sind die Tetratrationen durch die zuvor angegebene Formel nicht eindeutig definiert. Jedoch ist wohldefiniert und existiert: ^{[ 10 ]}${\displaystyle 0^{0}}$${\displaystyle {^{n}0}}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

Somit könnten wir konsistent definieren . Dies ist analog zur Definition von . ${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$${\displaystyle 0^{0}=1}$

Unter dieser Erweiterung gilt weiterhin die Regel aus der ursprünglichen Definition. ${\displaystyle {}^{0}0=1}$${\displaystyle {^{0}a}=1}$

Da komplexe Zahlen potenziert werden können, lässt sich die Tetration auf Basen der Form z = a + bi (wobei a und b reelle Zahlen sind) anwenden. Beispielsweise wird in ⁿ z mit z = i die Tetration durch Verwendung des Hauptzweigs des natürlichen Logarithmus erreicht ; mithilfe der Euler-Formel ergibt sich folgende Beziehung:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

Dies legt eine rekursive Definition für ^{n +1} i = a′ + b′i nahe, gegeben jedes ⁿ i = a + bi :

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

Folgende Näherungswerte lassen sich ableiten:

Werte der Tetration komplexer Basen

${\textstyle {}^{n}i}$	Ungefährer Wert
${\textstyle {}^{1}i=i}$	ich
${\textstyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	0,2079
${\textstyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	0,9472 + 0,3208 i
${\textstyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	0,0501 + 0,6021 i
${\textstyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	0,3872 + 0,0305 i
${\textstyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	0,7823 + 0,5446 i
${\textstyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	0,1426 + 0,4005 i
${\textstyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	0,5198 + 0,1184 i
${\textstyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	0,5686 + 0,6051 i

Die Lösung der inversen Relation liefert, wie im vorherigen Abschnitt, die erwarteten Ergebnisse 0 i = 1 und −1 i = 0 , wobei negative Werte von n zu unendlichen Ergebnissen auf der imaginären Achse führen. In der komplexen Ebene dargestellt , konvergiert die gesamte Folge spiralförmig gegen den Grenzwert 0,4383 + 0,3606 i , der als der Wert interpretiert werden kann, bei dem n unendlich wird.

Solche Tetrationsfolgen werden seit Euler untersucht, sind aber aufgrund ihres chaotischen Verhaltens nur unzureichend verstanden. Die meisten bisherigen Forschungsarbeiten konzentrierten sich auf die Konvergenz der unendlich iterierten Exponentialfunktion. Die aktuelle Forschung profitiert erheblich von leistungsstarken Computern mit Software für fraktale und symbolische Mathematik. Vieles, was über Tetration bekannt ist, basiert auf allgemeinen Kenntnissen der komplexen Dynamik und der spezifischen Erforschung der Exponentialabbildung.

Die Tetration lässt sich auf unendliche Höhen erweitern ; d. h., für bestimmte a- Werte in ℝ existiert ein wohldefiniertes Ergebnis für ein unendliches n . Dies liegt daran, dass die Tetration für Basen innerhalb eines bestimmten Intervalls gegen einen endlichen Wert konvergiert, wenn die Höhe gegen unendlich strebt . Beispielsweise konvergiert a(a) gegen 2 und kann daher als gleich 2 angenommen werden. Die Tendenz zu 2 lässt sich anhand eines kleinen, endlichen Turms veranschaulichen: ${\displaystyle {}^{n}a}$${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

Im Allgemeinen konvergiert die unendlich iterierte Exponentialfunktion , definiert als der Grenzwert von x für n gegen unendlich, für e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{^{1/ e}} , ungefähr im Intervall von 0,066 ^{[ 11 ]} bis 1,44 ^{[ 12 ]} , ein Ergebnis, das Leonhard Euler gezeigt hat ^{[ 13 ]} . Der Grenzwert, sofern er existiert, ist eine positive reelle Lösung der Gleichung y = x ^{1/ ^e} . Somit gilt x = y ^{^{1/ e}} . Der Grenzwert, der die unendliche Exponentialfunktion von x definiert, existiert nicht für x > e^{^{1/ e}} , da das Maximum von y ^{^{1/ e}} gleich e^{^{1/ e}} ist . Der Grenzwert existiert auch nicht für 0 < x < e ^{− e} . ${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{x^{x}}}}}$${\displaystyle {}^{n}x}$

Dies lässt sich mit folgender Definition auf komplexe Zahlen z erweitern:

${\displaystyle {}^{\infty }z=\cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=e^{-\mathrm {W} (-\ln {z})}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

wobei W die Lambertsche W-Funktion darstellt . Diese Formel folgt aus der Annahme, dass konvergiert, und somit , , , und (siehe Quadratwurzel unten). ${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=a}$${\displaystyle z^{a}=a}$${\displaystyle z=a^{1/a}}$${\displaystyle 1/z=(1/a)^{1/a}={}^{2}(1/a)}$${\displaystyle 1/a=\mathrm {ssrt} (1/z)=e^{W(\ln(1/z))}}$

Da der Grenzwert y = ^∞ x (falls er auf der positiven reellen Achse existiert, d.h. für e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} ) die Bedingung x ^y = y erfüllen muss, sehen wir, dass x ↦ y = ^∞ x (der untere Zweig von) der Umkehrfunktion von y ↦ x = y ^{1/ y} ist .

Wir können die Rekursionsregel für die Tetration umkehren.

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

zu schreiben:

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right).}$

Durch Ersetzen von k durch −1 ergibt sich

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$. ^{[ 14 ]}

Kleinere negative Werte lassen sich auf diese Weise nicht eindeutig definieren. Setzt man −2 für k in dieselbe Gleichung ein, erhält man

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

was nicht genau definiert ist. Sie können jedoch manchmal als Mengen betrachtet werden. ^{[ 14 ]}

Für gilt : Jede Definition von ist mit der Regel vereinbar. Genauer gesagt, könnte jeden beliebigen Wert annehmen , da${\displaystyle a=1}$${\displaystyle {^{-1}a}}$${\displaystyle {^{-1}1}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{z}}$für jeden .${\displaystyle z={^{-1}1}}$

Eine lineare Approximation (Lösung der Stetigkeitsbedingung, Approximation der Differenzierbarkeitsbedingung) ist gegeben durch:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

somit:

Werte der linearen Approximation

Annäherung	Domain
${\textstyle {}^{x}a\approx x+1}$	für −1 < x < 0
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{x}}$	für 0 < x < 1
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}$	für 1 < x < 2

und so weiter. Allerdings ist sie nur stückweise differenzierbar; an ganzzahligen x- Werten wird die Ableitung mit multipliziert . Sie ist genau dann stetig differenzierbar, wenn . Zum Beispiel mit diesen Methoden und${\displaystyle \ln {a}}$${\displaystyle x>-2}$${\displaystyle a=e}$${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

Ein Hauptsatz in Hooshmands Arbeit ^{[ 6 ]} lautet: Sei . Wenn stetig ist und die Bedingungen erfüllt: ${\displaystyle 0<a\neq 1}$${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}}$für alle und${\displaystyle x>-1}$${\displaystyle f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$ist differenzierbar auf (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }}$ist eine nichtfallende oder nichtsteigende Funktion auf (−1, 0) , und
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right),}$

wird dann eindeutig durch die Gleichung bestimmt${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))}$für alle${\displaystyle x>-2,}$

wobei den Bruchteil von x bezeichnet und die - iterierte Funktion der Funktion ist . ${\displaystyle (x)=x-[x]}$${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \exp _{a}}$

Der Beweis besteht darin, dass die zweite bis vierte Bedingung trivial implizieren, dass f eine lineare Funktion auf [−1, 0] ist .

Die lineare Approximation der natürlichen Tetrationsfunktion ist stetig differenzierbar, ihre zweite Ableitung existiert jedoch nicht an ganzzahligen Werten ihres Arguments. Hooshmand leitete einen weiteren Eindeutigkeitssatz für sie ab, der besagt: ${\displaystyle {}^{x}e}$

Wenn es sich um eine stetige Funktion handelt , die die folgende Bedingung erfüllt: ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$für alle und ,${\displaystyle x>-1}$${\displaystyle f(0)=1}$
• ${\displaystyle f}$ist konvex auf (−1, 0) , und
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right)}$,

dann . (Hierbei handelt es sich um Hooshmands Bezeichnung für die lineare Approximation der natürlichen Tetrationsfunktion.) ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$${\displaystyle f={\text{uxp}}}$

Der Beweis ist im Wesentlichen derselbe wie zuvor; die Rekursionsgleichung stellt sicher, dass und dann impliziert die Konvexitätsbedingung, dass linear auf (−1, 0) ist . ${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$${\displaystyle f}$

Daher ist die lineare Approximation der natürlichen Tetration die einzige Lösung der Gleichung für , die auf (−1, +∞) konvex ist . Alle anderen hinreichend differenzierbaren Lösungen müssen einen Wendepunkt im Intervall (−1, 0) besitzen . ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$${\displaystyle x>-1}$${\displaystyle f(0)=1}$

Über lineare Näherungen hinaus wird eine quadratische Näherung (für die Differenzierbarkeitsbedingung) wie folgt angegeben:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1+\ln(a)}}x-{\frac {1-\ln(a)}{1+\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

welche für alle , aber nicht zweimal differenzierbar ist. Zum Beispiel, wenn dies dasselbe ist wie die lineare Approximation. ^{[ 1 ]}${\displaystyle x>0}$${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$${\displaystyle a=e}$

Aufgrund der Berechnungsmethode heben sich die Exponenten dieser Funktion nicht auf, im Gegensatz zu Exponenten, bei denen . Genauer gesagt: ${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$Die

Ebenso wie es quadratische Approximationen gibt, existieren auch kubische Approximationen und Methoden zur Verallgemeinerung auf Approximationen vom Grad n , obwohl diese wesentlich unhandlicher sind. ^{[ 1 ] [ 15 ]}

Im Jahr 2017 wurde bewiesen ^{[ 16 ]} , dass eine eindeutige Funktion existiert, die (äquivalent dazu für ) mit den Hilfsbedingungen und (den anziehenden/abstoßenden Fixpunkten des Logarithmus, ungefähr ) für erfüllt . Darüber hinaus ist holomorph auf ganz außer dem Schnitt entlang der reellen Achse bei . Diese Konstruktion wurde erstmals von Kouznetsov (2009) ^{[ 17 ]} vermutet und 1950 von Kneser rigoros bewiesen. ^{[ 18 ]} Der Beweis von Paulsen & Cowgill erweitert Knesers ursprüngliche Konstruktion auf beliebige Basen , und nachfolgende Arbeiten zeigten, wie dieses Ergebnis auf alle komplexen Basen erweitert werden kann, einschließlich solcher innerhalb des Konvergenzbereichs von . ^{[ 19 ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle F(z+1)=\exp {\bigl (}F(z){\bigr )}}$${\displaystyle F(z+1)=b^{F(z)}}$${\displaystyle b=e}$${\displaystyle F(0)=1}$${\displaystyle F(z)\to \xi _{\pm }}$${\displaystyle 0.318\pm 1.337\,\mathrm {i} }$${\displaystyle z\to \pm i\infty }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z\leq -2}$${\displaystyle b>e^{1/e}\approx 1.445}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}b}$

Tetration kann für Ordinalzahlen mittels transfiniter Induktion definiert werden . Für alle α und alle β > 0 : $${\displaystyle {}^{0}\alpha =1}$$$${\displaystyle {}^{\beta }\alpha =\sup(\{\alpha ^{{}^{\gamma }\alpha }:\gamma <\beta \}).}$$

Tetration (eingeschränkt auf ) ist keine elementar rekursive Funktion . Man kann durch Induktion beweisen, dass es zu jeder elementar rekursiven Funktion f eine Konstante c gibt, sodass ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$

${\displaystyle f(x)\leq \underbrace {\cdot ^{\cdot ^{2^{2^{x}}}}} _{c}.}$

Wir bezeichnen die rechte Seite mit . Angenommen, die Tetration sei elementar rekursiv. Dann wäre auch die Tetration elementar rekursiv. Nach der obigen Ungleichung existiert eine Konstante c , sodass . Setzen wir , so erhalten wir , was einen Widerspruch darstellt. ${\displaystyle g(c,x)}$${\displaystyle g(x,x)+1}$${\displaystyle g(x,x)+1\leq g(c,x)}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle g(c,c)+1\leq g(c,c)}$

Die Potenzierung besitzt zwei Umkehroperationen: Wurzeln und Logarithmen . Analog dazu werden die Umkehroperationen der Tetration oft als Superwurzel und Superlogarithmus bezeichnet (tatsächlich besitzen alle Hyperoperationen größer oder gleich 3 analoge Umkehroperationen); beispielsweise sind in der Funktion die beiden Umkehroperationen die Kubik-Superwurzel von y und der Superlogarithmus zur Basis  y von x . ${\displaystyle {^{3}}y=x}$

Die Superwurzel ist die Umkehroperation der Tetration bezüglich der Basis: Wenn , dann ist y eine n- te Superwurzel von x ( oder ). ${\displaystyle ^{n}y=x}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$

Zum Beispiel,

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}$

Also ist 2 die vierte Superwurzel von 65.536 . ${\displaystyle \left({\sqrt[{4}]{65{,}536}}_{s}=2\right)}$

Die Superwurzel zweiter Ordnung , auch quadratische Superwurzel oder Superquadratwurzel genannt , hat zwei äquivalente Bezeichnungen: und . Sie ist die Umkehrfunktion von und kann mit der Lambertschen W-Funktion dargestellt werden : ^{[ 20 ]}${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=\exp(W(\ln x))={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$oder

${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln x)}}$

Die Funktion verdeutlicht auch den reflektierenden Charakter der Wurzel- und Logarithmusfunktionen, da die folgende Gleichung nur dann gilt, wenn : ${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

Wie Quadratwurzeln haben auch die Quadrat-Superwurzeln von x möglicherweise nicht nur eine einzige Lösung. Im Gegensatz zu Quadratwurzeln kann die Bestimmung der Anzahl der Quadrat-Superwurzeln von x jedoch schwierig sein. Im Allgemeinen gilt: Wenn x < 1, dann hat x zwei positive Quadrat-Superwurzeln zwischen 0 und 1, berechnet mit den Formeln: √(x² + 1) = √(x² + 1 ); und wenn x < 1 , dann hat x eine positive Quadrat-Superwurzel größer als 1, berechnet mit den Formeln: √(x² + 1) = √(x² + 1) . Ist x positiv und kleiner als 1, so hat es keine reellen Quadrat-Superwurzeln, aber die oben angegebene Formel liefert abzählbar unendlich viele komplexe Quadrat- Superwurzeln für jedes endliche x ≠ 1. ^{[ 20 ]} Die Funktion wurde zur Bestimmung der Größe von Datenclustern verwendet . ^{[ 21 ]}${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=\left\{e^{W_{-1}(\ln x)};e^{W_{0}(\ln x)}\right\}}$${\displaystyle x>1}$${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W_{0}(\ln x)}}$${\displaystyle e^{-1/e}}$

Bei : ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+{\mathcal {O}}{\left((x-1)^{8}\right)}}$$

Eine der einfacheren und schnelleren Formeln zur Berechnung einer Superwurzel dritten Grades ist die Rekursionsformel. Man kann dann Folgendes verwenden: ${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$

• ${\displaystyle x_{0}=1}$
• ${\displaystyle x_{n+1}=\exp(W(W(x_{n}\ln y)))}$

Diese rekursive Formel nutzt die explizite Darstellung der Quadratoberwurzel mittels der oben angegebenen Lambert-W-Funktion, da wir sie in der Form darstellen und die Quadratoberwurzel zweimal anwenden können: . ${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$${\displaystyle y^{x}=(x^{x})^{(x^{x})}}$${\displaystyle x=\mathrm {ssrt} (\mathrm {ssrt} (y^{x}))}$

Für jede ganze Zahl n > 2 ist die Funktion ⁿ x definiert und steigend für x ≥ 1 , und ⁿ 1 = 1 , so dass die n -te Superwurzel von x , , für x ≥ 1 existiert . ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Verwendet man jedoch die obige lineare Näherung , so gilt: Wenn −1 < y ≤ 0 , kann nicht existieren. ${\displaystyle ^{y}x=y+1}$${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$

Analog zur quadratischen Superwurzel kann die Terminologie für andere Superwurzeln auf den normalen Wurzeln basieren : Kubik-Superwurzeln lassen sich als ausdrücken ; die 4. Superwurzel als ; und die n -te Superwurzel als . Beachten Sie, dass nicht eindeutig definiert sein muss, da es mehrere n-te Wurzeln geben kann . ^{Beispielsweise} hat x genau eine (reelle) Superwurzel, wenn n ungerade ist , und bis zu zwei, wenn n gerade ist . ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Analog zur Erweiterung der Tetration auf unendliche Höhen lässt sich die Superwurzel auf n = ∞ fortsetzen und ist wohldefiniert, falls 1/ e ≤ x ≤ e . Beachten Sie, dass und somit . Daher ist sie wohldefiniert und, im Gegensatz zur normalen Tetration, eine elementare Funktion . Zum Beispiel . ${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$${\displaystyle y=x^{1/x}}$${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$

Aus dem Satz von Gelfond-Schneider folgt , dass die Superwurzel einer beliebigen positiven ganzen Zahl n entweder ganzzahlig oder transzendent ist und dass die Superwurzel entweder ganzzahlig oder irrational ist. ^{[ 22 ]} Es ist noch ungeklärt, ob irrationale Superwurzeln im letzteren Fall transzendent sind. ${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$

Sobald eine stetig steigende (in x ) Definition der Tetration, ^x a , gewählt ist, wird der entsprechende Superlogarithmus für alle reellen Zahlen x , und a > 1 definiert . ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}x}$${\displaystyle \log _{a}^{4}x}$

Die Funktion slog _a x erfüllt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&\geq -2\end{aligned}}}$

Abgesehen von den Problemen mit den Erweiterungen der Tetration gibt es noch einige offene Fragen zur Tetration, insbesondere wenn es um die Beziehungen zwischen Zahlensystemen wie ganzen und irrationalen Zahlen geht :

• Es ist nicht bekannt, ob es eine ganze Zahl gibt, für die nπ eine ganze Zahl ist, da wir die Anzahl der Nachkommastellen von nπ nicht genau genug berechnen konnten . [ 23 ] Ähnliches gilt für n e  , da uns außer einer direkten Berechnung keine anderen Methoden bekannt sind. Da ne = ne, gilt ne = n e . Gegeben n e = ne, gilt ne = ne = ne . Man geht davon aus, dass n e  für keine positive ganze Zahl n eine ganze Zahl ist , da n e algebraisch unabhängig ist , gemäß der Vermutung von Schanuel . [ 24 ]${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle \log _{10}(e)\cdot {}^{3}e=1656520.36764}$${\displaystyle {}^{4}e>2\cdot 10^{1656520}}$${\displaystyle {}^{3}\pi <1.35\cdot 10^{18}\ll 10^{1656520}}$${\displaystyle \pi <e^{2}}$${\displaystyle {}^{4}\pi <{}^{n}e}$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle e,{}^{2}e,{}^{3}e,\dots }$
• Es ist nicht bekannt, ob nq für eine beliebige positive ganze Zahl n und eine positive nicht-ganzzahlige rationale Zahl q rational ist . [ 22 ] Beispielsweise ist nicht bekannt, ob die positive Wurzel der Gleichung 4x = 2 eine rationale Zahl ist.
• Es ist nicht bekannt, ob e π oder π e (definiert mit der Kneser-Erweiterung) rationale Zahlen sind oder nicht.

Für jeden Graphen H mit h Knoten und jedes ε > 0 definieren wir

${\displaystyle D=2\uparrow \uparrow 5h^{4}\log(1/\varepsilon ).}$

Dann kann jeder Graph G mit n Knoten, der höchstens n ^h /D Kopien von H enthält, durch Entfernen von höchstens εn ² Kanten H -frei gemacht werden . ^{[ 25 ]}

• Ackermann-Funktion
• Big-O-Notation
• Doppelte Exponentialfunktion
• Hyperoperation
• Iterierter Logarithmus
• Symmetrische Niveau-Index-Arithmetik

• Daniel Geisler, Tetration
• William Paulsen, Tetration Calculator (Findet die Tetration zu beliebigen komplexen Höhen von neun vorausgewählten Basen.)
• Ioannis Galidakis, Über die Erweiterung von Hyper4 auf Nicht-Ganzzahlen (undatiert, 2006 oder früher) (Eine einfachere, leichter lesbare Zusammenfassung der folgenden Referenz)
• Ioannis Galidakis, Über die Erweiterung von hyper4 und Knuths Aufwärtspfeilnotation auf die reellen Zahlen (undatiert, 2006 oder früher).
• Robert Munafo, Erweiterung der Hyper4-Funktion auf die reellen Zahlen (Eine informelle Diskussion über die Erweiterung der Tetration auf die reellen Zahlen.)
• Lode Vandevenne, Tetration der Quadratwurzel aus Zwei . (2004). (Versuch, die Tetration auf reelle Zahlen auszudehnen.)
• Ioannis Galidakis, Mathematik ( Umfassende Liste von Referenzen zur Tetrationsforschung. Enthält viele Informationen zur Lambert-W-Funktion, zu Riemannschen Flächen und zur analytischen Fortsetzung.)
• Joseph MacDonell, Einige kritische Punkte der Hyperpower-Funktion. Archiviert am 17.01.2010 in der Wayback Machine .
• Dave L. Renfro, Webseiten für unendlich iterierte Exponentialfunktionen
• Knobel, R. (1981). „Exponentials Reiterated“. American Mathematical Monthly . 88 (4): 235–252 . doi : 10.1080/00029890.1981.11995239 .
• Hans Maurer, „Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen).“ Mittheilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg 4 , (1901), S. 33–50. (Verweis auf die Verwendung von aus Knobels Artikel.)${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$${\displaystyle \ {^{n}a}}$
• Die vierte Operation
• Luca Moroni, Die seltsamen Eigenschaften des unendlichen Energieturms ( https://arxiv.org/abs/1908.05559 )

• Galidakis, Ioannis; Weisstein, Eric Wolfgang . „Power Tower“ . MathWorld . Abgerufen am 05.07.2019 .