Leonard Eugene Dickson

Leonard Eugene Dickson (22. Januar 1874 – 17. Januar 1954) war ein US-amerikanischer Mathematiker . Er zählte zu den ersten amerikanischen Forschern auf dem Gebiet der abstrakten Algebra , insbesondere der Theorie endlicher Körper und klassischer Gruppen . Bekannt ist er auch für sein dreibändiges Werk zur Geschichte der Zahlentheorie , „ History of the Theory of Numbers“ . Die nach ihm benannten L. E. Dickson-Lehrstühle am Fachbereich Mathematik der Universität Chicago sind nach ihm benannt.

Dickson betrachtete sich als Texaner, da er in Cleburne aufgewachsen war , wo sein Vater als Bankier, Kaufmann und Immobilieninvestor tätig war. Er besuchte die University of Texas in Austin , wo George Bruce Halsted sein Mathematikstudium förderte. Unter Halsteds Betreuung erwarb Dickson 1893 einen Bachelor of Science (BS) und 1894 einen Master of Science (MS). Zunächst spezialisierte sich Dickson auf Halsteds eigenes Fachgebiet, die Geometrie . ^{[ 2 ]}

Sowohl die Universität Chicago als auch die Harvard-Universität hießen Dickson als Doktoranden willkommen. Dickson nahm zunächst das Angebot Harvards an, entschied sich dann aber für Chicago. 1896, im Alter von nur 22 Jahren, erhielt er als erster Absolvent Chicagos den Doktortitel in Mathematik für seine Dissertation mit dem Titel „ Die analytische Darstellung von Substitutionen auf einer Potenz einer Primzahl von Buchstaben mit einer Diskussion der linearen Gruppe“ , betreut von E. H. Moore .

Dickson studierte anschließend in Leipzig und Paris bei Sophus Lie bzw. Camille Jordan . Nach seiner Rückkehr in die USA wurde er Dozent an der University of California . 1899, im außergewöhnlich jungen Alter von 25 Jahren, wurde Dickson zum außerordentlichen Professor an der University of Texas ernannt. Chicago konterte 1900 mit einem Angebot für ihn, und er verbrachte den Rest seiner Karriere dort. In Chicago betreute er 53 Doktorarbeiten; sein wohl bedeutendster Doktorand war A. A. Albert . 1914, 1918 und 1922 war er Gastprofessor an der University of California. 1939 kehrte er nach Texas zurück, um in den Ruhestand zu treten.

Dickson heiratete 1902 Susan McLeod Davis; sie hatten zwei Kinder, Campbell und Eleanor.

Dickson wurde 1913 in die National Academy of Sciences gewählt und war außerdem Mitglied der American Philosophical Society, der American Academy of Arts and Sciences , der London Mathematical Society , der Französischen Akademie der Wissenschaften und der Union Tschechischer Mathematiker und Physiker. Er war der erste Preisträger eines 1924 von der American Association for the Advancement of Science gestifteten Preises für seine Arbeiten zur Arithmetik von Algebren. Harvard (1936) und Princeton (1941) verliehen ihm die Ehrendoktorwürde.

Dickson war von 1917 bis 1918 Präsident der American Mathematical Society . In seiner Antrittsrede im Dezember 1918 mit dem Titel „Mathematik in der Kriegsperspektive“ kritisierte er die amerikanische Mathematik dafür, dass sie hinter derjenigen Großbritanniens, Frankreichs und Deutschlands zurückblieb:

„Es darf nicht wieder vorkommen, dass Tausende junger Männer in ihrer Tätigkeit bei Heer und Marine durch mangelnde mathematische Vorbereitung so schwerwiegend benachteiligt werden.“

Im Jahr 1928 war er auch der erste Empfänger des Cole-Preises für Algebra, der jährlich von der AMS verliehen wird, für sein Buch Algebren und ihre Zahlentheorie .

Dickson scheint ein harter Mann gewesen zu sein:

Dickson war ein harter Kerl, der seine Meinung gern unverblümt äußerte; er sparte stets mit Lob für die Arbeit anderer. ... Er frönte seinen großen Leidenschaften für Bridge und Billard und verlor angeblich in keinem der beiden Spiele gern. ^{[ 3 ]}

„Seine Vorlesungen waren knapp und ungeschliffen, und er sprach streng mit seinen Studenten. … Angesichts Dicksons Intoleranz gegenüber Schwächen der Studenten in Mathematik konnten seine Kommentare jedoch hart ausfallen, auch wenn sie nicht persönlich gemeint waren. Es ging ihm nicht darum, dass sich die Studenten gut fühlten.“ ^{[ 4 ]}

„Dickson hatte eine Art Schnellverfahren für seine angehenden Doktoranden: Er stellte ihnen eine vorbereitende Aufgabe, die kürzer war als eine Dissertationsaufgabe, und wenn der Student sie innerhalb von drei Monaten lösen konnte, erklärte sich Dickson bereit, die Arbeit des Doktoranden zu betreuen. Andernfalls musste sich der Student einen anderen Betreuer suchen.“ ^{[ 4 ]}

Dickson prägte die amerikanische Mathematik, insbesondere die abstrakte Algebra, maßgeblich . Sein mathematisches Werk umfasst 18 Bücher und über 250 Aufsätze. Die gesammelten mathematischen Arbeiten von Leonard Eugene Dickson füllen sechs umfangreiche Bände.

1901 veröffentlichte Dickson sein erstes Buch „Lineare Gruppen mit einer Darstellung der Galois-Feldtheorie“ , eine Überarbeitung und Erweiterung seiner Dissertation. Teubner in Leipzig gab das Buch heraus, da es zu dieser Zeit keinen etablierten amerikanischen Wissenschaftsverlag gab. Dickson hatte in den fünf Jahren zuvor bereits 43 Forschungsarbeiten veröffentlicht; alle bis auf sieben befassten sich mit endlichen linearen Gruppen . Parshall (1991) beschrieb das Buch wie folgt:

„Dickson präsentierte eine einheitliche, vollständige und allgemeine Theorie der klassischen linearen Gruppen – nicht nur über dem Primkörper GF( p ), wie Jordan es getan hatte –, sondern über dem allgemeinen endlichen Körper GF( pⁿ ⁾ , und er tat dies vor dem Hintergrund einer gut entwickelten Theorie dieser zugrundeliegenden Körper . … Sein Buch stellte die erste systematische Behandlung endlicher Körper in der mathematischen Literatur dar.“

Ein Anhang dieses Buches listet die damals bekannten nicht-abelschen einfachen Gruppen mit einer Ordnung von weniger als einer Milliarde auf. Er führte 53 der 56 Gruppen mit einer Ordnung von weniger als einer Million auf. Die verbleibenden drei wurden 1960, 1965 und 1967 entdeckt.

Dickson beschäftigte sich mit endlichen Körpern und erweiterte die von Joseph Wedderburn und Cartan begründete Theorie der linearen assoziativen Algebren .

Er begann mit dem Studium der modularen Invarianten einer Gruppe .

1905 veröffentlichte Wedderburn, damals als Stipendiat der Carnegie Foundation in Chicago, eine Arbeit mit drei angeblichen Beweisen für einen Satz, der besagt, dass alle endlichen Divisionsalgebren kommutativ sind – heute bekannt als Satz von Wedderburn . Die Beweise nutzten geschickt das Zusammenspiel zwischen der additiven Gruppe einer endlichen Divisionsalgebra A und der multiplikativen Gruppe A * =  A  − {0}. Karen Parshall bemerkte, dass der erste dieser drei Beweise eine damals unbemerkte Lücke aufwies. Auch Dickson fand einen Beweis für dieses Ergebnis, hielt aber Wedderburns ersten Beweis für korrekt und erkannte daher dessen Priorität an. Dickson merkte jedoch auch an, dass Wedderburn seinen zweiten und dritten Beweis erst nach Kenntnis ihres Beweises konstruiert hatte. Sie schlussfolgerte, dass Dickson die Anerkennung für den ersten korrekten Beweis gebühre. ^{[ 5 ]}

Dicksons Suche nach einem Gegenbeispiel zu Wedderburns Theorem veranlasste ihn, nichtassoziative Algebren zu untersuchen , und in einer Reihe von Arbeiten fand er alle möglichen drei- und vierdimensionalen (nichtassoziativen) Divisionsalgebren über einem Körper .

Im Jahr 1919 konstruierte Dickson Cayley-Zahlen durch einen Verdopplungsprozess, ausgehend von Quaternionen . ^{[ 6 ]} Seine Methode wurde 1922 von AA Albert auf eine Verdopplung von erweitert , um zu erzeugen , und von , um zu erzeugen , und das Verfahren ist heute als Cayley-Dickson-Konstruktion von Kompositionsalgebren bekannt . ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Dickson bewies viele interessante Ergebnisse in der Zahlentheorie , indem er Resultate von Vinogradov nutzte, um im Rahmen seiner Untersuchungen zur additiven Zahlentheorie den idealen Waring-Satz herzuleiten . Er bewies das Waring-Problem für n unter der weiteren Bedingung, dass … ${\displaystyle k\geq 7}$

${\displaystyle (3^{k}+1)/(2^{k}-1)\leq [1.5^{k}]+1}$

unabhängig von Subbayya Sivasankaranarayana Pillai, der es als vor ihm bewiesen hat. ^{[ 7 ]}${\displaystyle k\geq 6}$

Die dreibändige „ Geschichte der Zahlentheorie“ (1919–23) wird auch heute noch häufig konsultiert und behandelt Teilbarkeit und Primzahlen, diophantische Analysis sowie quadratische und höhere Zahlenformen. Das Werk enthält wenig Interpretation und verzichtet auf jegliche Kontextualisierung der beschriebenen Ergebnisse. Dennoch umfasst es im Wesentlichen alle bedeutenden zahlentheoretischen Ideen von den Anfängen der Mathematik bis in die 1920er-Jahre, mit Ausnahme der quadratischen und höheren Reziprozitätsgesetze. Ein geplanter vierter Band zu diesen Themen wurde nie verfasst. A. A. Albert bemerkte, dass dieses dreibändige Werk „für einen gewöhnlichen Menschen ein Lebenswerk allein wäre“.

• Dickson, Leonard Eugene (2003) [1901], Magnus, Wilhelm (Hrsg.), Lineare Gruppen: Mit einer Darstellung der Galois-Feldtheorie , Dover Phoenix Editions, New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49548-4, MR  0104735^{[ 8 ] [ 9 ]} ( online hathitrust . BG Teubner's Sammlung von Lehrbüchern auf den Gebieten der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Bd. VI. BG Teubner. 1901.)
• Dickson, Leonard Eugene (1903) [1903], Einführung in die Theorie algebraischer Gleichungen , New York: John Wiley & Sons^{[ 10 ]} ( online hathitrust . J. Wiley & Sons. 1903.)
• Dickson, Leonard Eugene (2010) [1914], Lineare Algebren , Nachdruck der Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Nr. 16, Naub Press, ISBN 978-1-178-36805-5, MR  0118745^{[ 11 ]}
• Dickson, Leonard Eugene (2010) [1914], Algebraische Invarianten , Cornell University Library, ISBN 978-1-4297-0042-9^{[ 12 ]}
• Dickson, Leonard Eugene (2004) [1914], Über Invarianten und die Theorie der Zahlen , Dover Phoenix Editions, New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43828-3, MR  0201389^{[ 13 ]}
• Dickson, Leonard Eugene (2009) [1914], Elementare Gleichungstheorie , Cornell University Library, ISBN 978-1-112-27988-1
• Dickson, Leonard Eugene (2005) [1919], Geschichte der Zahlentheorie. Band I: Teilbarkeit und Primzahlen. New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-44232-7, MR  0245499^{[ 14 ]}
• Dickson, Leonard Eugene (2005) [1920], History of the theory of numbers. Vol. II: Diophantine analysis, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4, MR 0245500^[15]
• Dickson, Leonard Eugene (2005) [1923], History of the theory of numbers. Vol. III: Quadratic and higher forms, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-44234-1, MR 0245501
• Dickson, Leonard Eugene (2009) [1922], First course in the theory of equations, University of Michigan Library
• Dickson, Leonard Eugene (1960) [1923], Algebras and their arithmetics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60616-3, MR 0111764{{citation}}:ISBN-/Datumsinkompatibilität ( Hilfe )^[16]
• 1926. Modern algebraic theories^[17]
• 1923, 1928. Algebraic Numbers. Report with others for U. S. National Research Council.
• 1929. Introduction to the Theory of Numbers^[18]
• 1930. Studies in the Theory of Numbers^[19]
• 1935. (with G. A. Bliss) "Biographical Memoir of Eliakim Hastings Moore 1862–1932."
• 1935. Researches on Waring's problem
• 1938. (with Hans Frederick Blichfeldt and George Abram Miller) Theory and Applications of Finite Groups
• 1938. Algebras And Their Arithmetics (1st edn. in 1923)
• 1939. Modern Elementary Theory of Numbers
• 1939. New First Course in the Theory of Equations
• Plane Trigonometry With Practical Applications
• Dickson, Leonard Eugene (1975), Albert, A. Adrian (ed.), The collected mathematical papers of Leonard Eugene Dickson, vol. I–VI, New York: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8284-0273-6, MR 0749229MR 0441665

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Leonard Eugene Dickson", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews
• Leonard Eugene Dickson at the Mathematics Genealogy Project
• Works by Leonard Eugene Dickson at Project Gutenberg
• Works by or about Leonard Eugene Dickson at the Internet Archive