Liniengruppe

Eine Geradengruppe ist eine mathematische Methode zur Beschreibung von Symmetrien, die mit der Bewegung entlang einer Geraden verbunden sind. Diese Symmetrien können beispielsweise die Wiederholung entlang dieser Geraden umfassen, wodurch die Gerade zu einem eindimensionalen Gitter wird. Die meisten Geradengruppen sind jedoch mehrdimensional und beziehen diese Dimensionen in ihre Isometrien oder Symmetrietransformationen ein.

Man konstruiert eine Geradengruppe, indem man eine Punktgruppe in ihren vollen Raumdimensionen nimmt und jedem Element der Punktgruppe Verschiebungen (manchmal mit einer Drehung) entlang der Geraden hinzufügt, analog zur Konstruktion einer Raumgruppe . Obwohl eine Punktgruppe definitionsgemäß mindestens einen stationären Punkt enthält, gilt dies aufgrund der Verschiebungen nicht notwendigerweise für eine Geradengruppe.

Eindimensional

Es gibt 2 eindimensionale Geradengruppen . Sie sind die unendlichen Grenzwerte der diskreten zweidimensionalen Punktgruppen C _n und D _n :

Notationen				Beschreibung	Beispiel
International	Orbifold	Coxeter	FSK 0	Beschreibung	Beispiel
p1	∞∞	[∞] ⁺	C _∞	Übersetzungen. Abstrakte Gruppe Z, die ganzen Zahlen bezüglich der Addition	... --> --> --> --> ...
p1m	*∞∞	[∞]	D _∞	Spiegelungen. Abstrakte Gruppe Dih _∞ , die unendliche Diedergruppe	... --> <-- --> <-- ...

Zweidimensional

Es gibt 7 Friesgruppen , die Spiegelungen entlang der Linie, Spiegelungen senkrecht zur Linie und 180°-Drehungen in den beiden Dimensionen beinhalten.

7 Friesgruppenbezeichnungen und Diagramm
IUC	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter
p1	∞∞	C _∞	C _∞	[∞,1] ⁺
p1m1	*∞∞	C _∞v	CD _2∞	[∞,1]
p11g	∞x	S _2∞	CC _2∞	[∞ ⁺ ,2 ⁺ ]
p11m	∞*	C _∞h	±C _∞	[∞ ⁺ ,2]
p2	22∞	D _∞	D _2∞	[∞,2] ⁺
p2mg	2*∞	D _∞d	DD _4∞	[∞,2 ⁺ ]
p2mm	*22∞	D _∞h	±D _2∞	[∞,2]

Dreidimensional

Es gibt 13 unendliche Familien dreidimensionaler Liniengruppen ^{[ 1 ]} , die von den 7 unendlichen Familien axialer dreidimensionaler Punktgruppen abgeleitet sind . Wie bei Raumgruppen im Allgemeinen können Liniengruppen mit derselben Punktgruppe unterschiedliche Verschiebungsmuster (zwei oder sogar drei) aufweisen, wodurch Liniengruppen in verschiedenen Familien entstehen. Jede dieser Familien basiert auf einer Gruppe von Drehungen um die Achse der Ordnung n , wobei n eine beliebige positive ganze Zahl einschließlich 1 sein kann. Wie bereits erwähnt, gibt es nicht notwendigerweise einen Punkt, auf den die Punktgruppe anwendbar ist. Beispielsweise existiert in der Liniengruppe P21 / _m , die zur Punktgruppe C2h (in der HM-Notation 2/m genannt) gehört _, kein Punkt mit C2h _- Symmetrie, da die zweizählige Drehung in eine Schraubenverschiebung umgewandelt wird.

Die Gruppen sind in Hermann-Mauguin-Notation und die Punktgruppen in Schönflies-Notation angegeben . Für die Liniengruppen scheint keine vergleichbare Notation zu existieren. Diese Gruppen lassen sich auch als Muster von Tapetengruppen ^{[ 2 ]} interpretieren, die n- mal um einen Zylinder gewickelt sind und sich entlang dessen Achse unendlich wiederholen, ähnlich wie die dreidimensionalen Punktgruppen und die Friesgruppen. Eine Tabelle dieser Gruppen:

Punktgruppe					Liniengruppe
HM		Schönf.	Orb.	Cox.	HM		Offset-Typ	Tapete			Coxeter [∞ _h ,2,p _v ]
Sogar n	Ungerade n	Schönf.	Orb.	Cox.	Sogar n	Ungerade n	Offset-Typ	IUC	Orbifold	Diagramm	Coxeter [∞ _h ,2,p _v ]
N		C _n	nn	[n] ⁺	P n _q		Spiralig: q	p1	O		[∞ ⁺ ,2,n ⁺ ]
2 n	N	S _{2 n}	n×	[2 ⁺ ,2n ⁺ ]	P 2 n	P n	Keiner	p11g, pg(h)	××		[(∞,2) ⁺ ,2n ⁺ ]
n /m	2 n	C _{n h}	N*	[2,n ⁺ ]	P n /m	P 2 n	Keiner	p11m, pm(h)	**		[∞ ⁺ ,2,n]
2 n /m		C _{2 n h}	(2n)*	[2,2n ⁺ ]	P2 n _n /m		Zickzack	c11m, cm(h)	*×		[∞ ⁺ ,2 ⁺ ,2n]
n mm	n m	C _{n v}	*nn	[N]	P n mm	P n m	Keiner	p1m1, pm(v)	**		[∞,2,n ⁺ ]
n mm	n m	C _{n v}	*nn	[N]	P n cc	P n c	Keiner	p1g1, pg(v)	××		[∞ ⁺ ,(2,n) ⁺ ]
2 n mm		C _{2 n v}	*(2n)(2n)	[2n]	P2 n _n mc		Zickzack	c1m1, cm(v)	*×		[∞,2 ⁺ ,2n ⁺ ]
n 22	n 2	D _n	n22	[2,n] ⁺	P n _q 22	P n _q 2	Spiralig: q	p2	2222		[∞,2,n] ⁺
2 n 2m	n m	D _{n d}	2*n	[2 ⁺ ,2n]	P 2 n 2m	P n m	Keiner	p2gm, pmg(v)	22*		[(∞,2) ⁺ ,2n]
2 n 2m	n m	D _{n d}	2*n	[2 ⁺ ,2n]	P 2 n 2c	P n c	Keiner	p2gg, pgg	22×		[ ⁺ (∞,(2),2n) ⁺ ]
n /mmm	2 n 2m	D _{n h}	*n22	[2,n]	P n /mmm	P 2 n 2m	Keiner	p2mm, pmm	*2222		[∞,2,n]
n /mmm	2 n 2m	D _{n h}	*n22	[2,n]	P n /mcc	P 2 n 2c	Keiner	p2mg, pmg(h)	22*		[∞,(2,n) ⁺ ]
2 n /mmm		D _{2 n h}	*(2n)22	[2,2n]	P2 n _n /mcm		Zickzack	c2mm, cmm	2*22		[∞,2 ⁺ ,2n]

Die Offset-Typen sind:

Keine. Versätze entlang der Achse umfassen keine Versätze um die Achse herum bis innerhalb der Wiederholungen der Einheitszelle um die Achse.
Helikaler Versatz mit Helizität q . Bei einem Versatz von 1 entlang der Achse ergibt sich ein Versatz von q um diesen Punkt herum. Ein Punkt mit wiederholten Versätzen beschreibt eine Helix.
Zickzack-Versatz. Spiralversatz von 1/2 relativ zur Einheitszelle um die Achse.

Beachten Sie, dass die Tapetengruppen pm, pg, cm und pmg zweimal vorkommen. Jede dieser Darstellungen weist eine andere Orientierung relativ zur Liniengruppenachse auf: spiegelparallel (h) oder senkrecht (v). Die anderen Gruppen p1, p2, pmm, pgg und cmm weisen keine solche Orientierung auf.

Wenn die Punktgruppe auf eine kristallographische Punktgruppe , also eine Symmetrie eines dreidimensionalen Gitters, beschränkt ist, dann wird die resultierende Liniengruppe als Stabgruppe bezeichnet . Es gibt 75 Stabgruppen.

Die Coxeter-Notation basiert auf den rechteckigen Tapetengruppen, wobei die vertikale Achse in einen Zylinder der Symmetrieordnung n oder 2n eingewickelt ist .

Im Kontinuumslimes , mit n gegen ∞, werden die möglichen Punktgruppen zu C _∞ , C _∞h , C _∞v , D _∞ und D _∞h , und die Liniengruppen haben die entsprechenden möglichen Versätze, mit Ausnahme der Zickzack-Gruppe.

Helikale Symmetrie

Die Gruppen C _n ( q ) und D _n ( q ) (basierend auf den Punktgruppen C _n und D _n ) beschreiben die Symmetrien von Helixstrukturen. C _n ( q ) beschreibt n gleichgerichtete Helices, während D _n ( q ) n nicht-gerichtete Helices oder n Helixpaare mit alternierender Orientierung beschreibt. Durch Umkehrung des Vorzeichens von q entsteht ein Spiegelbild, wodurch sich die Chiralität bzw. Händigkeit der Helices umkehrt.

Nukleinsäuren ( DNA und RNA ) sind für ihre helikale Symmetrie bekannt. Einzelstränge von Nukleinsäuren haben eine klar definierte Richtung und die Liniengruppe C₁ ₍ q ) , wenn man die Identität der Nukleinbasen außer Acht lässt. Berücksichtigt man die Basen, muss der Strang aus einer sich wiederholenden Basensequenz bestehen, um diese Symmetrie aufzuweisen. Doppelsträngige Nukleinsäuren bestehen aus zwei Strängen mit entgegengesetzter Richtung, die jedoch nicht auf gegenüberliegenden Seiten der Helixachse liegen, da die Liniengruppe D₁(q) (wenn man die Basen außer Acht lässt) und nicht D₂(q) ist _. Berücksichtigt man die _Basen , muss der Strang aus sich wiederholenden Abschnitten wie „TA“ oder „TACTAGTA“ bestehen, die aus zwei komplementären Hälften mit umgekehrter Basenreihenfolge zusammengesetzt sind. Es gibt drei DNA-Formen mit unterschiedlichen Details, aber derselben Liniengruppe.

Mikrotubuli bestehen aus helikalen Ketten alternierender α-Tubulin- und β-Tubulin-Einheiten, den sogenannten Protofilamenten. Normalerweise winden sich dreizehn solcher Ketten um eine gemeinsame Achse, berühren sich dabei und führen von einem Dimer in einem Protofilament zum Dimer im nächsten usw. zurück zum ersten Protofilament. Die Liniengruppe ist C1 ₍ q ) . Ein Dimer aus α-Tubulin und β-Tubulin kann durch eine Rotation um etwa 4/13 von 360° und eine Verschiebung entlang der Achse so bewegt werden, dass es mit der Position eines anderen solchen Dimers übereinstimmt. Diese Operation erzeugt die Gruppe. Drei Wiederholungen dieses erzeugenden Elements erreichen das benachbarte Dimer im nächsten Protofilament, und 13 Wiederholungen erreichen das nächste Dimer im ursprünglichen Protofilament.

Ein weiteres Beispiel mit der Liniengruppe C ₁ ( q ) sind die stäbchenförmigen Strukturen, die in vielen Viren vorkommen. So besitzt beispielsweise das Tabakmosaikvirus eine Proteinhelix, die die RNA umgibt. Das erzeugende Element kombiniert eine Rotation von etwa 1/17 von 360° mit einer kleinen Verschiebung in Richtung der Achse.

Siehe auch

Referenzen

^ Damnjanovic, Milan; Milosevic, Ivanka (2010), „Liniengruppenstruktur“ , Liniengruppen in der Physik , Lecture Notes in Physics, Band 801, Springer, S. 7–27 , doi : 10.1007/978-3-642-11172-3_2 , ISBN 978-3-642-11171-6
^ Rassat, André (1996), „Symmetrie in Spheroalcanen, Fullerenen, Tubuli und anderen säulenartigen Aggregaten“, in: Tsoucaris, Georges; Atwood, JL; Lipkowski, Janusz (Hrsg.), Kristallographie supramolekularer Verbindungen , NATO Science Series C: (geschlossen), Bd. 480, Springer, S. 181–201 , ISBN 978-0-7923-4051-5(books.google.com [1] )

[1] Damnjanovic, Milan; Milosevic, Ivanka (2010), „Liniengruppenstruktur“ , Liniengruppen in der Physik , Lecture Notes in Physics, Band 801, Springer, S. 7–27 , doi : 10.1007/978-3-642-11172-3_2 , ISBN 978-3-642-11171-6

[2] Rassat, André (1996), „Symmetrie in Spheroalcanen, Fullerenen, Tubuli und anderen säulenartigen Aggregaten“, in: Tsoucaris, Georges; Atwood, JL; Lipkowski, Janusz (Hrsg.), Kristallographie supramolekularer Verbindungen , NATO Science Series C: (geschlossen), Bd. 480, Springer, S. 181–201 , ISBN 978-0-7923-4051-5(books.google.com [1] )

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