Liste der festgelegten Klassen

Dies ist eine Liste von Tonklassen , sortiert nach ihrer Forte-Zahl . ^{[ 1 ]} In der Musiktheorie ist eine Tonklasse (Abkürzung für Tonklassen-Mengenklasse ) eine aufsteigende Sammlung von Tonklassen , die bei Null beginnt. Eine Liste geordneter Sammlungen finden Sie in dieser Liste der Tonreihen und -reihen .

Mengen werden mit Links zu ihren Komplementen aufgelistet . Bei asymmetrischen Mengen ist die Primform mit „A“ und die Inversion mit „B“ gekennzeichnet; Mengen ohne diese Kennzeichnungen sind symmetrisch . Mengen mit der Kennzeichnung „Z“ bezeichnen ein Paar verschiedener Mengenklassen mit identischem Intervallklasseninhalt, die nicht durch Inversion miteinander verbunden sind. Jeweils eine Menge jedes Paares wird am Ende der entsprechenden Liste aufgeführt. („Z“ leitet sich vom Präfix zygo- ab , vom altgriechischen ζυγόν , „Joch“. Daher: Zygomengen.) „T“ und „E“ werden üblicherweise in Mengen verwendet, um zehn bzw. elf als einzelne Zeichen zu notieren. Da der Intervallklassenvektor einer gegebenen Menge unabhängig von der betrachteten Version (zyklische Permutation) ist, basiert die Reihenfolge der Mengen in der Liste (mit Ausnahme der Z-bezogenen Mengen, wie unten erläutert) für jede Kardinalität auf der Ziffernfolge im Intervallklassenvektor, die als absteigende ganze Zahl behandelt wird, gemäß der Strategie, die Forte beim Aufbau seines Zahlensystems verwendete.

Es gibt zwei leicht unterschiedliche Methoden zur Bestimmung der Primform – eine frühere von Allen Forte und eine spätere, heute aber gebräuchlichere von John Rahn –, die beide oft fälschlicherweise als „am weitesten links gepackt“ beschrieben werden. Eine präzisere Beschreibung der Rahn-Schreibweise ist jedoch, die am weitesten rechts liegende Form auszuwählen, während die Forte-Schreibweise die am weitesten links liegende Form innerhalb der kleinsten Spanne auswählt. ^{[ a ]} In den hier aufgeführten Listen wird die Rahn-Schreibweise für die 17 von 352 Mengenklassen verwendet, in denen die beiden Methoden zu unterschiedlichen Ergebnissen führen; die alternativen Forte-Schreibweisen sind in den Fußnoten aufgeführt. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Vorher (1960–67) hatte Elliott Carter jedoch eine nummerierte Liste von Tonklassensätzen, oder „Akkorden“, wie Carter sie nannte, für den Eigengebrauch erstellt. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Donald Martino hatte in seinem 1961 erschienenen Artikel „The Source Set and its Aggregate Formations“ Tabellen von Hexachorden , Tetrachorden , Trichorden und Pentachorden für die Kombinatorik erstellt . ^{[ 7 ]}

Howard Hansons Buch „Harmonic Materials of Modern Music“ erschien 1960 und war damit der mengentheoretischen Terminologie voraus. Hanson analysierte alle Klangfarben, die innerhalb der temperierten Tonleiter in Notenschrift – einschließlich benachbarter Intervalle – organisch, hauptsächlich durch Projektion, Umkehrung und Komplementierung, entstehen. Er katalogisierte sie mithilfe eines alphabetischen Systems, das die Intervalle (bis maximal Tritonus) jeder Klangfarbe angibt: p (reine Quarte), m (große Terz), n (kleine Terz), s (große Sekunde), d (kleine Sekunde) und t (Tritonus), wobei hochgestellte Zahlen die Vielfachheit angeben. Beispielsweise würde Fortes Tonfolge 6-33 nach Hansons System wie folgt katalogisiert: p ⁴ m ² n ³ s ⁴ dt, entsprechend dem Intervallklassenvektor ⟨ 1,4,3,2,4,1 ⟩ .

Die Differenz zwischen dem Intervallklassenvektor einer Menge und dem ihres Komplements ist gegeben durch ⟨ X, X, X, X, X, X/2 ⟩ , wobei (im Dezimalsystem) X = 12 – 2C gilt und C die Kardinalität der kleineren Menge ist. In fast allen Fällen sind Komplemente asymmetrischer Mengen durch Inversion miteinander verbunden – das heißt, das Komplement einer „A“-Version einer Menge der Kardinalität C ist (üblicherweise) die „B“-Version der entsprechenden komplementären Menge der Kardinalität 12 – C. Die wichtigsten Ausnahmen bilden die Mengen 4-14/8-14, 5-11/7-11 und 6-14, die alle eng durch ihre Teilmengen-/Obermengenstruktur miteinander verwandt sind. Beispielsweise ist 5-11 eine Teilmenge von 6-14 und 4-14 eine Teilmenge von 5-11. Analog dazu ist die Menge 7-11 eine Obermenge von 6-14 und 8-14 eine Obermenge von 7-11. Die Menge 6-14 ist insofern einzigartig, als sie die einzige asymmetrische Hexade ist, deren Komplement mit dem Original und nicht mit dessen Inversen übereinstimmt.

Allen Fortes eigene Nummerierungsregel wird üblicherweise angewendet, um zu bestimmen, welche Zygote in der Hauptliste erscheint und welche am Ende (mit einer deutlich höheren Indexnummer) hinzugefügt wird; anders ausgedrückt: Die Zygote mit der niedrigeren Nummer hat eine gleiche oder geringere minimale Spannweite. Beispielsweise hat die erste der Intervall-Tetraden 4-Z15 und 4-Z29 eine minimale Spannweite von 6 Halbtönen, die zweite von 7 Halbtönen. Die Mengen 5-Z17 und 5-Z37 haben beide eine minimale Spannweite von 8 Halbtönen, wobei die erste stärker links gepackt ist; benachbarte Intervalle sind 1-2-1-4-4 gegenüber 3-1-1-3-4.

Bei den Heptaden weisen zygotische Paare mit höheren Nummern jedoch eine geringere minimale Spannweite auf. Für jedes der Paare 7-Z12 vs. 7-Z36, 7-Z17 vs. 7-Z37 und 7-Z18 vs. 7-Z38 beträgt die minimale Spannweite des ersten Elements 9 Halbtöne und die des zweiten Elements 8 Halbtöne. Offensichtlich wurden ihnen Indexnummern entsprechend ihren Pentadenkomplementen zugewiesen, anstatt der allgemeinen Regel zu folgen.

Darüber hinaus gibt es eine echte Anomalie in der Reihenfolge der Hexaden, die eindeutig auf einen Fehler von Forte zurückzuführen ist: Mengen 6-Z28 versus 6-Z49. Ihre minimale Spannweite ist gleich ( 9 ) , aber ihre Nachbarschaftsintervalle sind 1-2-2-1-3-3 versus 1-2-1-3-2-3 . Nach Fortes eigener Regel ist diese Reihenfolge falsch – die Menge [0 ₁ 1 ₂ 3 ₁ 4 ₃ 7 ₂ 9 ₃ ] ist links dichter gedrängt (innerhalb desselben Bereichs) und hätte die niedrigere Nummer, also 6-Z28, erhalten müssen, während [0 ₁ 1 ₂ 3 ₂ 5 ₁ 6 ₃ 9 ₃ ] die höhere Nummer 6-Z49 erhalten sollte. Dies lässt sich auf einen Blick erkennen, indem man die jeweiligen Adjazenzintervalle vergleicht, die als Indizes zwischen benachbarten pc-Werten anstatt durch (informationslose) Kommas angegeben sind. Man beachte jedoch (ebenfalls anhand der Adjazenzintervalle), dass 6-Z28 deutlich weiter rechts liegt als 6-Z49, was 6-Z28 gemäß Rahns Primformregel Vorrang einräumt. Um Verwirrung zu vermeiden, wird hier für beide Mengen das ursprüngliche Nummerierungssystem von Forte beibehalten.

• Intervallvektor
• Liste der Akkorde
• Z-Beziehung

• Tonhöhenklassenrechner der Mount Allison University
• Akkordanalysator auf Lamadeguido.com

Online-Listen

• Solomon, Larry (2005). " Die Tabelle der Tonhöhenklassen ", SolomonsMusic.net .
• Tucker, Gary (2001). " Tabelle der pc-Set-Klassen ", Eine kurze Einführung in die Tonhöhenklassenanalyse .
• Nelson, Paul (2004). " Tabelle der Primformen ", ComposerTools.com .