In der diatonischen Mengenlehre ist die Rothenbergsche Korrektheit ein wichtiges Konzept, das die Abwesenheit von Widersprüchen und Mehrdeutigkeiten in der allgemeinen Theorie der musikalischen Skalen beschreibt und von David Rothenberg in einer bahnbrechenden Reihe von Aufsätzen im Jahr 1978 eingeführt wurde. Das Konzept wurde unabhängig davon in einem engeren Kontext von Gerald Balzano entdeckt , der es Kohärenz nannte .
Rothenberg nennt eine Tonleiter „streng korrekt“, wenn sie eine generische Ordnung besitzt, „korrekt“, wenn sie Mehrdeutigkeiten, aber keine Widersprüche zulässt, und „unkorrekt“, wenn sie Widersprüche zulässt. [ 1 ] Eine Tonleiter ist streng korrekt, wenn alle Zweitonschritte größer sind als jeder Eintonschritt, alle Dreitonschritte größer sind als jeder Zweitonschritt usw. Bei der diatonischen Tonleiter sind beispielsweise die Eintonschritte der Halbton (1) und der Ganzton (2), die Zweitonschritte die kleine (3) und die große (4) Terz, die Dreitonschritte die Quarte (5) und der Tritonus (6), die Viertonschritte die Quinte (7) und der Tritonus (6), die Fünftonschritte die kleine (8) und die große (9) Sexte und die Sechstonschritte die kleine (t) und die große (e) Septime. Streng genommen ist sie nicht korrekt, da die Drei- und Viertonschritte die gleiche Intervallgröße (den Tritonus) aufweisen, was zu Mehrdeutigkeiten führt („zwei [spezifische] Intervalle, die gleich klingen, werden unterschiedlichen Codes [allgemeinen Intervallen] zugeordnet“ [ 2 ] ). Eine solche Tonleiter wird dennoch als „korrekt“ bezeichnet.
Zum Beispiel ist die Dur- Pentatonik streng genommen korrekt:
| 1 | C | 2 | D | 2 | E | 3 | G | 2 | A | 3 | C | |
| 2 | C | 4 | E | 5 | A | 5 | D | 5 | G | 5 | C | |
| 3 | C | 7 | G | 7 | D | 7 | A | 7 | E | 8 | C | |
| 4 | C | 9 | A | T | G | 9 | E | T | D | T | C |
Die folgenden pentatonischen Tonleitern sind korrekt, aber nicht streng genommen: [ 2 ]
- {0,1,4,6,8}
- {0,2,4,6,8} ( Ganztonleiter )
- {0,1,4,6,9} ( Gamma-Akkord )
- {0,2,4,6,9} ( Dominantnonenakkord )
- {0,1,3,6,9} ( Dominanter Moll-Nonenakkord )
Die einzig streng korrekte pentatonische Tonleiter:
- {0,2,4,7,9} (Dur-Pentatonik)
Die heptatonischen Skalen, die zwar korrekt, aber nicht streng genommen korrekt sind, sind: [ 2 ]
- {0,1,3,4,6,8,9} ( harmonische Molltonleiter )
- {0,1,3,5,6,8,t} ( diatonische Tonleiter )
- {0,1,3,4,6,8,t} ( Veränderte Skala )
- {0,1,2,4,6,8,t} ( Neapolitanische Dur-Tonleiter )
Angemessenheit kann auch als Skalen betrachtet werden, deren Stabilität = 1 ist, wobei Stabilität definiert ist als „das Verhältnis der Anzahl eindeutiger ungerichteter Intervalle zur Gesamtzahl der ungerichteten Intervalle“, in welchem Fall die diatonische Skala eine Stabilität von 20 ⁄ 21 aufweist . [ 2 ]
Die zwölfstufige gleichstufige Tonleiter ist streng rein , ebenso wie jede gleichstufige Tonleiter, da sie für jede Anzahl von Schritten nur eine Intervallgröße aufweist. Die meisten temperierten Tonleitern sind ebenfalls rein. Ein weiteres Beispiel: Das atonale harmonische Fragment 5/4 , 6/4 , 7/4 , 8/4 ist streng rein , wobei die Ein-Schritt-Intervalle von 8/7 bis 5/4 , die Zwei - Schritt - Intervalle von 4/3 bis 3/2 und die Drei - Schritt - Intervalle von 8/5 bis 7/4 variieren .
Rothenberg postuliert, dass korrekte Maßstäbe einen Bezugspunkt oder -rahmen bieten, der die Wahrnehmung unterstützt („stabile Gestalt “), und dass Widersprüche in inkorrekten Maßstäben ein Bordun oder Ostinato erfordern , um einen Bezugspunkt zu liefern. [ 3 ]
Ein Beispiel für eine unzulässige Skala ist die japanische Hirajōshi-Skala .
| 1 | C | 2 | D | 1 | Es | 4 | G | 1 | A ♭ | 4 | C | ||
| 2 | C | 3 | Es | 5 | A ♭ | 6 | D | 5 | G | 5 | C | ||
| 3 | C | 7 | G | 7 | D | 6 | A ♭ | 7 | Es | 9 | C | ||
| 4 | C | 8 | A ♭ | e | G | 8 | Es | e | D | T | C |
Die Schritte in Halbtonschritten sind 2, 1, 4, 1, 4. Die Einzelschritte reichen vom Halbtonschritt von G nach As bis zur großen Terz von As nach C. Die Zweischrittintervalle reichen von der kleinen Terz von C nach Es bis zum Tritonus von As nach D. Dabei ist die kleine Terz als Zweischrittintervall kleiner als die große Terz als Einschrittintervall, was einen Widerspruch erzeugt („Ein Widerspruch entsteht, wenn die Reihenfolge zweier spezifischer Intervalle der Reihenfolge ihrer entsprechenden generischen Intervalle entgegengesetzt ist.“ [ 2 ] ).
Mathematische Definition von Anstand
Rothenberg definierte Angemessenheit in einem sehr allgemeinen Kontext; für fast alle Zwecke genügt es jedoch, das zu betrachten, was im musikalischen Kontext oft als periodische Tonleiter bezeichnet wird , obwohl diese tatsächlich dem entspricht, was Mathematiker eine quasiperiodische Funktion nennen . Es handelt sich dabei um Tonleitern, die sich in einem bestimmten festen Intervall um jeden Ton einer bestimmten endlichen Menge von Tönen wiederholen. Das feste Intervall ist typischerweise eine Oktave , und so besteht die Tonleiter aus allen Tönen einer endlichen Anzahl von Tonklassen . Bezeichnet β<sub> i</sub> ein Tonleiterelement für jede ganze Zahl i, dann gilt β<sub> i </sub> + ℘ = β<sub> i</sub> + Ω , wobei Ω typischerweise eine Oktave von 1200 Cent ist, aber auch ein beliebiger fester Centbetrag sein kann; und ℘ die Anzahl der Tonleiterelemente in der Periode Ω ist, die manchmal als Größe der Tonleiter bezeichnet wird.
Für jedes i kann man die Menge aller Differenzen zwischen Skalenelementen um i Schritte betrachten: Klasse( i ) = { β <sub>n</sub> + i − β <sub> n</sub> }. Wir können die Ordnung der Elemente einer Menge in üblicher Weise auf die Mengen selbst erweitern und sagen: A < B genau dann, wenn für alle a ∈ A und b ∈ B gilt: a < b . Eine Skala ist dann streng korrekt, wenn i < j die Klasse( i ) < Klasse( j ) impliziert. Sie ist korrekt , wenn i ≤ j die Klasse( i ) ≤ Klasse( j ) impliziert. Strenge Korrektheit impliziert Korrektheit, aber eine korrekte Skala muss nicht streng korrekt sein; ein Beispiel ist die diatonische Skala in gleichstufiger Stimmung , in der das Tritonusintervall sowohl zur Klasse der Quarte (als übermäßige Quarte ) als auch zur Klasse der Quinte (als verminderte Quinte ) gehört. Strenge Korrektheit entspricht der Kohärenz im Sinne Balzanos.
Allgemeine und spezifische Intervalle
Die Intervallklasse Klasse(i) modulo Ω hängt nur von i modulo ℘ ab. Daher können wir auch eine Version der Klasse, Klasse( i ), für Tonhöhenklassen modulo Ω definieren, die generische Intervalle genannt werden . Die spezifischen Tonhöhenklassen, die zu Klasse(i) gehören, werden dann spezifische Intervalle genannt . Die Klasse des Unisono , Klasse(0), besteht ausschließlich aus Vielfachen von Ω und wird üblicherweise nicht berücksichtigt, sodass die Anzahl der generischen Intervalle ℘ − 1 beträgt. Daher werden die generischen Intervalle von 1 bis ℘ − 1 nummeriert, und eine Tonleiter ist genau dann zulässig, wenn für je zwei generische Intervalle i < j gilt: Klasse( i ) < Klasse( j ). Wenn wir die Elemente von Klasse( i ) durch Intervalle darstellen, die auf die Intervalle zwischen dem Unisono und Ω reduziert sind, können wir sie wie üblich ordnen und die Zulässigkeit definieren, indem wir sagen, dass i < j für generische Klassen bedeutet: Klasse( i ) < Klasse( j ). Dieses Verfahren ist zwar wesentlich komplizierter als die ursprünglich angegebene Definition, entspricht aber der üblichen Vorgehensweise in der diatonischen Mengenlehre .
Betrachten wir die diatonische (Dur-)Tonleiter in der üblichen 12-Ton-Gleichstufung, die dem Muster (in Halbtonschritten) 2-2-1-2-2-2-1 folgt. Kein Intervall dieser Tonleiter, egal wie viele Stufen es umfasst, ist schmaler (besteht aus weniger Halbtonschritten) als ein Intervall mit weniger Stufen. Beispielsweise findet man in dieser Tonleiter keine Quarte, die kleiner als eine Terz ist: Die kleinsten Quarten sind fünf Halbtonschritte breit, die größten Terzen vier. Daher ist die diatonische Tonleiter rein. Es gibt jedoch ein Intervall, das die gleiche Anzahl an Halbtonschritten enthält wie ein Intervall mit weniger Stufen: Die übermäßige Quarte (FGAB) und die verminderte Quinte (BCDEF) sind beide sechs Halbtonschritte breit. Daher ist die diatonische Tonleiter zwar rein, aber nicht streng rein.
Betrachten wir hingegen die rätselhafte Tonleiter , die dem Muster 1-3-2-2-2-1-1 folgt. In dieser Tonleiter lassen sich Intervalle finden, die enger sind als andere Intervalle in Tonleitern mit weniger Tonstufen: Beispielsweise ist die Quarte auf der sechsten Tonstufe drei Halbtöne breit, während die Terz auf der zweiten Tonstufe fünf Halbtöne breit ist. Daher ist die rätselhafte Tonleiter nicht korrekt.
diatonische Skalentheorie
Balzano führte die Idee ein, die diatonische Tonleiter hinsichtlich ihrer Korrektheit zu charakterisieren . In der gleichstufigen Stimmung (12) gibt es keine streng korrekten siebentönigen Tonleitern ; es existieren jedoch fünf korrekte Tonleitern, darunter die diatonische. Transposition und Modi werden hier nicht separat betrachtet, sodass die diatonische Tonleiter sowohl die Dur-Tonleiter als auch die natürliche Molltonleiter umfasst , die mit jedem beliebigen Ton beginnen kann. Jede dieser Tonleitern hat, sofern sie korrekt notiert ist, eine Version in jeder mitteltönigen Stimmung, und wenn die Quinte tiefer als 700 Cent ist , gelten sie alle als streng korrekt. Insbesondere fünf der sieben streng korrekten siebentönigen Tonleitern in der gleichstufigen Stimmung (19) gehören zu diesen Tonleitern. Die fünf Tonleitern sind:
- Diatonisch : CDEFGAB
- Melodisch/aufsteigend Moll/Jazz-Moll : CDE ♭ FGAB
- Harmonisch Molltonleiter : CDE ♭ FGA ♭ B
- Harmonisch Dur : CDEFGA ♭ B
- Dur Lokrisch : CDEFG ♭ A ♭ B ♭
In jedem mitteltönigen System mit Quinten, die tiefer als 700 Cent sind, hat man auch die folgende streng korrekte Skala: CD ♭ EF ♭ GA ♭ B ♭ (was die phrygische Dominant- ♭ 4- Skala ist).
Die diatonische, aufsteigende Moll-, harmonische Moll-, harmonische Dur- und die letzte unbenannte Tonleiter enthalten jeweils einen vollständigen Kreis aus drei großen und vier kleinen Terzen in unterschiedlicher Anordnung. Die Lokrische Dur-Tonleiter besitzt einen Kreis aus vier großen und zwei kleinen Terzen sowie einer verminderten Terz , die in der mitteltönigen Stimmung annähernd einer großen Septimensekunde im Verhältnis 8/7 entspricht . Die übrigen Tonleitern sind alle solche mit einem vollständigen Kreis aus drei großen und vier kleinen Terzen, was, da ( 5/4 ) ³ ( 6/5 ) ⁴ = 8½ , in zwei Oktaven mitteltönig temperiert, auf die mitteltönige Stimmung hinweist .
Die ersten drei Tonleitern sind von grundlegender Bedeutung für die traditionelle Musikpraxis, und die harmonische Dur-Tonleiter wird oft verwendet. Dass die diatonische Tonleiter nicht gesondert erwähnt wird, ist vielleicht weniger interessant als die Tatsache, dass die grundlegenden Tonleitern der diatonischen Praxis alle von Bedeutung sind.
Siehe auch
Referenzen
- ^ Carey, Norman (1998). Distribution Modulo One and Musical Scales , S. 103, Anm. 19. Universität Rochester. Dissertation.
- ^ a b c d e Meredith, D. (2011). „Tonale Skalen und minimale einfache Tonhöhenklassenzyklen“, Mathematik und Berechnung in der Musik: Dritte Internationale Konferenz , S. 174. Springer. ISBN 9783642215896
- ^ (1986). 1/1: The Quarterly Journal of the Just Intonation Network, Band 2 , S. 28. Just Intonation Network.
Weiterführende Literatur
- Gerald J. Balzano, Die gruppentheoretische Beschreibung von 12-fachen und mikrotonalen Tonsystemen , Computer Music Journal 4/4 (1980) 66–84
- Gerald J. Balzano, Die Tonhöhenmenge als Beschreibungsebene zur Untersuchung der musikalischen Tonhöhenwahrnehmung , in: Musik, Geist und Gehirn, herausgegeben von Manfred Clynes, Plenum Press, 1982
- David Rothenberg, Ein Modell zur Mustererkennung mit musikalischen Anwendungen Teil I: Tonhöhenstrukturen als ordnungserhaltende Abbildungen , Mathematical Systems Theory 11 (1978) 199–234 [1]
