Maximal und minimal

In der Analysis sind das Maximum und Minimum ^{[ a ]} einer Funktion der größte bzw. kleinste Wert ^, den die Funktion annimmt. Sie werden allgemein als Extrema [ ^{b ]} bezeichnet und können entweder innerhalb eines bestimmten Bereichs ( lokale oder relative Extrema) oder im gesamten Definitionsbereich ( globale oder absolute Extrema) einer Funktion definiert werden. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Pierre de Fermat war einer der ersten Mathematiker, der eine allgemeine Methode, die Adäquanzmethode , zur Bestimmung der Maxima und Minima von Funktionen vorschlug.

Gemäß der Mengenlehre sind das Maximum und das Minimum einer Menge das größte bzw. kleinste Element der Menge. Unbeschränkte unendliche Mengen , wie beispielsweise die Menge der reellen Zahlen , besitzen kein Minimum und kein Maximum.

In der Statistik entspricht dies dem Stichprobenmaximum und -minimum .

Eine reellwertige Funktion f, die auf einem Definitionsbereich X definiert ist, hat einen globalen (oder absoluten ) Maximalpunkt.an der Stelle x ^* , falls f ( x ^* ) ≥ f ( x ) für alle x ∈ X gilt. Analog dazu besitzt die Funktion ein globales (oder absolutes ) Minimum.Ein Maximum ^{liegt vor} , wenn f ( x ^* ) ≤ f ( x ) für alle x ∈ X gilt. Der Funktionswert an einem Maximum wird als Maximalwert bezeichnet.Der Maximalwert der Funktion wird mit bezeichnet, und der Wert der Funktion an einem Minimalpunkt wird als bezeichnet.${\displaystyle \max(f(x))}$Minimalwert der Funktion (zur Verdeutlichung mit einem Symbol gekennzeichnet). Symbolisch lässt sich dies wie folgt darstellen: ${\displaystyle \min(f(x))}$

${\displaystyle x_{0}\in X}$ist ein globales Maximum der Funktion, wenn${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}$

Die Definition des globalen Minimums erfolgt ebenfalls auf ähnliche Weise.

Wenn der Definitionsbereich X ein metrischer Raum ist , dann sagt man, dass f einen lokalen (oder relativen ) Maximalpunkt besitzt.An einem Punkt x ^{* besitzt die Funktion ein lokales Minimum, wenn ein} ε > 0 existiert, sodass f ( x ^* ) ≥ f ( x ) für alle x ∈ X innerhalb des Abstands ε von x ^* gilt. Analog dazu besitzt die Funktion ein lokales Minimum.bei x ^* , wenn f ( x ^* ) ≤ f ( x ) für alle x ∈ X mit Abstand ε von x ^* gilt. Eine ähnliche Definition lässt sich verwenden, wenn X ein topologischer Raum ist , da die soeben gegebene Definition mithilfe von Umgebungen umformuliert werden kann. Mathematisch lautet die gegebene Definition wie folgt:

Sei ein metrischer Raum und eine Funktion . Dann ist ein lokales Maximum der Funktion genau dann, wenn es ein solches gibt, dass${\displaystyle (X,d_{X})}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}$

Die Definition des lokalen Minimums kann analog erfolgen.

Sowohl im globalen als auch im lokalen Bereich ist das Konzept einesEin striktes Extremum kann definiert werden. Zum Beispielx^∗einEin striktes globales Maximum liegt vor, wenn für allex∈Xmit x ≠ x ^∗ gilt: f ( x ^∗ ) > f ( x ), undx^∗einEin Punkt ist ein striktes lokales Maximum, wenn es ein ε > 0gibt, sodass für allex∈Xinnerhalb des Abstandsεvonx^*mit x ≠ x ^* gilt: f ( x ^* ) > f ( x ). Ein Punkt ist genau dann ein striktes globales Maximum, wenn er das einzige globale Maximum ist; analog gilt dies für Minima.

Eine stetige reellwertige Funktion mit kompaktem Definitionsbereich besitzt stets ein Maximum und ein Minimum. Ein wichtiges Beispiel ist eine Funktion, deren Definitionsbereich ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall der reellen Zahlen ist (siehe Abbildung oben).

Das Auffinden globaler Maxima und Minima ist das Ziel der mathematischen Optimierung . Ist eine Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall stetig, so existieren nach dem Satz vom Maximum und Minimum globale Maxima und Minima. Ein globales Maximum (oder Minimum) muss entweder ein lokales Maximum (oder Minimum) im Inneren des Definitionsbereichs sein oder auf dessen Rand liegen. Um ein globales Maximum (oder Minimum) zu finden, betrachtet man daher alle lokalen Maxima (oder Minima) im Inneren sowie die Maxima (oder Minima) auf dem Rand und wählt das größte (oder kleinste) aus.

Für differenzierbare Funktionen besagt der Satz von Fermat , dass lokale Extrema im Inneren eines Definitionsbereichs an kritischen Punkten (oder Punkten, an denen die Ableitung null ist) auftreten müssen. ^{[ 4 ]} Allerdings sind nicht alle kritischen Punkte Extrema. Bei hinreichender Differenzierbarkeit lässt sich mithilfe des Kriteriums der ersten , zweiten oder höheren Ableitung oft feststellen, ob ein kritischer Punkt ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder keines von beidem ist . ^{[ 5 ]}

Bei jeder stückweise definierten Funktion findet man ein Maximum (oder Minimum), indem man das Maximum (oder Minimum) jedes Teilstücks separat ermittelt und dann prüft, welches das größte (oder kleinste) ist.

Funktion	Maxima und Minima
x 2	Eindeutiges globales Minimum bei x = 0.
x 3	Es gibt keine globalen Minima oder Maxima. Obwohl die erste Ableitung (3 x 2 ) an der Stelle x = 0 gleich 0 ist, handelt es sich hier um einen Wendepunkt . (Die zweite Ableitung ist an dieser Stelle ebenfalls gleich 0.)
${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$	Eindeutiges globales Maximum bei x = e . (Siehe Abbildung rechts) (Siehe auch Steiners Differentialgleichungsproblem )
x − x	Eindeutiges globales Maximum über den positiven reellen Zahlen bei x = 1/ e .
x 3 /3 − x	Die erste Ableitung ist x² − 1 und die zweite Ableitung ist 2x . Setzt man die erste Ableitung gleich null und löst nach x auf, erhält man die stationären Punkte −1 und +1. Aus dem Vorzeichen der zweiten Ableitung lässt sich erkennen, dass −1 ein lokales Maximum und +1 ein lokales Minimum ist. Diese Funktion besitzt kein globales Maximum oder Minimum.
| x |	Globales Minimum bei x = 0, das nicht durch Ableiten gefunden werden kann, da die Ableitung bei x = 0 nicht existiert .
cos( x )	Unendlich viele globale Maxima bei 0, ±2 π , ±4 π , ... und unendlich viele globale Minima bei ± π , ±3 π , ±5 π , ....
2 cos( x ) − x	Unendlich viele lokale Maxima und Minima, aber kein globales Maximum oder Minimum.
cos(3 π x )/ x mit 0,1 ≤ x ≤ 1,1	Globales Maximum bei x  = 0,1 (eine Grenze), globales Minimum in der Nähe von x  = 0,3, lokales Maximum in der Nähe von x  = 0,6 und lokales Minimum in der Nähe von x  = 1,0. (Siehe Abbildung oben auf der Seite.)
x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 definiert über dem abgeschlossenen Intervall (Segment) [−4,2]	Lokales Maximum bei x  = −1− √ 15 /3, lokales Minimum bei x  = −1+ √ 15 /3, globales Maximum bei x  = 2 und globales Minimum bei x  = −4.

Nehmen wir als praktisches Beispiel ^{[ 6 ]} eine Situation an, in der jemand über eine Zaunlänge von Fuß verfügt und versucht, die Grundfläche eines rechteckigen Geheges zu maximieren, wobei die Länge, die Breite und die Fläche ist: ${\displaystyle 200}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

Die Ableitung nach ist: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

Wenn wir dies gleichsetzen${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

Dies zeigt, dass dies unser einziger kritischer Punkt ist . Nun ermitteln wir die Endpunkte , indem wir das Intervall bestimmen, auf das beschränkt ist. Da die Breite positiv ist, gilt , und da , folgt daraus . Setzen wir den kritischen Punkt sowie die Endpunkte und in ein , so erhalten wir die Ergebnisse und . ${\displaystyle x=50}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x=100-y}$${\displaystyle x<100}$${\displaystyle 50}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 100}$${\displaystyle xy=x(100-x)}$${\displaystyle 2500,0,}$${\displaystyle 0}$

Daher beträgt die größtmögliche Fläche, die mit einem Rechteck aus Fuß Zaun erreicht werden kann, . ^{[ 6 ]}${\displaystyle 200}$${\displaystyle 50\times 50=2500}$

Für Funktionen mit mehreren Variablen gelten ähnliche Bedingungen. Beispielsweise sind in der (vergrößerbaren) Abbildung rechts die notwendigen Bedingungen für ein lokales Maximum denen einer Funktion mit nur einer Variablen ähnlich. Die ersten partiellen Ableitungen nach z (der zu maximierenden Variablen) sind im Maximum (dem leuchtenden Punkt oben in der Abbildung) null. Die zweiten partiellen Ableitungen sind negativ. Dies sind nur notwendige, nicht hinreichende Bedingungen für ein lokales Maximum, da ein Sattelpunkt auftreten kann . Um mithilfe dieser Bedingungen ein Maximum zu bestimmen, muss die Funktion z zudem überall differenzierbar sein . Der Test mit der zweiten partiellen Ableitung kann helfen, den Punkt als relatives Maximum oder relatives Minimum zu klassifizieren. Im Gegensatz dazu bestehen wesentliche Unterschiede zwischen Funktionen mit einer und solchen mit mehreren Variablen bei der Bestimmung globaler Extrema. Besitzt beispielsweise eine beschränkte, differenzierbare Funktion f , die auf einem abgeschlossenen Intervall der reellen Zahlen definiert ist, genau einen kritischen Punkt, der ein lokales Minimum ist, so ist dieser auch ein globales Minimum (dies lässt sich mithilfe des Zwischenwertsatzes und des Satzes von Rolle durch Widerspruch beweisen ). In zwei und mehr Dimensionen verliert dieses Argument seine Gültigkeit. Dies wird durch die Funktion veranschaulicht.

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

dessen einziger kritischer Punkt bei (0,0) liegt, einem lokalen Minimum mit f (0,0) = 0. Es kann jedoch kein globales Minimum sein, da f (2,3) = −5.

Besteht der Definitionsbereich einer Funktion, für die ein Extremum gefunden werden soll, selbst aus Funktionen (d. h. soll ein Extremum eines Funktionals gefunden werden), so wird das Extremum mithilfe der Variationsrechnung gefunden .

Maxima und Minima lassen sich auch für Mengen definieren. Allgemein gilt: Besitzt eine geordnete Menge S ein größtes Element m , so ist m ein maximales Element der Menge, auch als m_max bezeichnet. Ist S eine Teilmenge einer geordneten Menge T und m das größte Element von S mit m ≤ m (bezüglich der durch T induzierten Ordnung ), so ist m eine kleinste obere Schranke von S in T. Ähnliche Ergebnisse gelten für das kleinste Element , das minimale Element und die größte untere Schranke . Die Maximum- und Minimumfunktionen für Mengen werden in Datenbanken verwendet und können schnell berechnet werden, da das Maximum (bzw. Minimum) einer Menge aus den Maxima einer Partition berechnet werden kann; formal handelt es sich um selbstzerlegbare Aggregationsfunktionen . ${\displaystyle \max(S)}$

Bei einer allgemeinen partiellen Ordnung darf das kleinste Element (d. h. eines, das kleiner als alle anderen ist) nicht mit dem minimalen Element verwechselt werden (es gibt kein kleineres Element). Ebenso ist das größte Element einer partiell geordneten Menge (Poset) eine obere Schranke der Menge, die in der Menge enthalten ist, während das maximale Element m eines Posets A ein Element von A ist , für das gilt: Wenn m ≤ b (für jedes b ∈ A ), dann m = b . Jedes kleinste oder größte Element eines Posets ist eindeutig, aber ein Poset kann mehrere minimale oder maximale Elemente haben. Wenn ein Poset mehr als ein maximales Element hat, sind diese Elemente nicht miteinander vergleichbar.

In einer vollständig geordneten Menge (oder Kette) sind alle Elemente miteinander vergleichbar. Daher kann eine solche Menge höchstens ein minimales und höchstens ein maximales Element enthalten. Aufgrund der Vergleichbarkeit ist das minimale Element auch das kleinste und das maximale Element auch das größte. In einer vollständig geordneten Menge können wir daher einfach die Begriffe Minimum und Maximum verwenden .

Ist eine Kette endlich, so besitzt sie stets ein Maximum und ein Minimum. Ist eine Kette unendlich, so besitzt sie nicht notwendigerweise ein Maximum oder ein Minimum. Beispielsweise hat die Menge der natürlichen Zahlen kein Maximum, aber ein Minimum. Ist eine unendliche Kette S beschränkt, so besitzt der Abschluss Cl ( S ) der Menge gelegentlich ein Minimum und ein Maximum. In diesem Fall werden diese als größte untere Schranke bzw. kleinste obere Schranke der Menge S bezeichnet .

In der Mathematik sind die Argumente der Maxima (abgekürzt arg max oder argmax) und die Argumente der Minima (abgekürzt arg min oder argmin) die Eingabepunkte, an denen der Ausgabewert einer Funktion maximiert bzw. minimiert wird . ^{[ 8 ]} Während die Argumente über dem Definitionsbereich einer Funktion definiert sind , ist der Ausgabewert Teil ihres Wertebereichs .

• Ableitungstest
• Infimum und Supremum
• Obere Grenze und untere Grenze
• Maximum-Minimum-Identität
• Mechanisches Gleichgewicht
• Mex (Mathematik)
• Sattelpunkt
• Beispiel: Maximal- und Minimalwert

• Thomas Simpsons Arbeit über Maxima und Minima bei der Konvergenz
• Anwendung von Maxima und Minima mit Unterseiten gelöster Aufgaben
• Jolliffe, Arthur Ernest (1911). „Maxima und Minima“  . Encyclopædia Britannica . Bd. 17 (11. Aufl.). S.  918–920 .