Stationärer Punkt

In der Mathematik , insbesondere in der Analysis , ist ein stationärer Punkt einer differenzierbaren Funktion einer Variablen ein Punkt auf dem Graphen der Funktion, an dem die Ableitung der Funktion null ist. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Umgangssprachlich ist es ein Punkt, an dem die Funktion aufhört zu steigen oder zu fallen (daher der Name).

Bei einer differenzierbaren Funktion mehrerer reeller Variablen ist ein stationärer Punkt ein Punkt auf der Oberfläche des Graphen, an dem alle partiellen Ableitungen verschwinden (äquivalent dazu: der Gradient hat die Norm Null ). Der Begriff der stationären Punkte einer reellwertigen Funktion wird verallgemeinert und entspricht kritischen Punkten für komplexwertige Funktionen .

Stationäre Punkte lassen sich im Graphen einer Funktion einer Variablen leicht erkennen: Sie entsprechen den Punkten im Graphen, an denen die Tangente horizontal (d. h. parallel zur x -Achse ) verläuft. Bei einer Funktion zweier Variablen entsprechen sie den Punkten im Graphen, an denen die Tangentialebene parallel zur xy- Ebene verläuft.

Der Begriff des stationären Punktes ermöglicht die mathematische Beschreibung eines astronomischen Phänomens, das vor Kopernikus unerklärt war . Ein stationärer Punkt ist der Punkt in der scheinbaren Bahn eines Planeten am Himmel , an dem seine Bewegung scheinbar stillsteht, bevor sie in die entgegengesetzte Richtung wieder einsetzt (siehe scheinbare Rückläufigkeit ). Dies geschieht aufgrund der Projektion der Planetenbahn auf die Ekliptik .

Ein Wendepunkt einer differenzierbaren Funktion ist ein Punkt, an dem die Ableitung eine isolierte Nullstelle besitzt und ihr Vorzeichen ändert. ^{[ 2 ]} Ein Wendepunkt kann entweder ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum (auch lokales Minimum bzw. Maximum genannt) sein. Ein Wendepunkt ist somit ein stationärer Punkt, aber nicht alle stationären Punkte sind Wendepunkte. Ist die Funktion zweimal differenzierbar, so sind die isolierten stationären Punkte, die keine Wendepunkte sind, horizontale Wendepunkte . Beispielsweise besitzt die Funktion einen stationären Punkt bei x = 0 , der gleichzeitig ein Wendepunkt ist, aber kein Wendepunkt. ^{[ 3 ]}${\displaystyle x\mapsto x^{3}}$

Isolierte stationäre Punkte einer reellwertigen Funktion werden mithilfe des Kriteriums der ersten Ableitung in vier Arten eingeteilt : ${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

• Ein lokales Minimum ( minimaler Wendepunkt oder relatives Minimum ) ist ein Punkt, an dem die Ableitung der Funktion von negativ zu positiv wechselt;
• Ein lokales Maximum ( maximaler Wendepunkt oder relatives Maximum ) ist ein Punkt, an dem die Ableitung der Funktion von positiv zu negativ wechselt;

• Ein steigender Wendepunkt (oder Inflexion ) ist ein Punkt, an dem die Ableitung der Funktion auf beiden Seiten des stationären Punktes positiv ist; ein solcher Punkt markiert eine Änderung der Krümmung ;
• Ein fallender Wendepunkt (oder Inflexion ) ist ein Punkt, an dem die Ableitung der Funktion auf beiden Seiten des stationären Punktes negativ ist; ein solcher Punkt markiert eine Änderung der Krümmung.

Die ersten beiden Optionen werden zusammenfassend als „ lokale Extrema “ bezeichnet. Ein Punkt, der entweder ein globales (oder absolutes) Maximum oder ein globales (oder absolutes) Minimum darstellt, wird entsprechend als globales (oder absolutes) Extremum bezeichnet. Die letzten beiden Optionen – stationäre Punkte, die keine lokalen Extrema sind – werden als Sattelpunkte bezeichnet .

Nach dem Fermatschen Theorem müssen globale Extrema (einer Funktion) auf dem Rand oder an stationären Punkten auftreten. ${\displaystyle C^{1}}$

Die Bestimmung der Lage und Art von stationären Punkten erleichtert das Skizzieren von Kurven differenzierbarer Funktionen. Die Lösung der Gleichung f ′ ( x ) = 0 liefert die x -Koordinaten aller stationären Punkte; die y -Koordinaten sind trivialerweise die Funktionswerte an diesen x -Koordinaten. Die spezifische Art eines stationären Punktes bei x kann in manchen Fällen durch Untersuchung der zweiten Ableitung f″ ( x ) bestimmt werden.

• Falls f″ ( x ) < 0, ist der stationäre Punkt bei x konkav nach unten; ein maximales Extremum.
• Falls f″ ( x ) > 0, ist der stationäre Punkt bei x nach oben konvex; ein minimales Extremum.
• Wenn f″ ( x ) = 0, muss die Art des stationären Punktes auf andere Weise bestimmt werden, oft durch Beobachten eines Vorzeichenwechsels um diesen Punkt herum.

Eine direktere Methode zur Bestimmung der Art eines stationären Punktes besteht darin, die Funktionswerte zwischen den stationären Punkten zu untersuchen (sofern die Funktion zwischen ihnen definiert und stetig ist).

Ein einfaches Beispiel für einen Wendepunkt ist die Funktion f ( x ) = x³ . An der Stelle x = 0 ändert sich die Krümmung deutlich, was ^sich mithilfe der Differentialrechnung beweisen lässt . Die zweite Ableitung von f ist die überall stetige Funktion 6x , und an der Stelle x = 0 ist f'' = 0, wodurch sich das Vorzeichen ändert. Daher ist x = 0 ein Wendepunkt.

Allgemeiner sind die stationären Punkte einer reellwertigen Funktion diejenigen Punkte x ₀ , an denen die Ableitung in jeder Richtung gleich Null ist, oder äquivalent dazu, an denen der Gradient Null ist. ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Für die Funktion f ( x ) = x⁴ gilt f ' (0) = 0 und f'' (0) = 0. Obwohl f'' (0) = 0 ist, handelt es sich bei diesem Punkt nicht ^um einen Wendepunkt. Der Grund dafür ist, dass das Vorzeichen von f ' ( x ) von negativ zu positiv wechselt.

Für die Funktion f ( x ) = sin( x ) gilt f ' (0) ≠ 0 und f'' (0) = 0. Dies ist jedoch kein stationärer Punkt, sondern ein Wendepunkt. Der Grund dafür ist, dass sich die Krümmung von konkav nach unten zu konkav nach oben ändert, während das Vorzeichen von f ' ( x ) gleich bleibt; es bleibt positiv.

Für die Funktion f ( x ) = x³ gilt f ' (0) = 0 und f'' (0) = 0. Dies ist sowohl ein stationärer Punkt als ^auch ein Wendepunkt. Der Grund dafür ist, dass sich die Krümmung von konkav nach unten zu konkav nach oben ändert, das Vorzeichen von f ' ( x ) jedoch gleich bleibt; es bleibt positiv.

Für die Funktion f ( x ) = 0 gilt f ' (0) = 0 und f'' (0) = 0. Der Punkt 0 ist ein nicht isolierter stationärer Punkt, der weder ein Wendepunkt noch ein horizontaler Wendepunkt ist, da sich die Vorzeichen von f ' ( x ) und f'' ( x ) nicht ändern.

Die Funktion f ( x ) = x⁵ sin(1/ ^x ) für x ≠ 0 mit f (0) = 0 ist ein Beispiel, bei dem f ' ( x ) und f'' ( x ) beide stetig sind, f ' (0) = 0 und f'' (0) = 0 gilt, und dennoch besitzt f ( x ) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum noch einen Wendepunkt bei 0. Daher ist 0 ein stationärer Punkt, der nicht isoliert ist.

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