Lorentzraum

In der mathematischen Analysis sind Lorentzräume , die von George G. Lorentz in den 1950er Jahren eingeführt wurden, ^{[ 1 ] [ 2 ]} Verallgemeinerungen der bekannteren Räume . ${\displaystyle L^{p}}$

Die Lorentzräume werden mit bezeichnet . Wie die λ -Räume sind sie durch eine Norm (genauer gesagt eine Quasinorm ) charakterisiert, die Informationen über die „Größe“ einer Funktion kodiert, genau wie die λ-Norm. Die beiden grundlegenden qualitativen Vorstellungen von der „Größe“ einer Funktion sind: wie hoch der Funktionsgraph ist und wie breit er ist. Die Lorentznormen ermöglichen eine präzisere Kontrolle beider Eigenschaften als die λ-Normen, indem sie das Maß sowohl im Wertebereich ( ) als auch im Definitionsbereich ( ) exponentiell skalieren. Die Lorentznormen sind, wie die λ-Normen, invariant unter beliebigen Umordnungen der Funktionswerte. ${\displaystyle L^{p,q}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle L^{p}}$

Der Lorentzraum über einem Maßraum ist der Raum der komplexwertigen messbaren Funktionen , für die die folgende Quasinorm endlich ist. ${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {\overline {C}} }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}$

wo und . Wenn also , ${\displaystyle 0<p<\infty }$${\displaystyle 0<q\leq \infty }$${\displaystyle q<\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

und wenn ${\displaystyle q=\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).}$

Es ist auch üblich, festzulegen . ${\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}$

Die Quasinorm ist invariant unter Umordnung der Funktionswerte , im Wesentlichen per Definition. Insbesondere lässt sich für eine komplexwertige messbare Funktion auf einem Maßraum die abnehmende Umordnungsfunktion wie folgt definieren:${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}$

wobei die sogenannte Verteilungsfunktion von ist , gegeben durch ${\displaystyle d_{f}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).}$

Hier wird aus Gründen der Notation wie folgt definiert : . ${\displaystyle \inf \varnothing }$${\displaystyle \infty }$

Die beiden Funktionen und sind gleichmessbar , was bedeutet, dass ${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f^{\ast }}$

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}$

Dabei ist das Lebesgue-Maß auf der reellen Achse. Die zugehörige symmetrische, abnehmende Umordnungsfunktion , die ebenfalls mit messbar ist , wäre auf der reellen Achse definiert durch ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}$

Ausgehend von diesen Definitionen ergeben sich für und die Lorentz-Quasinormen wie folgt:${\displaystyle 0<p<\infty }$${\displaystyle 0<q\leq \infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}$

Wenn (das Zählmaß auf ), ist der resultierende Lorentzraum ein Folgenraum . In diesem Fall ist es jedoch zweckmäßig, eine andere Notation zu verwenden. ${\displaystyle (X,\mu )=(\mathbb {N} ,\#)}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Sei (bzw. im komplexen Fall) die p-Norm für und die ∞-Norm. Sei der Banachraum aller Folgen mit endlicher p-Norm. Sei der Banachraum aller Folgen, die erfüllen , versehen mit der ∞-Norm. Sei der normierte Raum aller Folgen mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Einträgen. Diese Räume spielen alle eine Rolle in der nachfolgenden Definition der Lorentz-Folgenräume . ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle d(w,p)}$

Sei eine Folge positiver reeller Zahlen, die erfüllt , und sei die Norm definiert . Der Lorentz-Folgenraum ist der Banachraum aller Folgen, für die diese Norm endlich ist. Äquivalent dazu können wir als die Vervollständigung von unter definieren . ${\displaystyle w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}}$${\displaystyle 1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \cdots }$${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\|(a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}}$${\displaystyle d(w,p)}$${\displaystyle d(w,p)}$${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{d(w,p)}}$

Die Lorentz-Räume sind echte Verallgemeinerungen der Räume, da für jedes gilt : , was aus dem Prinzip von Cavalieri folgt . Weiterhin stimmt mit schwachen Räumen überein . Sie sind Quasi-Banach-Räume (d. h. quasinormierte Räume, die auch vollständig sind) und für und normierbar . Wenn , ist mit einer Norm ausgestattet, aber es ist nicht möglich, eine Norm zu definieren, die der Quasinorm von , dem schwachen Raum, äquivalent ist. Als konkretes Beispiel dafür, dass die Dreiecksungleichung in nicht gilt , betrachten wir . ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}$${\displaystyle L^{p,\infty }}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}$${\displaystyle L^{1,\infty }}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1,\infty }}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),}$

deren Quasinorm gleich eins ist, wohingegen die Quasinorm ihrer Summe gleich vier ist. ${\displaystyle L^{1,\infty }}$${\displaystyle f+g}$

Der Raum ist immer dann in enthalten, wenn . Die Lorentzräume sind reelle Interpolationsräume zwischen und . ${\displaystyle L^{p,q}}$${\displaystyle L^{p,r}}$${\displaystyle q<r}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{\infty }}$

${\displaystyle \|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}}$wo , , , und . ${\displaystyle 0<p,p_{1},p_{2}<\infty }$${\displaystyle 0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty }$${\displaystyle 1/p=1/p_{1}+1/p_{2}}$${\displaystyle 1/q=1/q_{1}+1/q_{2}}$

Ist ein nichtatomarer σ-endlicher Maßraum, dann gilt (i) für , oder ; (ii) für , oder ; (iii) für . Hierbei gilt für , für und . ${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=\{0\}}$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle 1=p<q<\infty }$${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}}$${\displaystyle 1<p<\infty ,0<q\leq \infty }$${\displaystyle 0<q\leq p=1}$${\displaystyle (L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle p'=p/(p-1)}$${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle p'=\infty }$${\displaystyle 0<p\leq 1}$${\displaystyle \infty '=1}$

Die folgenden Aussagen sind äquivalent für . (i) . (ii) wobei disjunkter Träger mit Maß , auf dem fast überall und . (iii) fast überall, wobei und . (iv) wobei disjunkter Träger mit von Null verschiedenem Maß hat, auf dem fast überall positive Konstanten sind und . (v) fast überall, wobei . ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty }$${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C}$${\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \leq 2^{n}}$${\displaystyle 0<H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}}$${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$${\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}}$${\displaystyle \mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}}$${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$${\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle B_{0}2^{n}\leq |f_{n}|\leq B_{1}2^{n}}$${\displaystyle B_{0},B_{1}}$${\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$${\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}\chi _{E_{n}}}$${\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$

• Interpolationsraum
• Hardy-Littlewood-Ungleichheit

• Grafakos, Loukas (2008), Klassische Fourier-Analysis , Graduate Texts in Mathematics, Band 249 (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-09432-8 , ISBN 978-0-387-09431-1MR 2445437​ Die