Mach-Zahl

Die Mach-Zahl ( M oder Ma ), oft nur Mach ( / m ɑː k / ; deutsch: [max] ), ist eine dimensionslose Größe in der Fluiddynamik, die das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit an einer Grenzfläche zur lokalen Schallgeschwindigkeit darstellt . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Sie ist nach dem österreichisch-tschechischen Physiker und Philosophen Ernst Mach benannt .

$${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}},}$$

Wo:

• M ist die lokale Mach-Zahl.
• u ist die lokale Strömungsgeschwindigkeit in Bezug auf die Begrenzungen (entweder interne, wie ein in die Strömung eingetauchtes Objekt, oder externe, wie ein Kanal), und
• c ist die Schallgeschwindigkeit im Medium, die in Luft mit der Quadratwurzel der thermodynamischen Temperatur variiert .

Per Definition entspricht  die lokale Strömungsgeschwindigkeit u  bei Mach 1 der Schallgeschwindigkeit. Bei Mach 0,65 beträgt u 65 % der Schallgeschwindigkeit (Unterschallgeschwindigkeit), und bei Mach  1,35 ist u 35 % schneller als die Schallgeschwindigkeit (Überschallgeschwindigkeit).

Die lokale Schallgeschwindigkeit und damit die Mach-Zahl hängen von der Temperatur des umgebenden Gases ab. Die Mach-Zahl dient primär dazu, die Näherung zu bestimmen, mit der eine Strömung als inkompressibel behandelt werden kann . Das Medium kann ein Gas oder eine Flüssigkeit sein. Die Grenzfläche kann sich im Medium bewegen, ruhen, während das Medium entlang der Grenzfläche strömt, oder beide können sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen : Entscheidend ist ihre Relativgeschwindigkeit zueinander. Die Grenzfläche kann die Grenze eines im Medium befindlichen Objekts oder eines Kanals wie einer Düse , eines Diffusors oder eines Windkanals sein , der das Medium kanalisiert. Da die Mach-Zahl als Verhältnis zweier Geschwindigkeiten definiert ist, ist sie eine dimensionslose Größe. Ist M  < 0,2–0,3 und die Strömung quasistationär und isotherm , sind die Kompressibilitätseffekte gering, und vereinfachte Gleichungen für inkompressible Strömungen können verwendet werden. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Die Mach-Zahl ist nach dem Physiker und Philosophen Ernst Mach benannt ^{[ 3 ]} , zu Ehren seiner Leistungen. Dies geht auf einen Vorschlag des Luftfahrtingenieurs Jakob Ackeret aus dem Jahr 1929 zurück. ^{[ 4 ]} Das Wort „Mach“ wird stets großgeschrieben, da es sich um einen Eigennamen handelt und die Mach-Zahl eine dimensionslose Größe und keine Maßeinheit ist . Daher steht die Zahl auch nach dem Wort „Mach“. Lockheed verwendete die Bezeichnung „Mach-Zahl“ ebenfalls , als sie 1942 die Auswirkungen der Kompressibilität auf das Flugzeug P-38 untersuchte. ^{[ 5 ]}

Die Mach-Zahl ist ein Maß für die Kompressibilitätseigenschaften einer Strömung : Das Fluid (Luft) verhält sich bei einer gegebenen Mach-Zahl unabhängig von anderen Variablen unter dem Einfluss der Kompressibilität ähnlich. ^{[ 6 ]} Gemäß dem Modell der Internationalen Standardatmosphäre (ISA) beträgt die Schallgeschwindigkeit in trockener Luft auf mittlerer Meereshöhe bei einer Standardtemperatur von 15 °C (59 °F) 340,3 Meter pro Sekunde (1116,5 ft/s; 761,23 mph; 1225,1 km/h; 661,49 kn). ^{[ 7 ]} Die Schallgeschwindigkeit ist keine Konstante; in einem Gas steigt sie proportional zur Quadratwurzel der absoluten Temperatur . Da die atmosphärische Temperatur im Allgemeinen mit zunehmender Höhe zwischen Meereshöhe und 11.000 Metern (36.089 ft) abnimmt, sinkt auch die Schallgeschwindigkeit. Das Standardatmosphärenmodell berechnet beispielsweise eine Temperatur von −56,5 °C (−69,7 °F) in einer Höhe von 11.000 Metern (36.089 Fuß), was einer Schallgeschwindigkeit (Mach  1) von 295,0 Metern pro Sekunde (967,8 Fuß/s; 659,9 Meilen/h; 1.062 km/h; 573,4 Knoten) entspricht, also 86,7 % des Wertes auf Meereshöhe.

Die Mach-Zahl ergibt sich auf natürliche Weise, wenn die Kontinuitätsgleichung für kompressible Strömungen dimensionslos gemacht wird . Wenn Dichteänderungen über die Isentropenbeziehung mit dem Druck verknüpft sind , enthält die dimensionslose Kontinuitätsgleichung einen Vorfaktor . Dies zeigt, dass die Mach-Zahl die Bedeutung von Kompressibilitätseffekten in einer Strömung direkt misst. Im Grenzfall reduziert sich die Gleichung auf die Inkompressibilitätsbedingung . ^{[ 8 ]}${\displaystyle dp=c^{2}\,d\rho }$${\displaystyle (u/c)^{2}=M^{2}}$${\displaystyle M\to 0}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Die Begriffe Unterschall und Überschall bezeichnen Geschwindigkeiten unterhalb bzw. oberhalb der lokalen Schallgeschwindigkeit sowie bestimmte Machzahlbereiche. Dies liegt an der Existenz eines transsonischen Bereichs um die Freistrom-Machzahl M = 1, in dem die für die Unterschallauslegung verwendeten Näherungen der Navier-Stokes-Gleichungen nicht mehr gelten. Vereinfacht ausgedrückt: Die Umströmung eines Flugzeugs überschreitet lokal M = 1, obwohl die Freistrom-Machzahl darunter liegt.

Unterdessen wird der Begriff Überschallbereich üblicherweise verwendet, um über die Menge der Mach-Zahlen zu sprechen, für die die linearisierte Theorie angewendet werden kann, wo beispielsweise die ( Luft- )Strömung nicht chemisch reagiert und wo der Wärmeaustausch zwischen Luft und Fahrzeug in den Berechnungen hinreichend vernachlässigt werden kann.

Die Luftfahrt lässt sich grob in sechs Kategorien einteilen:

Bei transsonischen Geschwindigkeiten umfasst das Strömungsfeld um das Objekt sowohl Unterschall- als auch Überschallanteile. Die transsonische Phase beginnt, sobald erste Bereiche mit einer Machzahl M > 1 um das Objekt herum auftreten. Bei einem Tragflügel (wie beispielsweise einem Flugzeugflügel) geschieht dies typischerweise oberhalb des Flügels. Überschallströmung kann nur durch einen senkrechten Stoß wieder auf Unterschallgeschwindigkeit abgebremst werden; dies geschieht typischerweise vor der Hinterkante. (Abb. 1a)

Mit zunehmender Geschwindigkeit dehnt sich die Zone mit M > 1 sowohl zur Vorder- als auch zur Hinterkante aus. Sobald M = 1 erreicht und überschritten wird, trifft der senkrechte Stoß auf die Hinterkante und wandelt sich in einen schwachen schrägen Stoß um: Die Strömung wird über dem Stoß abgebremst, bleibt aber überschallig. Vor dem Objekt bildet sich ein senkrechter Stoß, und die einzige Unterschallzone im Strömungsfeld ist ein kleiner Bereich um die Vorderkante des Objekts. (Abb. 1b)

(A)

(B)

Abb. 1. Mach-Zahl in transsonischer Luftströmung um ein Tragflügelprofil; M < 1 (a) und M > 1 (b).

Wenn ein Flugzeug Mach 1 (also die Schallmauer ) überschreitet, entsteht direkt vor dem Flugzeug ein großer Druckunterschied . Dieser abrupte Druckunterschied, die sogenannte Stoßwelle , breitet sich kegelförmig nach hinten und außen vom Flugzeug aus (der sogenannte Mach-Kegel ). Diese Stoßwelle verursacht den Überschallknall , der zu hören ist, wenn ein schnell fliegendes Flugzeug über einen hinwegfliegt. Eine Person im Flugzeug hört diesen Knall nicht. Je höher die Geschwindigkeit, desto schmaler wird der Kegel; bei knapp über Mach 1 ist er kaum noch ein Kegel, sondern ähnelt eher einer leicht konkaven Ebene.

Bei Überschallgeschwindigkeit nimmt die Stoßwelle ihre Kegelform an, und die Strömung ist entweder vollständig überschallig oder (im Falle eines stumpfen Objekts) nur noch ein sehr kleiner Bereich mit Unterschallströmung zwischen der Objektspitze und der von ihr erzeugten Stoßwelle. (Bei einem scharfen Objekt befindet sich keine Luft zwischen der Spitze und der Stoßwelle: Die Stoßwelle geht von der Spitze aus.)

Mit steigender Mach-Zahl nimmt die Stärke der Stoßwelle zu und der Mach-Kegel verengt sich zunehmend. Beim Durchqueren der Stoßwelle verringert sich die Strömungsgeschwindigkeit, während Temperatur, Druck und Dichte ansteigen. Je stärker der Stoß, desto größer die Veränderungen. Bei ausreichend hohen Mach-Zahlen steigt die Temperatur hinter der Stoßwelle so stark an, dass Ionisierung und Dissoziation der Gasmoleküle einsetzen.

Wenn eine Strömung in einem Kanal Überschallgeschwindigkeit erreicht, tritt eine wesentliche Änderung ein. Aufgrund der Erhaltung des Massenstroms würde man erwarten, dass eine Verengung des Strömungskanals die Strömungsgeschwindigkeit erhöht (d. h. ein schmalerer Kanal führt zu einer schnelleren Luftströmung), und bei Unterschallgeschwindigkeiten trifft dies auch zu. Sobald die Strömung jedoch Überschallgeschwindigkeit erreicht, kehrt sich das Verhältnis zwischen Strömungsquerschnitt und Geschwindigkeit um: Eine Erweiterung des Kanals erhöht die Geschwindigkeit. ^{[ 9 ]}

Wenn die Schallgeschwindigkeit bekannt ist, kann die Mach-Zahl, mit der ein Flugzeug fliegt, berechnet werden durch $${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}}}$$

Wo:

• M ist die Mach-Zahl.
• u ist die Geschwindigkeit des sich bewegenden Flugzeugs und
• c ist die Schallgeschwindigkeit in der gegebenen Höhe (genauer gesagt bei der gegebenen Temperatur).

und die Schallgeschwindigkeit variiert mit der thermodynamischen Temperatur wie folgt:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\sqrt {\gamma R_{*}T}}&&R_{*}={\frac {R}{M_{\text{trockene Luft}}}}\\R&=8.31446261815324&&M_{\text{trockene Luft}}\approx 0.0289647\\\gamma &\approx 1.4&&R_{*}\approx 287.055023\\c&\approx 20.046871{\sqrt {T}}&&M\approx {\frac {u}{20.046871{\sqrt {T}}}}\end{aligned}}}$$

Wo:

• ${\displaystyle \gamma \,}$ist das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazität eines Gases bei konstantem Druck zur Wärmekapazität bei konstantem Volumen (z. B. 1,4 für trockene Luft bei Raumtemperatur).
• ${\displaystyle R_{*}}$ist die spezifische Gaskonstante für trockene Luft,
• ${\displaystyle T,}$ist die statische Lufttemperatur in Kelvin .

Ist die Schallgeschwindigkeit nicht bekannt, kann die Mach-Zahl durch Messung der verschiedenen Luftdrücke (statisch und dynamisch) und Verwendung der folgenden Formel bestimmt werden, die aus der Bernoulli-Gleichung für Mach-Zahlen kleiner als 1,0 abgeleitet ist. Unter der Annahme, dass Luft ein ideales Gas ist , lautet die Formel zur Berechnung der Mach-Zahl in einer Unterschallströmung mit kompressibler Strömung: ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right]}}\,}$$

Wo:

• q _c ist der Aufpralldruck (dynamischer Druck).
• p ist der statische Druck
• ${\displaystyle \gamma \,}$ist das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazität eines Gases bei konstantem Druck zur Wärmekapazität bei konstantem Volumen (1,4 für Luft).

Die Formel zur Berechnung der Mach-Zahl in einer Überschallströmung mit kompressibler Struktur wird aus der Rayleigh -Überschall-Pitot-Gleichung abgeleitet:

$${\displaystyle {\frac {p_{t}}{p}}=\left[{\frac {\gamma +1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left[{\frac {\gamma +1}{1-\gamma +2\gamma \,\mathrm {M} ^{2}}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}}$$

Die Mach-Zahl ist eine Funktion der Temperatur und der wahren Fluggeschwindigkeit. Die Fluginstrumente von Flugzeugen arbeiten jedoch mit der Druckdifferenz zur Berechnung der Mach-Zahl, nicht mit der Temperatur.

Unter der Annahme, dass Luft ein ideales Gas ist , ergibt sich die Formel zur Berechnung der Mach-Zahl in einer Unterschallströmung aus der Bernoulli-Gleichung für M < 1 (siehe oben): ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {5\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {2}{7}}-1\right]}}\,}$$

Die Formel zur Berechnung der Mach-Zahl in einer Überschallströmung in kompressibler Form kann aus der Rayleigh-Überschall-Pitot-Gleichung (siehe oben) unter Verwendung von Parametern für Luft hergeleitet werden:

$${\displaystyle \mathrm {M} \approx 0.88128485{\sqrt {\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)\left(1-{\frac {1}{7\,\mathrm {M} ^{2}}}\right)^{2.5}}}}$$

Wo:

• q _c ist der dynamische Druck, der hinter einem senkrechten Stoß gemessen wird.

Wie ersichtlich, tritt M auf beiden Seiten der Gleichung auf. Für eine numerische Lösung muss daher ein Nullstellenbestimmungsalgorithmus verwendet werden (die Gleichung ist eine septische Gleichung in M² ^, und obwohl einige dieser Gleichungen explizit gelöst werden können, garantiert der Satz von Abel-Ruffini , dass keine allgemeine Form für die Nullstellen dieser Polynome existiert). Zunächst wird mithilfe der Unterschallgleichung geprüft, ob M tatsächlich größer als 1,0 ist. Ist M an diesem Punkt größer als 1,0, wird der Wert von M aus der Unterschallgleichung als Anfangsbedingung für die Fixpunktiteration der Überschallgleichung verwendet, die üblicherweise sehr schnell konvergiert. ^{[ 10 ]} Alternativ kann auch das Newton-Verfahren angewendet werden.

• Kritische Mach-Zahl  – Konzept in der Aerodynamik
• Machmeter  – Fluginstrument
• Staustrahltriebwerk  – Überschall-Atmosphärenstrahltriebwerk
• Scramjet  – Strahltriebwerk, bei dem die Verbrennung in einem Überschallluftstrom stattfindet.
• Schallgeschwindigkeit  – Geschwindigkeit einer Schallwelle in einem elastischen Medium
• Wahre Fluggeschwindigkeit  – Geschwindigkeit eines Flugzeugs relativ zur Luftmasse, durch die es fliegt
• Größenordnungen (Geschwindigkeit)  – Vergleich eines breiten Geschwindigkeitsbereichs
• Fujita-Skala – Wird zur Abschätzung von Windgeschwindigkeiten verwendet und verbindet die Beaufort-Skala mit der Mach-Skala.

• Gas Dynamics Toolbox : Berechnung der Mach-Zahl und der Parameter der normalen Stoßwelle für Gemische aus idealen und unidealen Gasen.
• NASA-Seite zum Thema Mach-Zahl: Interaktiver Rechner für die Mach-Zahl.
• NewByte Standardatmosphärenrechner und Geschwindigkeitskonverter