Reynolds-Zahl

Der Übergang von laminarer (links) zu turbulenter (rechts) Strömung von Wasser aus einem Wasserhahn erfolgt mit zunehmender Reynolds-Zahl.

In der Fluiddynamik ist die Reynolds-Zahl ( Re ) eine dimensionslose Größe , die durch Messung des Verhältnisses von Trägheits- zu Viskositätskräften die Vorhersage von Strömungsmustern in verschiedenen Situationen ermöglicht . ^{[ 2 ]} Bei niedrigen Reynolds-Zahlen dominieren laminare (flächige) Strömungen, während bei hohen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten . ^{[ 3 ]} Die Turbulenz entsteht durch Unterschiede in Geschwindigkeit und Richtung des Fluids, die sich mitunter kreuzen oder sogar entgegen der Gesamtströmungsrichtung verlaufen können ( Wirbelströme ). Diese Wirbelströme verwirbeln die Strömung und verbrauchen dabei Energie, was bei Flüssigkeiten die Kavitationsgefahr erhöht .

Die Reynolds-Zahl findet vielfältige Anwendung, von der Flüssigkeitsströmung in einem Rohr bis zur Umströmung eines Flugzeugflügels. Sie dient zur Vorhersage des Übergangs von laminarer zu turbulenter Strömung und wird zur Skalierung ähnlicher, aber unterschiedlich großer Strömungssituationen verwendet, beispielsweise zwischen einem Flugzeugmodell im Windkanal und dem realen Flugzeug. Die Vorhersage des Turbulenzbeginns und die Möglichkeit, Skalierungseffekte zu berechnen, können genutzt werden, um das Fluidverhalten in größerem Maßstab vorherzusagen, etwa lokale oder globale Luft- oder Wasserbewegungen und damit die damit verbundenen meteorologischen und klimatologischen Auswirkungen. ^{[ 4 ]}

Das Konzept wurde 1851 von George Stokes eingeführt, ^{[ 5 ]} aber die Reynolds-Zahl wurde 1908 von Arnold Sommerfeld ^{[ 6 ]} nach Osborne Reynolds benannt , der ihre Verwendung 1883 populär gemacht hatte ^{[ 7 ] [ 8 ]} (ein Beispiel für Stiglers Gesetz der Eponymie ).

Die Reynolds-Zahl ist das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften in einem Fluid, das aufgrund unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten einer relativen inneren Bewegung unterliegt. Ein Bereich, in dem sich das Verhalten dieser Kräfte ändert, wird als Grenzschicht bezeichnet , beispielsweise die Grenzfläche im Inneren eines Rohrs. Ein ähnlicher Effekt entsteht durch das Einströmen eines schnellströmenden Fluids in ein langsamströmendes Fluid, wie etwa die heißen Gase einer Flamme in Luft. Diese Relativbewegung erzeugt Fluidreibung, die zur Entstehung turbulenter Strömungen beiträgt. Dem wirkt die Viskosität des Fluids entgegen, die Turbulenzen tendenziell hemmt. Die Reynolds-Zahl quantifiziert die relative Bedeutung dieser beiden Kraftarten für gegebene Strömungsbedingungen und dient als Indikator dafür, wann in einer bestimmten Situation turbulente Strömung auftritt. ^{[ 9 ]}

Die Fähigkeit, den Beginn turbulenter Strömungen vorherzusagen, ist ein wichtiges Konstruktionswerkzeug für Anlagen wie Rohrleitungssysteme oder Flugzeugflügel. Die Reynolds-Zahl wird aber auch zur Skalierung von Problemen der Fluiddynamik verwendet und dient dazu, die dynamische Ähnlichkeit zwischen zwei verschiedenen Strömungsfällen zu bestimmen, beispielsweise zwischen einem Modellflugzeug und seinem realen Vorbild. Diese Skalierung ist nicht linear, und die Anwendung der Reynolds-Zahl auf beide Situationen ermöglicht die Entwicklung von Skalierungsfaktoren.

In Bezug auf laminare und turbulente Strömungsregime :

• Laminare Strömung tritt bei niedrigen Reynolds-Zahlen auf, bei denen viskose Kräfte dominieren, und ist durch eine gleichmäßige, konstante Flüssigkeitsbewegung gekennzeichnet;
• Bei hohen Reynolds-Zahlen tritt turbulente Strömung auf, die von Trägheitskräften dominiert wird und zur Bildung chaotischer Wirbel , Wirbelspitzen und anderer Strömungsinstabilitäten führt. ^{[ 10 ]}

Die Reynolds-Zahl ist wie folgt definiert: ^{[ 6 ]}

Wo:

• ρ ist die Dichte des Fluids ( SI-Einheit : kg/m³ ⁾ .
• u ist die Strömungsgeschwindigkeit (m/s).
• L ist eine charakteristische Länge (m)
• μ ist die dynamische Viskosität des Fluids (Pa·s oder N·s/m² ^oder kg/(m·s)).
• ${\displaystyle \nu }$ist die kinematische Viskosität des Fluids (m² ^/ s).

Diese Größen sind im Allgemeinen nicht unabhängig: Flüssigkeiten werden im Allgemeinen mit steigender Temperatur weniger viskos, Gase hingegen viskoser . Beide nehmen im Allgemeinen mit steigender Temperatur an Dichte ab , wobei dieser Effekt bei Gasen deutlich stärker ausgeprägt ist. Die charakteristische Länge eines (festen) Objekts in einem Fluid variiert mit der Temperatur. Feststoffe reagieren in Bezug auf ihre Dichte typischerweise noch weniger empfindlich auf Temperaturänderungen als Flüssigkeiten, doch bei ausreichend hohen Strömungsgeschwindigkeiten kann die durch Reibung im Fluid entstehende Wärmemenge beträchtlich sein.

Die Reynolds-Zahl lässt sich für verschiedene Situationen definieren, in denen sich ein Fluid relativ zu einer Oberfläche bewegt. ^{[ n 1 ]} Diese Definitionen umfassen im Allgemeinen die Fluideigenschaften Dichte und Viskosität sowie eine Geschwindigkeit und eine charakteristische Länge oder Abmessung (L in der obigen Gleichung). Die Wahl dieser Abmessung ist eine Konvention – beispielsweise sind Radius und Durchmesser gleichermaßen gültig, um Kugeln oder Kreise zu beschreiben, wobei eine der beiden Größen konventionsgemäß gewählt wird. Bei Flugzeugen oder Schiffen kann die Länge oder Breite verwendet werden. Für Strömungen in Rohren oder für eine sich in einem Fluid bewegende Kugel wird heutzutage üblicherweise der Innendurchmesser verwendet. Für andere Formen wie rechteckige Rohre oder nicht-sphärische Objekte ist ein äquivalenter Durchmesser definiert. Für Fluide mit variabler Dichte, wie kompressible Gase, oder Fluide mit variabler Viskosität, wie nicht-Newtonsche Fluide , gelten spezielle Regeln. Auch die Geschwindigkeit kann unter bestimmten Umständen, insbesondere in Rührkesseln, konventionsbedingt sein.

In der Praxis reicht die Übereinstimmung der Reynolds-Zahl allein nicht aus, um Ähnlichkeit zu gewährleisten. Strömungen sind im Allgemeinen chaotisch, und bereits geringfügige Änderungen der Form und Oberflächenrauheit der Begrenzungsflächen können zu sehr unterschiedlichen Strömungen führen. Dennoch sind Reynolds-Zahlen ein wichtiger Richtwert und werden häufig verwendet.

Wenn wir wissen, dass die relevanten physikalischen Größen in einem physikalischen System nur sind , dann ist die Reynolds-Zahl im Wesentlichen durch das Buckinghamsche π-Theorem festgelegt . ${\displaystyle \rho ,u,L,\mu }$

Da es vier Größen gibt , diese aber nur drei Dimensionen (Länge, Zeit, Masse) besitzen, können wir betrachten , wobei es sich um reelle Zahlen handelt. Setzen wir die drei Dimensionen von auf null, erhalten wir drei unabhängige lineare Nebenbedingungen. Der Lösungsraum ist somit eindimensional und wird vom Vektor aufgespannt . ${\displaystyle \rho ,u,L,\mu }$${\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}}$${\displaystyle x_{1},...,x_{4}}$${\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}}$${\displaystyle (1,1,1,-1)}$

Somit ist jede dimensionslose Größe, die aus konstruiert wird, eine Funktion von , der Reynolds-Zahl. ${\displaystyle \rho ,u,L,\mu }$${\displaystyle \rho uL\mu ^{-1}}$

Alternativ können wir die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen (konvektive Form) verwenden : Nach dem Wegfall des Gravitationsterms besteht die linke Seite nur noch aus der Trägheitskraft und der Viskosität . Ihr Verhältnis liegt in der Größenordnung von , der Reynolds-Zahl. Diese Argumentation ist auf der Seite zum Scallop-Theorem ausführlich dargestellt .$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} }$$${\displaystyle {\mathbf {g}}}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} }$${\displaystyle \nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$${\displaystyle {\frac {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} }{\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }}\sim {\frac {u^{2}/L}{\nu u/L^{2}}}={\frac {uL}{\nu }}}$

Die Reynolds-Zahl kann ermittelt werden, indem man die dimensionslose Form der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen für ein newtonsches Fluid verwendet, ausgedrückt durch die Lagrange-Ableitung :

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {f} .}$

Jeder Term in der obigen Gleichung hat die Einheit einer Volumenkraft (Kraft pro Volumeneinheit) mit den Dimensionen eines Produkts aus Dichte und Beschleunigung. Jeder Term hängt somit von den genauen Messungen einer Strömung ab. Durch die Dimensionslosmachung der Gleichung, d. h. durch Multiplikation mit einem Faktor, dessen Einheiten umgekehrt proportional zur Basisgleichung sind, erhält man eine Form, die nicht direkt von den physikalischen Größen abhängt. Eine Möglichkeit, eine dimensionslose Gleichung zu erhalten, besteht darin, die gesamte Gleichung mit dem Faktor zu multiplizieren.

${\displaystyle {\frac {L}{\rho V^{2}}},}$

Wo

• V ist die mittlere Geschwindigkeit v oder v relativ zum Fluid (m/s).
• L ist die charakteristische Länge (m),
• ρ ist die Dichte des Fluids (kg/m³ ⁾ .

Wenn wir jetzt festlegen

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '&={\frac {\mathbf {v} }{V}},&p'&=p{\frac {1}{\rho V^{2}}},&\mathbf {f} '&=\mathbf {f} {\frac {L}{V^{2}}},&{\frac {\partial }{\partial t'}}&={\frac {L}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},&\nabla '&=L\nabla ,\end{aligned}}}$

Wir können die Navier-Stokes-Gleichung dimensionslos umschreiben:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} '}{Dt'}}=-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho LV}}\nabla '^{2}\mathbf {v} '+\mathbf {f} ',}$

wobei der Begriffμ/ρLV⁠ = ⁠1/Re.​

Abschließend lassen wir die Primzahlen zur besseren Lesbarkeit weg:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .}$

Deshalb sind mathematisch alle Newtonschen, inkompressiblen Strömungen mit derselben Reynolds-Zahl vergleichbar. Man beachte außerdem, dass in der obigen Gleichung die viskosen Terme für Re → ∞ verschwinden . Somit sind Strömungen mit hohen Reynolds-Zahlen in der freien Strömung annähernd reibungsfrei.

Osborne Reynolds untersuchte bekanntlich die Bedingungen, unter denen die Strömung von Flüssigkeiten in Rohren von laminarer Strömung in turbulente Strömung übergeht .

In seiner Arbeit von 1883 beschrieb Reynolds den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung in einem klassischen Experiment, in dem er das Verhalten der Wasserströmung bei unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten untersuchte, indem er einen kleinen Strom gefärbten Wassers in die Mitte einer klaren Wasserströmung in einem größeren Rohr einleitete.

Das größere Rohr bestand aus Glas, um das Verhalten der gefärbten Flüssigkeitsschicht beobachten zu können. Am Ende dieses Rohrs befand sich ein Durchflussregelventil, mit dem die Wassergeschwindigkeit im Rohr variiert werden konnte. Bei niedriger Geschwindigkeit blieb die gefärbte Schicht über die gesamte Länge des großen Rohrs klar abgegrenzt. Mit zunehmender Geschwindigkeit zerfiel die Schicht an einem bestimmten Punkt und verteilte sich im gesamten Querschnitt der Flüssigkeit. Dieser Punkt markierte den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung.

Aus diesen Experimenten entstand die dimensionslose Reynolds-Zahl für dynamische Ähnlichkeit – das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften. Reynolds schlug außerdem die heute als Reynolds-Mittelung turbulenter Strömungen bekannte Methode vor, bei der Größen wie die Geschwindigkeit als Summe von Mittelwert und Fluktuationskomponenten ausgedrückt werden. Diese Mittelung ermöglicht die Beschreibung turbulenter Strömungen im größeren Maßstab, beispielsweise mithilfe der Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen .

Bei der Strömung in einem Rohr oder Schlauch wird die Reynolds-Zahl im Allgemeinen wie folgt definiert ^{[ 11 ].}

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {uD_{\text{H}}}{\nu }}={\frac {\rho uD_{\text{H}}}{\mu }}={\frac {\rho QD_{\text{H}}}{\mu A}}={\frac {WD_{\text{H}}}{\mu A}},}$

Wo

• D _H ist der hydraulische Durchmesser des Rohres (der Innendurchmesser, wenn das Rohr kreisförmig ist) (m),
• Q ist der Volumenstrom (m³ ^/ s).
• A ist die Querschnittsfläche des Rohres( A = ⁠π D _H ²/4⁠ ) ​​(m ² ),
• u ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit des Fluids (m/s).
• μ (mu) ist die dynamische Viskosität des Fluids (Pa·s = N·s/m ² = kg/(m·s)),
• ν (nu) ist die kinematische Viskosität ( ν = ⁠μ/ρ⁠ ) ​​(m ² /s),
• ρ (rho) ist die Dichte des Fluids (kg/m³ ⁾ .
• W ist der Massenstrom des Fluids (kg/s).

Bei Formen wie quadratischen, rechteckigen oder ringförmigen Kanälen, bei denen Höhe und Breite vergleichbar sind, wird die charakteristische Abmessung für interne Strömungssituationen als der hydraulische Durchmesser D _{_H} definiert als

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4A}{P}},}$

Dabei ist A die Querschnittsfläche und P der benetzte Umfang . Der benetzte Umfang eines Kanals ist der Gesamtumfang aller Kanalwände, die mit der Strömung in Kontakt stehen. ^{[ 12 ]} Das bedeutet, dass die der Luft ausgesetzte Kanallänge nicht zum benetzten Umfang gehört.

Bei einem kreisförmigen Rohr entspricht der hydraulische Durchmesser exakt dem Innendurchmesser des Rohrs:

${\displaystyle D_{\text{H}}=D.}$

Bei einem ringförmigen Kanal, wie beispielsweise dem äußeren Kanal in einem Rohrbündelwärmetauscher , lässt sich der hydraulische Durchmesser algebraisch auf Folgendes reduzieren:

${\displaystyle D_{\text{H,annulus}}=D_{\text{o}}-D_{\text{i}},}$

Wo

• D _o ist der Innendurchmesser des Außenrohrs.
• D _i ist der Außendurchmesser des Innenrohrs.

Bei Berechnungen der Strömung in nicht kreisförmigen Kanälen kann der hydraulische Durchmesser mit hinreichender Genauigkeit anstelle des Durchmessers eines kreisförmigen Kanals verwendet werden, sofern das Seitenverhältnis AR des Kanalquerschnitts im Bereich von … bleibt .1/4⁠ < AR < 4. ^{[ 13 ]}

Experimente bestätigen, dass bei Grenzschichtströmungen über einer ebenen Platte eine laminare Grenzschicht nach einer bestimmten Strömungslänge instabil und turbulent wird. Diese Instabilität tritt in verschiedenen Skalen und bei verschiedenen Fluiden auf, üblicherweise wenn Re _x ≈5 × 10 ⁵ , ^{[ 14 ]} wobei x der Abstand von der Vorderkante der ebenen Platte ist und die Strömungsgeschwindigkeit die Freistromgeschwindigkeit des Fluids außerhalb der Grenzschicht ist.

Experimentelle Beobachtungen zeigen , dass bei einer voll ausgebildeten Strömung ^{[ n 2 ]} laminare Strömung bei Re _D < 2300 und turbulente Strömung bei Re _D > 2900 auftritt. ^{[ 15 ] [ 16 ]} Im unteren Bereich dieses Spektrums bildet sich eine kontinuierliche turbulente Strömung, jedoch erst in großer Entfernung vom Rohreinlass. Die Strömung dazwischen wechselt in unregelmäßigen Abständen zwischen laminarer und turbulenter Strömung – ein Phänomen, das als intermittierende Strömung bezeichnet wird. Dies ist auf die unterschiedlichen Geschwindigkeiten und Zustände des Fluids in verschiedenen Bereichen des Rohrquerschnitts zurückzuführen, die von Faktoren wie der Rohrrauheit und der Strömungsgleichmäßigkeit abhängen. Laminare Strömung dominiert tendenziell in der schnell fließenden Rohrmitte, während in Wandnähe langsamere turbulente Strömung vorherrscht. Mit steigender Reynolds-Zahl verlagert sich die kontinuierliche turbulente Strömung näher an den Einlass, und die dazwischenliegenden intermittierenden Strömungsphasen nehmen zu, bis die Strömung bei Re_{_D} > 2900 vollständig turbulent wird. ^{[ 15 ]} Dieses Ergebnis lässt sich mithilfe des hydraulischen Durchmessers auf nicht-kreisförmige Kanäle verallgemeinern , wodurch die Berechnung einer Übergangs-Reynolds-Zahl für andere Kanalformen ermöglicht wird. ^{[ 15 ]}

Diese Übergangs -Reynolds-Zahlen werden auch kritische Reynolds-Zahlen genannt und wurden um 1895 von Osborne Reynolds untersucht. ^{[ 8 ]} Die kritische Reynolds-Zahl ist für jede Geometrie unterschiedlich. ^{[ 17 ]}

Bei einer Strömung zwischen zwei parallelen, ebenen Flächen – wobei die Breite deutlich größer ist als der Abstand zwischen den Flächen – entspricht die charakteristische Abmessung dem Abstand zwischen den Flächen. ^{[ 18 ]} Dies stimmt mit den oben beschriebenen Fällen von Ring- und Rechteckkanälen überein, sofern ein bestimmtes Seitenverhältnis als Grenzwert angenommen wurde.

Zur Berechnung der Strömung einer Flüssigkeit mit freier Oberfläche muss der hydraulische Radius bestimmt werden. Dieser ergibt sich aus der Querschnittsfläche des Kanals dividiert durch den benetzten Umfang. Bei einem halbkreisförmigen Kanal beträgt er ein Viertel des Durchmessers (bei vollständiger Rohrströmung). Bei einem rechteckigen Kanal entspricht der hydraulische Radius der Querschnittsfläche dividiert durch den benetzten Umfang. Einige Publikationen verwenden eine charakteristische Längenskala, die dem Vierfachen des hydraulischen Radius entspricht, da sie denselben Reynolds-Zahl-Wert ( Re) für den Beginn der Turbulenz wie bei Rohrströmungen liefert ^{[ 19 ].} Andere Publikationen verwenden den hydraulischen Radius als charakteristische Längenskala, was zu unterschiedlichen Re -Werten für Übergangs- und turbulente Strömung führt.

Reynolds-Zahlen werden bei der Tragflügelauslegung unter anderem verwendet , um den Skaleneffekt bei der Berechnung/dem Vergleich von Eigenschaften zu berücksichtigen (ein winziger Flügel, der auf ein riesiges Format skaliert wird, verhält sich anders). ^{[ 20 ]} Strömungsmechaniker definieren die Reynolds-Zahl für die Flügeltiefe als R = Vc / ν , wobei V die Fluggeschwindigkeit, c die Flügeltiefe und ν die kinematische Viskosität des Fluids ist, in dem der Tragflügel arbeitet.1,460 × 10⁻⁵  m² ^/ s für die Atmosphäre auf Meereshöhe . ^{[ 21 ] In einigen speziellen Untersuchungen kann eine andere charakteristische Länge als die} Flügeltiefe verwendet werden; selten ist die „Spannweiten-Reynolds-Zahl“, die nicht mit den Spannweiten-Messpunkten an einem Flügel verwechselt werden darf, wo weiterhin die Flügeltiefe verwendet wird. ^{[ 22 ]}

Die Reynolds-Zahl für ein sich in einem Fluid bewegendes Objekt, die sogenannte Partikel-Reynolds-Zahl und oft mit Re _p abgekürzt , charakterisiert die Art der umgebenden Strömung und ihre Fallgeschwindigkeit.

Bei natürlich hoher Viskosität, wie beispielsweise in Polymerlösungen und Polymerschmelzen, ist die Strömung üblicherweise laminar. Die Reynolds-Zahl ist sehr klein, und das Stokes'sche Gesetz kann zur Messung der Viskosität des Fluids herangezogen werden. Kugeln werden durch das Fluid fallen gelassen und erreichen schnell ihre Endgeschwindigkeit , aus der die Viskosität bestimmt werden kann. ^{[ 23 ]}

Die laminare Strömung von Polymerlösungen wird von Tieren wie Fischen und Delfinen genutzt, die viskose Lösungen über ihre Haut absondern, um beim Schwimmen die Strömung über ihren Körper zu verbessern. ^{[ 24 ]} Im Yachtrennsport wird dieses Prinzip von Eignern eingesetzt, die sich einen Geschwindigkeitsvorteil verschaffen wollen, indem sie eine Polymerlösung, beispielsweise niedermolekulares Polyoxyethylen in Wasser, über die benetzte Oberfläche des Rumpfes pumpen.

Das Mischen von Polymeren stellt jedoch ein Problem dar, da Turbulenzen erforderlich sind, um beispielsweise feine Füllstoffe im Material zu verteilen. Erfindungen wie der „Kavitätstransfermischer“ wurden entwickelt, um in der Schmelze mehrere Faltungen zu erzeugen und so die Mischeffizienz zu verbessern . Das Gerät kann zur Unterstützung des Mischvorgangs an Extruder montiert werden.

Für eine Kugel in einem Fluid ist die charakteristische Längenskala der Durchmesser der Kugel und die charakteristische Geschwindigkeit diejenige der Kugel relativ zum Fluid in einem bestimmten Abstand von der Kugel, sodass die Bewegung der Kugel dieses Referenz-Fluidvolumen nicht beeinflusst. Dichte und Viskosität sind die des Fluids. ^{[ 25 ]} Es ist zu beachten, dass unter dieser Definition eine rein laminare Strömung nur bis zu einer Reynolds- Zahl von Re = 10 existiert .

Bei niedrigen Reynolds-Zahlen ( Re) wird der Zusammenhang zwischen Kraft und Bewegungsgeschwindigkeit durch das Stokes'sche Gesetz beschrieben . ^{[ 26 ]}

Bei höheren Reynolds-Zahlen hängt der Widerstand einer Kugel von der Oberflächenrauheit ab. So führt beispielsweise das Aufbringen von Vertiefungen auf die Oberfläche eines Golfballs dazu, dass die Grenzschicht auf der Anströmseite des Balls von laminar zu turbulent übergeht. Die turbulente Grenzschicht kann deutlich länger an der Balloberfläche anhaften als eine laminare und erzeugt dadurch einen schmaleren Unterdruckwirbel und somit einen geringeren Druckwiderstand. Durch die Reduzierung des Druckwiderstands fliegt der Ball weiter. ^{[ 27 ]}

Die Gleichung für einen Quader ist identisch mit der für eine Kugel, wobei der Quader näherungsweise als Ellipsoid betrachtet und die Längsachse als charakteristische Längenskala gewählt wird. Solche Überlegungen sind beispielsweise in natürlichen Fließgewässern wichtig, wo nur wenige perfekt kugelförmige Körner vorkommen. Bei Körnern, bei denen die Messung jeder Achse unpraktisch ist, werden stattdessen Siebdurchmesser als charakteristische Partikellängenskala verwendet. Beide Näherungen verändern die Werte der kritischen Reynolds-Zahl.

Die Reynolds-Zahl eines Partikels ist wichtig für die Bestimmung seiner Sinkgeschwindigkeit . Bei laminarer Strömung kann die Fallgeschwindigkeit oder Sinkgeschwindigkeit mithilfe des Stokes'schen Gesetzes berechnet werden. Bei turbulenter Strömung muss hingegen ein turbulentes Widerstandsgesetz aufgestellt werden, um die entsprechende Sinkgeschwindigkeit zu modellieren.

Bei einer Strömung durch ein Bett aus annähernd kugelförmigen Partikeln mit Durchmesser D _, die sich berühren, kann die Reynolds-Zahl, wenn der Porenanteil ε und die Oberflächengeschwindigkeit v s beträgt , wie folgt definiert werden ^{[ 28 ].}

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho v_{\text{s}}D}{\mu }},}$

oder

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho v_{\text{s}}D}{\mu \varepsilon }},}$

oder

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho v_{\text{s}}D}{\mu (1-\varepsilon )}}.}$

Die Wahl der Gleichung hängt vom jeweiligen System ab: Die erste Gleichung eignet sich gut zur Korrelation der Daten für verschiedene Arten von Schütt- und Wirbelschichten , die zweite Gleichung mit der Reynolds-Zahl eignet sich für Daten aus der flüssigen Phase, während die dritte Gleichung sich bei der Korrelation von Wirbelschichtdaten bewährt hat und ursprünglich für flüssige Wirbelschichtsysteme eingeführt wurde. ^{[ 28 ]}

Laminare Strömungsbedingungen herrschen bis zu einer Reynolds -Zahl von 10, vollständig turbulent ab einer Reynolds -Zahl von 2000. ^{[ 25 ]}

In einem zylindrischen Gefäß, das durch ein zentrales, rotierendes Rührwerk (Paddel, Turbine oder Propeller) gerührt wird, ist die charakteristische Abmessung der Durchmesser D des Rührwerks . Die Geschwindigkeit V beträgt ND , wobei N die Drehzahl in rad pro Sekunde ist. Die Reynolds-Zahl ist dann:

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho ND^{2}}{\mu }}={\frac {\rho VD}{\mu }}.}$

Für Re -Werte oberhalb von10 000 . ^{[ 29 ]}

Die bei voll ausgebildeter Strömung von Flüssigkeiten durch Rohre auftretenden Druckverluste ^{[ 30 ]} können mithilfe des Moody-Diagramms vorhergesagt werden , in dem der Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor f gegen die Reynolds-Zahl Re und die relative Rauheit aufgetragen wird .ε/DDas Diagramm veranschaulicht deutlich die laminaren, Übergangs- und turbulenten Strömungsregime in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl. Die Art der Rohrströmung hängt stark davon ab, ob es sich um eine laminare oder turbulente Strömung handelt .

Damit zwei Strömungen ähnlich sind, müssen sie die gleiche Geometrie sowie gleiche Reynolds- und Euler-Zahlen aufweisen . Beim Vergleich des Fluidverhaltens an entsprechenden Punkten in einem Modell und einer realen Strömung gilt Folgendes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Re} _{\text{m}}&=\mathrm {Re} ,\\\mathrm {Eu} _{\text{m}}&=\mathrm {Eu} ,\end{aligned}}}$

Dabei ist die Reynolds-Zahl für das Modell und die Reynolds-Zahl im Originalmaßstab, und analog dazu die Euler-Zahlen. ${\displaystyle \mathrm {Re} _{\text{m}}}$${\displaystyle \mathrm {Re} }$

Die Modellnummern und Konstruktionsnummern sollten im gleichen Verhältnis stehen, daher

${\displaystyle {\frac {p_{\text{m}}}{\rho _{\text{m}}v_{\text{m}}^{2}}}={\frac {p}{\rho v^{2}}}.}$

Dies ermöglicht es Ingenieuren, Experimente mit verkleinerten Modellen in Wasserkanälen oder Windkanälen durchzuführen und die Daten mit den realen Strömungen zu korrelieren. Dadurch werden Kosten während der Experimente und Laborzeit eingespart. Es ist zu beachten, dass für eine echte dynamische Ähnlichkeit unter Umständen auch andere dimensionslose Kennzahlen angepasst werden müssen, wie beispielsweise die Mach-Zahl bei kompressiblen Strömungen oder die Froude-Zahl für Strömungen in offenen Gerinnen. Manche Strömungen umfassen mehr dimensionslose Parameter, als mit den verfügbaren Geräten und Fluiden praktisch abgedeckt werden können. Daher muss entschieden werden, welche Parameter am wichtigsten sind. Für eine sinnvolle experimentelle Strömungsmodellierung sind daher einiges an Erfahrung und Urteilsvermögen seitens des Ingenieurs erforderlich.

Ein Beispiel, bei dem die Reynolds-Zahl allein nicht ausreicht, um die Ähnlichkeit von Strömungen (oder gar das Strömungsregime – laminar oder turbulent) zu bestimmen, sind begrenzte Strömungen, d. h. Strömungen, die durch Wände oder andere Begrenzungen eingeschränkt sind. Ein klassisches Beispiel hierfür ist die Taylor-Couette-Strömung , bei der auch das dimensionslose Verhältnis der Radien der begrenzenden Zylinder von Bedeutung ist, sowie zahlreiche technische Anwendungen, in denen diese Unterscheidungen eine wichtige Rolle spielen. ^{[ 31 ] [ 32 ]} Die Prinzipien dieser Einschränkungen wurden von Maurice Marie Alfred Couette und Geoffrey Ingram Taylor entwickelt und von Floris Takens und David Ruelle weiterentwickelt .

Typische Werte der Reynolds-Zahl ^{[ 33 ] [ 34 ]}

• Dictyostelium amoebae : ~ 1 × 10 ^{−6 [ 35 ]}
• Bakterien ~ 1 × 10 ⁻⁴
• Wimpertierchen ~ 1 × 10 ⁻¹
• Kleinster Fisch ~ 1
• Blutfluss im Gehirn ~ 1 × 10 ²
• Blutfluss in der Aorta ~ 1 × 10 ³
• Beginn der turbulenten Strömung ~ 2,3 × 10³ ^bis 5,0 × ^10⁴ für Rohrströmung bis 10⁶ ^für Grenzschichten
• Typischer Wurf in der Major League Baseball ~ 2 × 10 ⁵
• Personen schwimmen ~ 4 × 10 ⁶
• Schnellster Fisch ~ 1 × 10 ⁸
• Blauwal ~ 4 × 10 ⁸
• Ein großes Schiff ( Queen Elizabeth 2 ) ~ 5 × 10 ⁹
• Atmosphärischer tropischer Wirbelsturm ~ 1 × 10 ¹²

In einer turbulenten Strömung existiert ein Spektrum an zeitlich veränderlichen Strömungsgrößen. Die Größe der größten Strömungsgrößen (auch Wirbel genannt) wird durch die Gesamtgeometrie der Strömung bestimmt. Beispielsweise entsprechen die größten Strömungsgrößen in einem Industrieschornstein dem Durchmesser des Schornsteins selbst. Die Größe der kleinsten Größen wird durch die Reynolds-Zahl bestimmt. Mit steigender Reynolds-Zahl werden immer kleinere Strömungsgrößen sichtbar. In einem Schornstein kann der Rauch neben großen, voluminösen Wirbeln viele sehr kleine Geschwindigkeitsstörungen oder Wirbel aufweisen. In diesem Sinne ist die Reynolds-Zahl ein Indikator für das Spektrum der Strömungsgrößen. Je höher die Reynolds-Zahl, desto größer ist das Spektrum. Die größten Wirbel haben stets die gleiche Größe; die kleinsten Wirbel werden durch die Reynolds-Zahl bestimmt.

Wie lässt sich dieses Phänomen erklären? Eine hohe Reynolds-Zahl deutet darauf hin, dass viskose Kräfte auf großen Strömungsskalen vernachlässigbar sind. Bei einem deutlichen Überwiegen der Trägheitskräfte gegenüber den viskosen Kräften bleiben die größten Skalen der Fluidbewegung ungedämpft – die Viskosität reicht nicht aus, um ihre Bewegungen zu dissipieren. Die kinetische Energie muss von diesen großen Skalen auf immer kleinere Skalen „kaskadieren“, bis eine Skala erreicht ist, auf der die Viskosität relevant wird (d. h., die viskosen Kräfte erreichen die Größenordnung der Trägheitskräfte). Auf diesen kleinen Skalen findet schließlich die Dissipation der Energie durch viskose Wirkung statt. Die Reynolds-Zahl gibt an, auf welcher Skala diese viskose Dissipation erfolgt. ^{[ 36 ]}

Das Gesetz von Poiseuille über die Blutzirkulation im Körper ist von laminarer Strömung abhängig . ^{[ 37 ]} Bei turbulenter Strömung ist die Durchflussrate proportional zur Quadratwurzel des Druckgradienten, im Gegensatz zur direkten Proportionalität zum Druckgradienten bei laminarer Strömung.

Anhand der Definition der Reynolds-Zahl lässt sich erkennen, dass ein großer Durchmesser bei hoher Strömungsgeschwindigkeit und hoher Blutdichte zu Turbulenzen neigt. Schnelle Änderungen des Gefäßdurchmessers können turbulente Strömungen verursachen, beispielsweise wenn sich ein engeres Gefäß zu einem größeren erweitert. Auch eine Atheromausbuchtung kann turbulente Strömungen hervorrufen, die sich mit einem Stethoskop hörbar feststellen lassen. ^{[ 38 ]}

Die Interpretation der Reynolds-Zahl wurde auf beliebige komplexe Systeme , wie beispielsweise Finanzströme ^{[ 39 ]} , nichtlineare Netzwerke usw., erweitert. Im letzteren Fall wird eine künstliche Viskosität auf einen nichtlinearen Mechanismus der Energieverteilung in komplexen Netzwerkmedien reduziert. Die Reynolds-Zahl stellt dann einen grundlegenden Kontrollparameter dar, der das Gleichgewicht zwischen zugeführtem und abgeführtem Energiefluss in einem System mit offenen Rändern ausdrückt. Es wurde gezeigt, dass der kritische Bereich der Reynolds-Zahl zwei Arten von Phasenraumbewegungen trennt: Beschleunigung (Attraktor) und Verzögerung ^{[ 40 ]} . Eine hohe Reynolds-Zahl führt nur im Rahmen des Modells seltsamer Attraktoren zu einem Übergang in ein chaotisches Regime .

In der Strömungsmechanik gibt es viele dimensionslose Kennzahlen . Die Reynolds-Zahl misst das Verhältnis von Advektions- und Diffusionseffekten auf Strukturen im Geschwindigkeitsfeld und ist daher eng mit den Péclet-Zahlen verwandt , welche das Verhältnis dieser Effekte auf andere, von der Strömung transportierte Felder, beispielsweise Temperatur und Magnetfelder, messen. Ersetzung der kinematischen Viskosität ν =μ/ρDie thermische bzw. magnetische Diffusivität in Re führt zur thermischen Péclet-Zahl bzw. zur magnetischen Reynolds-Zahl . Diese stehen daher in Zusammenhang mit Re -Nebenprodukten, die Diffusionskoeffizientenverhältnisse aufweisen, nämlich der Prandtl-Zahl und der magnetischen Prandtl-Zahl .

• Reynolds-Transportsatz  – 3D-Verallgemeinerung der Leibniz-Integralregel
• Widerstandsbeiwert  – Dimensionsloser Parameter zur Quantifizierung des Strömungswiderstands
• Ablagerung (Geologie)  – Natürliche Zufuhr von Materialien zu einer Landmasse
• Kelvin-Helmholtz-Instabilität

• Die Reynolds-Zahl – Die Feynman-Vorlesungen über Physik
• Die Reynolds-Zahl bei sechzig Symbolen
• Kurzbiografie von Reynolds und Abbildung des Originalapparats an der Universität Manchester.
• Reynolds-Zahl-Berechnung