Magischer Kreis (Mathematik)

Magische Kreise wurden von dem chinesischen Mathematiker Yang Hui (ca. 1238–1298) aus der Song-Dynastie (960–1279) erfunden . Dabei handelt es sich um die Anordnung natürlicher Zahlen auf Kreisen, wobei die Summe der Zahlen auf jedem Kreis und die Summe der Zahlen auf den Durchmessern identisch ist. Einer seiner magischen Kreise bestand aus den natürlichen Zahlen von 1 bis 33, die auf vier konzentrischen Kreisen mit der Zahl 9 im Zentrum angeordnet waren .

Yang Huis Serie magischer Kreise wurde in seinem Werk Xugu Zhaiqi Suanfa《續古摘奇算法》 (Fortsetzung von Auszügen mathematischer Wunder) aus dem Jahr 1275 veröffentlicht. Seine Serie magischer Kreise umfasst: magische 5 Kreise im Quadrat, 6 Kreise im Ring, magische acht Kreise im Quadrat, magische konzentrische Kreise, magische 9 Kreise im Quadrat.

Yang Huis magischer konzentrischer Kreis besitzt folgende Eigenschaften

• Die Summe der Zahlen auf den vier Durchmessern beträgt 147.
  • 28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147
• Die Summe der 8 Zahlen plus der 9 in der Mitte ergibt 147;
  • 28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147
• Die Summe von acht Radien ohne 9 ergibt die magische Zahl 69: zum Beispiel 27 + 15 + 3 + 24 = 69
• Die Summe aller Zahlen auf jedem Kreis (ohne die 9) = 2 × 69
• Es gibt 8 Halbkreise , bei denen die Summe der Zahlen gleich der magischen Zahl 69 ist; es gibt 16 Liniensegmente (Halbkreise und Radien) mit der magischen Zahl 69, mehr als ein magisches Quadrat 6. Ordnung mit nur 12 magischen Zahlen.

64 Zahlen (1–64) sind in acht Kreisen angeordnet, jeder mit acht Zahlen; die Summe jedes Kreises beträgt 260. Die Gesamtsumme aller Zahlen ist 2080 (=8 × 260). Die Kreise sind in einem 3 × 3-Quadratgitter angeordnet, wobei die Mitte offen ist. Dadurch ergibt sich auch in den mittleren Spalten und Zeilen eine horizontale/vertikale Summe von 260 und eine Gesamtsumme der Zahlen entlang beider Diagonalen von 520.

72 Zahlen von 1 bis 72, angeordnet in neun Kreisen mit je acht Zahlen in einem Quadrat; wobei benachbarte Zahlen vier weitere Kreise mit je acht Zahlen bilden: insgesamt also 13 Kreise mit je acht Zahlen:

Der zusätzliche Kreis x1 enthält Zahlen aus den Kreisen NW, N, C und W; x2 enthält Zahlen aus den Kreisen N, NE, E und C; x3 enthält Zahlen aus den Kreisen W, C, S und SW; x4 enthält Zahlen aus den Kreisen C, E, SE und S.

• Die Gesamtsumme der 72 Zahlen beträgt 2628;
• Die Summe der Zahlen in einem beliebigen Achterkreis beträgt 292.
• Summe der drei Kreise entlang horizontaler Linien = 876;
• Summe der drei Kreise entlang vertikaler Linien = 876;
• Die Summe der drei Kreise entlang der Diagonalen beträgt 876.

Ding Yidong war ein Mathematiker und Zeitgenosse von Yang Hui. In seinem magischen Kreis mit 6 Ringen bilden die Einheitszahlen der 5 äußeren Ringe, kombiniert mit der Einheitszahl des mittleren Rings, das folgende magische Quadrat :

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Bauweise:

Sei die Radialgruppe 1 = 1, 11, 21, 31, 41

Sei die Radialgruppe 2=2,12,22,32,42

Sei die Radialgruppe 3=3,13,23,33,43

Sei die Radialgruppe 4=4,14,24,34,44

Sei die Radialgruppe 6=6,16,26,36,46

Sei die Radialgruppe 7=7,17,27,37,47

Sei die Radialgruppe 8=8,18,28,38,48

Sei die Radialgruppe 9=9,19,29,39,49

Sei die Zentrumsgruppe = 5, 15, 25, 35, 45

Ordne die Gruppe 1,2,3,4,6,7,9 radial so an, dass

• Jede Zahl belegt eine Position auf dem Kreis.
• Die Richtung wird abwechselnd so gewählt, dass der eine Radial die kleinste Zahl außen und der benachbarte Radial die größte Zahl außen aufweist.
• Jede Gruppe nimmt die radiale Position ein, die der Zahl auf dem Luoshu-Zauberquadrat entspricht, d.h. Gruppe 1 an Position 1, Gruppe 2 an Position 2 usw.
• Ordnen Sie schließlich die mittlere Gruppe im Mittelpunkt so an, dass

Nummer 5 auf der Gruppe 1 radial

Nummer 10 auf Gruppe 2 radial

Nummer 15 auf Gruppe 3 radial

...

Nummer 45 auf Gruppe 9 radial

Cheng Dawei, ein Mathematiker der Ming-Dynastie, listete in seinem Buch Suanfa Tongzong mehrere magische Kreise auf.

Im Jahr 1917 veröffentlichte W. S. Andrews eine Anordnung der Zahlen 1, 2, 3 und 62 in elf Kreisen mit jeweils zwölf Zahlen auf einer Kugel , die die Breiten- und Längenkreise der Erde darstellt, sodass jeder Kreis 12 Zahlen mit einer Gesamtsumme von 378 enthält. ^{[ 1 ]}

Ein magischer Kreis lässt sich aus einem oder mehreren magischen Quadraten erzeugen, indem man an jedem Schnittpunkt eines Kreises mit einer Speiche eine Zahl einträgt. Weitere Speichen können hinzugefügt werden, indem man die Spalten des magischen Quadrats kopiert.

Im Beispiel in der Abbildung wurde das folgende 4 × 4 -Magische Quadrat in den oberen Teil des Magischen Kreises kopiert. Jede Zahl, addiert zu 16, wurde an den Schnittpunkt symmetrisch zum Mittelpunkt der Kreise gesetzt. Dadurch entsteht ein Magischer Kreis mit den Zahlen 1 bis 32, wobei die Summe aus Kreis und Durchmesser jeweils 132 ergibt. ^{[ 1 ]}

• Lam Lay Yong: A Critical Study of Hang Hui Suan Fa 《杨辉算法》 Singapore University Press 1977
• Wu Wenjun (Chefredakteur), Große Reihe zur Geschichte der chinesischen Mathematik, Bd. 6, Teil 6 Yang Hui, Abschnitt 2 Magischer Kreis (吴文俊 主编 沈康身执笔 《中国数学史大系》 第六卷ISBN​ 7-303-04926-6/O