Ein mathematisches Problem ist ein Problem, das sich mithilfe mathematischer Methoden darstellen , analysieren und gegebenenfalls lösen lässt . Es kann sich dabei um ein Problem aus der realen Welt handeln, wie etwa die Berechnung der Planetenbahnen im Sonnensystem , oder um ein abstrakteres Problem, wie beispielsweise Hilberts Probleme . Auch Probleme, die das Wesen der Mathematik selbst betreffen, wie etwa Russells Paradoxon , fallen darunter .

Probleme aus der realen Welt

Informelle, praxisnahe mathematische Probleme beziehen sich auf konkrete Situationen, wie zum Beispiel: „Adam hat fünf Äpfel und gibt John drei. Wie viele bleiben ihm übrig?“ Solche Fragen sind in der Regel schwieriger zu lösen als klassische Rechenaufgaben wie „5 − 3“, selbst wenn man die mathematischen Grundlagen beherrscht. Diese sogenannten Textaufgaben werden im Mathematikunterricht eingesetzt , um Schülerinnen und Schülern zu helfen, reale Situationen mit der abstrakten Sprache der Mathematik zu verknüpfen.

Um mithilfe der Mathematik ein reales Problem zu lösen, besteht der erste Schritt im Allgemeinen darin, ein mathematisches Modell des Problems zu erstellen. Dies erfordert eine Abstraktion von den Details des Problems, und der Modellierer muss darauf achten, bei der Übersetzung des ursprünglichen Problems in ein mathematisches Modell keine wesentlichen Aspekte zu verlieren. Nachdem das Problem mathematisch gelöst wurde, muss die Lösung wieder in den Kontext des ursprünglichen Problems zurückübertragen werden.

Abstrakte Probleme

Abstrakte mathematische Probleme treten in allen Bereichen der Mathematik auf. Mathematiker untersuchen sie üblicherweise um ihrer selbst willen, doch können dabei Ergebnisse erzielt werden, die auch außerhalb der Mathematik Anwendung finden. Die theoretische Physik war historisch gesehen eine ergiebige Inspirationsquelle .

Manche abstrakte Probleme sind nachweislich unlösbar, etwa die Quadratur des Kreises und die Drittelung des Winkels ausschließlich mit Zirkel und Lineal der klassischen Geometrie sowie die algebraische Lösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades . Ebenfalls nachweislich unlösbar sind sogenannte unentscheidbare Probleme , wie beispielsweise das Halteproblem für Turingmaschinen .

Zu den bekannten schwierigen abstrakten Problemen, die erst vor relativ kurzer Zeit gelöst wurden, gehören der Vierfarbensatz , der Fermatsche Satz und die Poincaré-Vermutung .

Computer benötigen kein Verständnis für die Motivationen von Mathematikern, um ihre Aufgaben zu erfüllen. [ 1 ] Formale Definitionen und computerüberprüfbare Deduktionen sind jedoch absolut zentral für die mathematische Wissenschaft .

Reduzierung von Problemen auf Übungen

Mathematikdidaktiker, die Problemlösungsmethoden zur Leistungsbeurteilung einsetzen, stehen vor einem Problem, das Alan H. Schoenfeld wie folgt formuliert hat :

Wie lassen sich Testergebnisse von Jahr zu Jahr vergleichen, wenn sehr unterschiedliche Aufgaben verwendet werden? (Werden Jahr für Jahr ähnliche Aufgaben verwendet, lernen Lehrer und Schüler diese kennen, die Schüler üben sie: Aufgaben werden zu Übungen , und der Test misst nicht mehr das Problemlösungsvermögen.) [ 2 ]

Vor demselben Problem stand Sylvestre Lacroix fast zwei Jahrhunderte zuvor:

... daher ist es notwendig, die Fragen zu variieren, die die Studierenden untereinander stellen könnten. Auch wenn sie die Prüfung nicht bestehen, könnten sie sie später bestehen. Eine ungleiche Verteilung der Fragen, der Themen oder der Antworten birgt somit das Risiko, die Möglichkeit eines präzisen Vergleichs der Kandidaten untereinander zu verpassen. [ 3 ]

Eine solche Reduzierung von Problemen zu Übungen ist charakteristisch für die Mathematik in der Geschichte. So schrieb beispielsweise Andrew Warwick in seiner Beschreibung der Vorbereitungen auf den Cambridge Mathematical Tripos im 19. Jahrhundert:

... viele Familien der damals üblichen Probleme hatten ursprünglich die Fähigkeiten der größten Mathematiker des 18. Jahrhunderts auf die Probe gestellt. [ 4 ]

Siehe auch

Referenzen

  1. ^ ( Newby & Newby 2008 ), „Der zweite Test besteht darin, dass solche Maschinen zwar viele Dinge mit gleicher oder vielleicht sogar größerer Perfektion als jeder von uns ausführen könnten, sie aber zweifellos bei bestimmten anderen Dingen versagen würden, woraus sich schließen ließe, dass sie nicht aufgrund von Wissen handeln , sondern allein aufgrund der Anordnung ihrer Organe: Denn während die Vernunft ein universelles Instrument ist, das bei jeder Gelegenheit gleichermaßen zur Verfügung steht, benötigen diese Organe im Gegenteil für jede einzelne Handlung eine besondere Anordnung; daher muss es moralisch unmöglich sein, dass in irgendeiner Maschine eine Vielfalt von Organen existiert, die ausreicht, um sie in die Lage zu versetzen, in allen Lebenslagen so zu handeln, wie es unsere Vernunft uns ermöglicht zu handeln.“ übersetzt aus( Descartes 1637 ), Seite = 57 , „Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs selecteds aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient unfehliblement en quelques autres, par lessources on découuriroit quelles n'agiroient pas par Wissen, vor allem wegen der Disposition ihrer Orgeln, aber weil die Daseinsberechtigung ein universelles Instrument ist, das in allen möglichen Begegnungen eingesetzt werden kann, müssen diese Orgeln eine besondere Disposition für jede einzelne Aktion haben de diuers In einer Maschine, um die Welt zu erobern und alle Ereignisse des Lebens zu beobachten, war es für mich ein Leichtes, dass unsere Daseinsberechtigung für uns bestanden hat.
  2. ^ Alan H. Schoenfeld (Hrsg.) (2007) Assessing mathematical proficiency , Vorwort Seiten x, xi, Mathematical Sciences Research Institute, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-87492-2
  3. ^ SF Lacroix (1816) Essais sur l'enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier , Seite 201
  4. ^ Andrew Warwick (2003) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics , Seite 145 , University of Chicago Press ISBN 0-226-87375-7