Kantor-Set

In der Mathematik ist die Cantor-Menge eine selbstähnliche Menge von Punkten auf einer einzigen Geraden , die einige unerwartete Eigenschaften aufweist. Sie wurde 1874 von Henry John Stephen Smith entdeckt ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} und 1883 von dem deutschen Mathematiker Georg Cantor erwähnt. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Da sie sich von einem linearen Kontinuum unterscheidet, wird die Cantor-Menge auch als Cantor-Diskontinuum bezeichnet . ^{[ 7 ]}

Durch die Betrachtung dieser Menge legten Cantor und andere die Grundlagen der modernen Punktmengentopologie . Die gebräuchlichste Konstruktion ist die Cantor-Ternärmenge , die entsteht, indem man das mittlere Drittel einer Strecke entfernt und diesen Vorgang mit den verbleibenden kürzeren Strecken wiederholt. Cantor erwähnte diese Ternärkonstruktion nur beiläufig als Beispiel für eine perfekte Menge , die nirgends dicht ist . ^{[ 5 ]}

Allgemeiner ist in der Topologie ein Cantor-Raum ein topologischer Raum, der homöomorph zur ternären Cantor-Menge (mit ihrer Unterraumtopologie) ist. Die Cantor-Menge ist auf natürliche Weise homöomorph zum abzählbaren Produkt des diskreten Zwei-Punkt-Raums . Nach einem Satz von L. E. J. Brouwer ist dies äquivalent dazu, dass der Raum perfekt, nichtleer, kompakt, metrisierbar und nulldimensional ist. ^{[ 8 ]}${\displaystyle {\underline {2}}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle {\underline {2}}}$

Die Cantor-Menge entsteht durch iteratives Entfernen des mittleren Drittels aus einer Menge von Strecken. Man beginnt, indem man das mittlere Drittel aus dem Intervall entfernt , sodass zwei Strecken übrig bleiben: . Anschließend wird das mittlere Drittel jeder dieser verbleibenden Strecken entfernt, sodass vier Strecken übrig bleiben: . Die Cantor-Menge enthält alle Punkte im Intervall , die in keinem Schritt dieses unendlichen Prozesses entfernt werden . Dieselbe Konstruktion lässt sich rekursiv beschreiben, indem man setzt. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$${\displaystyle \textstyle \left[0,1\right]}$${\textstyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$${\textstyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$

Und

${\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}{\bigl (}C_{n-1}\cup \left(2+C_{n-1}\right){\bigr )}}$

für , so dass ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}:=\lim _{n\to \infty }C_{n}=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}}$ für jeden .${\displaystyle m\geq 0}$

Die ersten sechs Schritte dieses Prozesses werden im Folgenden dargestellt.

Unter Verwendung der Idee selbstähnlicher Transformationen und der expliziten geschlossenen Formeln für die Cantor-Menge ^{[ 9 ]}${\displaystyle T_{L}(x)=x/3,}$${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$${\displaystyle C_{n}=T_{L}(C_{n-1})\cup T_{R}(C_{n-1}),}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=[0,1]\,\smallsetminus \,\bigcup _{n=0}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)\!,}$

wobei jedes mittlere Drittel als offenes Intervall aus dem es umgebenden geschlossenen Intervall entfernt wird , oder ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)}$${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n+1}}},{\frac {3k+3}{3^{n+1}}}\right]=\left[{\frac {k+0}{3^{n}}},{\frac {k+1}{3^{n}}}\right]}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\right)\!,}$

wobei das mittlere Drittel des vorstehenden geschlossenen Intervalls durch Schnittpunkt mit entfernt wird${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n}}},{\frac {3k+2}{3^{n}}}\right)}$${\textstyle \left[{\frac {k+0}{3^{n-1}}},{\frac {k+1}{3^{n-1}}}\right]=\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\!.}$

Dieses Verfahren des Entfernens des mittleren Drittels ist ein einfaches Beispiel für eine endliche Unterteilungsregel . Das Komplement der Cantor-Ternärmenge ist ein Beispiel für eine fraktale Zeichenkette .

Arithmetisch gesehen besteht die Cantor-Menge aus allen reellen Zahlen des Einheitsintervalls , die ohne die Ziffer 1 als ternärer Bruch (Basis 3) dargestellt werden können. Jeder Punkt der Cantor-Menge ist eindeutig durch einen Pfad in einem unendlich tiefen Binärbaum lokalisiert , wobei der Pfad auf jeder Ebene nach links oder rechts abbiegt, je nachdem, auf welcher Seite eines gelöschten Segments der Punkt liegt. Die Darstellung jeder Linkskurve mit 0 und jeder Rechtskurve mit 2 ergibt den ternären Bruch für einen Punkt. Die Notwendigkeit der Ziffer 1 ist entscheidend: , das zur Cantor-Menge gehört, kann als geschrieben werden , aber auch als , was keine 1 enthält und einer anfänglichen Linkskurve gefolgt von unendlich vielen Rechtskurven im Binärbaum entspricht. ${\displaystyle [0,1]}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$${\textstyle 0.1}$${\textstyle 0.0{\bar {2}}}$

In seinem Werk „Die fraktale Geometrie der Natur“ liefert der Mathematiker Benoit Mandelbrot ein anschauliches Gedankenexperiment, um auch Lesern ohne mathematische Vorkenntnisse die Entstehung der fraktalen Geometrie zu verdeutlichen . Er beginnt mit der Vorstellung eines Stabes, beispielsweise aus leichtem Metall, dessen Material sich durch wiederholtes Verschieben zu seinen Enden hin „gerinnen“ kann. Während die Segmente des Stabes kleiner werden, bilden sie dünne, dichte Stränge, die schließlich so klein und schwach werden, dass sie nicht mehr sichtbar sind.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

GERINNEN: Die Konstruktion des Cantor-Balkens ist das Ergebnis eines Prozesses, den ich Gerinnung nenne. Er beginnt mit einem runden Stab. Man kann sich diesen am besten als sehr dünn vorstellen. Dann „gerinnen“ Materie aus dem mittleren Drittel des Stabs in die äußeren Drittel, sodass deren Positionen unverändert bleiben. Anschließend gerinnen Materie aus dem mittleren Drittel jedes äußeren Drittels in dessen äußeres Drittel usw., bis unendlich viele unendlich dünne Schichten unendlich hoher Dichte übrig bleiben. Diese Schichten sind entlang der Linie in der durch den Entstehungsprozess vorgegebenen Weise angeordnet. In dieser Abbildung endet das Gerinnen (das schließlich das Hämmern erfordert!), sobald sowohl die Druckpresse als auch unser Auge aufhören, der Linie zu folgen; die letzte Linie ist von der vorletzten nicht mehr zu unterscheiden: Jedes ihrer letzten Teile erscheint als graue Schicht und nicht als zwei parallele schwarze Schichten. ^{[ 10 ]}

Da die Cantor-Menge als die Menge der nicht ausgeschlossenen Punkte definiert ist, kann der Anteil (d. h. das Maß ) des verbleibenden Einheitsintervalls durch die insgesamt entfernte Länge bestimmt werden. Diese Gesamtlänge ist die geometrische Folge.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.}$

So dass der verbleibende Anteil . ${\displaystyle 1-1=0}$

Diese Berechnung legt nahe, dass die Cantor-Menge kein Intervall mit von Null verschiedener Länge enthalten kann. Es mag überraschend erscheinen, dass überhaupt etwas übrig bleibt – schließlich entspricht die Summe der Längen der entfernten Intervalle der Länge des ursprünglichen Intervalls. Eine genauere Betrachtung des Vorgangs zeigt jedoch, dass etwas übrig bleiben muss, da das Entfernen des „mittleren Drittels“ jedes Intervalls das Entfernen offener Mengen (Mengen, die ihre Endpunkte nicht enthalten) beinhaltete. Das Entfernen der Strecke aus dem ursprünglichen Intervall lässt also die Punkte übrig .${\textstyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$${\displaystyle [0,1]}$1/3und​​2/3In den nachfolgenden Schritten werden diese (oder andere) Endpunkte nicht entfernt, da die entfernten Intervalle stets innerhalb der verbleibenden Intervalle liegen. Daher ist die Cantor-Menge nicht leer und enthält tatsächlich überabzählbar unendlich viele Punkte (wie aus der obigen Beschreibung anhand von Pfaden in einem unendlichen Binärbaum hervorgeht).

Es mag den Anschein haben, als wären nur noch die Endpunkte der Bauabschnitte übrig, aber auch das ist nicht der Fall. Die Zahl1/4Beispielsweise hat die eindeutige ternäre Form 0,020202... = 0,02 . Sie befindet sich im unteren Drittel, im oberen Drittel dieses Drittels, im unteren Drittel dieses oberen Drittels usw. Da sie nie in einem der mittleren Segmente vorkommt, wird sie nie entfernt. Sie ist jedoch auch kein Endpunkt eines mittleren Segments, da sie kein Vielfaches einer Potenz von ist .1/3⁠ . ^{[ 11 ]} Alle Endpunkte von Segmenten sind endliche ternäre Brüche und sind in der Menge enthalten

${\displaystyle \left\{x\in [0,1]\mid \exists i\in \mathbb {N} _{0}:x\,3^{i}\in \mathbb {Z} \right\}\qquad {\Bigl (}\subset \mathbb {N} _{0}\,3^{-\mathbb {N} _{0}}{\Bigr )}}$

welche eine abzählbar unendliche Menge ist. Was die Kardinalität betrifft , so sind fast alle Elemente der Cantor-Menge weder Endpunkte von Intervallen noch rationale Punkte wie ⁠1/4⁠ . Tatsächlich ist die gesamte Cantor-Menge nicht zählbar.

Man kann zeigen, dass in diesem Prozess genauso viele Punkte übrig bleiben wie zu Beginn vorhanden waren und dass die Cantor-Menge daher überabzählbar ist . Dazu zeigen wir, dass es eine surjektive Funktion f von der Cantor-Menge in das abgeschlossene Intervall gibt (d. h . f bildet von auf ab ), sodass die Kardinalität von nicht kleiner als die von ist . Da eine Teilmenge von ist , ist auch ihre Kardinalität nicht größer, sodass die beiden Kardinalitäten nach dem Satz von Cantor-Bernstein-Schröder tatsächlich gleich sein müssen . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$

Um diese Funktion zu konstruieren, betrachten wir die Punkte im Intervall mithilfe der ternären Notation zur Basis 3. Erinnern wir uns daran, dass die echten ternären Brüche, genauer gesagt die Elemente von , in dieser Notation mehrere Darstellungen zulassen, wie zum Beispiel ⁠${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$1/3, das kann geschrieben werden als 0,1 ₃ = 0,1 0 ₃ , aber auch als 0,0222... ₃ = 0,0 2 ₃ , und2/3Das kann man schreiben als 0,2 ₃ = 0,2 0 ₃ , aber auch als 0,1222... ₃ = 0,1 2 _3. ^{[ 12 ]} Wenn wir das mittlere Drittel entfernen, enthält dies die Zahlen mit ternären Ziffern der Form 0,1xxxxx... ₃ , wobei xxxxx... ₃ strikt zwischen 00000... ₃ und 22222... ₃ liegt . Die nach dem ersten Schritt verbleibenden Zahlen bestehen also aus

• Zahlen der Form 0,0xxxxx... ₃ (einschließlich 0,022222... ₃ = 1/3)
• Zahlen der Form 0,2xxxxx... ₃ (einschließlich 0,222222... ₃ = 1)

Dies lässt sich zusammenfassen, indem man sagt, dass diejenigen Zahlen, die sich in einer ternären Darstellung darstellen lassen und deren erste Ziffer nach dem Komma nicht 1 ist, diejenigen sind, die nach dem ersten Schritt übrig bleiben.

Im zweiten Schritt werden Zahlen der Form 0,01xxxx... ₃ und 0,21xxxx... ₃ entfernt , und (bei entsprechender Berücksichtigung der Endpunkte) kann man schließen, dass die verbleibenden Zahlen solche mit einer ternären Zahl sind, bei der keine der ersten beiden Ziffern 1 ist.

Auf diese Weise fortfahrend, muss eine Zahl, um im Schritt n nicht ausgeschlossen zu werden , eine ternäre Darstellung besitzen, deren n -te Ziffer nicht 1 ist. Damit eine Zahl zur Cantor-Menge gehört, darf sie in keinem Schritt ausgeschlossen werden und muss eine numerische Darstellung zulassen, die ausschließlich aus 0 und 2 besteht.

Es ist wichtig zu betonen, dass Zahlen wie 1, ⁠1/3⁠ = 0,1 ₃ und ⁠7/9⁠ = 0,21 ₃ gehören zur Cantor-Menge, da ihre ternären Ziffern ausschließlich aus 0 und 2 bestehen: 1 = 0,222 ... ₃ = 0,23 _, ⁠1/3= 0,0222... 3 ₌ 0,0 2 ₃ und7/9= 0,20222... ₃ = 0,20 2 ₃ . Alle letzteren Zahlen sind „Endpunkte“, und diese Beispiele sind rechte Grenzwerte von . Dasselbe gilt für die linken Grenzwerte von , z . B.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$2/3= 0,1222... ₃ = 0,1 2 ₃ = 0,2 0 ₃ und8/9= 0,21222... ₃ = 0,21 2 ₃ = 0,22 0 ₃ . Alle diese Endpunkte sind echte ternäre Brüche (Elemente von ) der Form ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$P/Q, wobei der Nenner q eine Dreierpotenz ist, wenn der Bruch in seiner irreduziblen Form vorliegt. ^{[ 11 ]} Die ternäre Darstellung dieser Brüche terminiert (d. h. ist endlich) oder – wie bereits erwähnt, haben echte ternäre Brüche jeweils 2 Darstellungen – ist unendlich und endet entweder mit unendlich vielen wiederkehrenden Nullen oder mit unendlich vielen wiederkehrenden Zweien. Ein solcher Bruch ist ein linker Häufungspunkt von , wenn seine ternäre Darstellung keine Einsen enthält und mit unendlich vielen wiederkehrenden Nullen endet. Analog ist ein echter ternärer Bruch ein rechter Häufungspunkt von , wenn seine ternäre Entwicklung wiederum keine Einsen enthält und mit unendlich vielen wiederkehrenden Zweien endet. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Diese Menge von Endpunkten ist dicht in (aber nicht dicht in ) und bildet eine abzählbar unendliche Menge. Die Zahlen, in denen keine Endpunkte sind, haben in ihrer ternären Darstellung ebenfalls nur 0 und 2, können aber nicht mit einer unendlichen Wiederholung der Ziffer 0 oder der Ziffer 2 enden, da sie sonst ein Endpunkt wären. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Die Funktion von nach wird definiert, indem man die ternären Ziffern nimmt, die ausschließlich aus 0 und 2 bestehen, alle 2 durch 1 ersetzt und die Folge als Binärdarstellung einer reellen Zahl interpretiert . In einer Formel: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}$ Wo ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}$

Für jede Zahl y in ℝ kann ihre Binärdarstellung in eine Ternärdarstellung einer Zahl x in ℝ umgewandelt werden , indem alle Einsen durch Zweien ersetzt werden. Damit gilt f ( x ) = y, sodass y im Wertebereich von f liegt . Zum Beispiel, wenn y = ⁠${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$3/5= 0,100110011001... 2 ₌ 0,1001 , schreiben wir x = 0,2002 = 0,200220022002... ₃ =7/10Folglich ist f surjektiv. Allerdings ist f nicht injektiv – die Werte, für die f ( x ) übereinstimmt , liegen an den gegenüberliegenden Enden eines der mittleren Drittel . Betrachten wir zum Beispiel …

⁠1/3= 0,0 2 ₃ (was ein rechter Grenzwert des mittleren Drittels und ein linker Grenzwert des mittleren Drittels ist [ ⁠${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3,​​2/3⁠ ]) und

⁠2/3= 0,2 0 ₃ (was ein linker Grenzwert und ein rechter Grenzwert des mittleren Drittels ist [ ⁠${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3,​​2/3⁠ ])

Also

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}_{3})=0.0{\overline {1}}_{2}=\!\!&\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}$

Somit enthält die Cantor-Menge genauso viele Punkte wie das Intervall (dessen Kardinalität überabzählbar ist ). Die Menge der Endpunkte der entfernten Intervalle ist jedoch abzählbar, daher muss es überabzählbar viele Zahlen in der Cantor-Menge geben, die keine Intervallendpunkte sind. Wie bereits erwähnt, ist ein Beispiel für eine solche Zahl ⁠${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$1/4, was in ternärer Notation als 0,020202... ₃ = 0,02 geschrieben werden kann . Tatsächlich existieren zu jedem ein , sodass . Dies wurde erstmals 1917 von Steinhaus gezeigt, der mittels eines geometrischen Arguments die äquivalente Aussage bewies , dass für jedes . ^{[ 13 ]} Da diese Konstruktion eine Injektion von nach liefert , folgt daraus unmittelbar . Unter der Annahme, dass für jede unendliche Menge (eine Aussage , die sich laut Tarski als äquivalent zum Auswahlaxiom erweist ), liefert dies einen weiteren Beweis für . ${\displaystyle a\in [-1,1]}$${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle a=y-x}$${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }$${\displaystyle a\in [-1,1]}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$${\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq |[-1,1]|={\mathfrak {c}}}$${\displaystyle |A\times A|=|A|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}$

Die Cantor-Menge enthält so viele Punkte wie das Intervall, aus dem sie stammt, enthält aber selbst kein Intervall ungleich null Länge. Die irrationalen Zahlen besitzen dieselbe Eigenschaft, die Cantor-Menge ist jedoch zusätzlich abgeschlossen und daher in keinem Intervall dicht gepackt , im Gegensatz zu den irrationalen Zahlen, die in jedem Intervall dicht gepackt sind.

Es wurde vermutet , dass alle algebraischen irrationalen Zahlen normal sind . Da die Elemente der Cantor-Menge im Dreiersystem nicht normal sind, würde dies bedeuten, dass alle Elemente der Cantor-Menge entweder rational oder transzendent sind .

Die Cantor-Menge ist der Prototyp eines Fraktals . Sie ist selbstähnlich , da sie gleich zwei Kopien von sich selbst ist, wenn jede Kopie um den Faktor 3 verkleinert und verschoben wird. Genauer gesagt ist die Cantor-Menge gleich der Vereinigung zweier Funktionen, der linken und rechten Selbstähnlichkeitstransformationen von sich selbst, welche die Cantor-Menge bis auf Homöomorphie invariant lassen .${\displaystyle T_{L}(x)=x/3}$${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$${\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}$

Die wiederholte Iteration von und kann als unendlicher Binärbaum visualisiert werden . Das heißt, an jedem Knoten des Baums kann man den Teilbaum links oder rechts betrachten. Die Menge zusammen mit der Funktionskomposition bildet ein Monoid , das dyadische Monoid . ${\displaystyle T_{L}}$${\displaystyle T_{R}}$${\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}$

Elemente der Cantor-Menge können den 2-adischen ganzen Zahlen zugeordnet werden , sodass die Automorphismengruppe, wie bei den üblichen ganzen Zahlen, die Modulgruppe ist . Daher sind die Automorphismen der Cantor-Menge hyperbolische Bewegungen , spezielle Isometrien der hyperbolischen Ebene . Die Cantor-Menge ist somit ein homogener Raum , da für je zwei Punkte und in der Cantor-Menge ein Homöomorphismus mit existiert . Eine explizite Konstruktion von lässt sich leichter beschreiben, wenn man die Cantor-Menge als Produktraum abzählbar vieler Kopien des diskreten Raums betrachtet . Dann ist die durch definierte Abbildung ein involutiver Homöomorphismus, der und vertauscht . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle h:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle h(x)=y}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Obwohl mit „der“ Cantor-Menge üblicherweise die oben beschriebene ursprüngliche Cantor-Menge aus mittleren Dritteln gemeint ist, sprechen Topologen oft von „einer“ Cantor-Menge, womit jeder topologische Raum gemeint ist, der homöomorph (topologisch äquivalent) zu ihr ist .

Wie das obige Summenargument zeigt, ist die Cantor-Menge überabzählbar, hat aber Lebesgue-Maß 0. Da die Cantor-Menge das Komplement einer Vereinigung offener Mengen ist , ist sie selbst eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen und somit ein vollständiger metrischer Raum . Da sie außerdem total beschränkt ist , besagt der Satz von Heine-Borel , dass sie kompakt sein muss .

Zu jedem Punkt der Cantor-Menge und jeder beliebig kleinen Umgebung dieses Punktes gibt es eine andere Zahl, deren ternäres Zahlensystem nur aus 0 und 2 besteht, sowie Zahlen, deren ternäres Zahlensystem auch 1 enthält. Daher ist jeder Punkt der Cantor-Menge ein Häufungspunkt (auch Häufungspunkt oder Grenzpunkt genannt) der Cantor-Menge, aber keiner ist ein innerer Punkt . Eine abgeschlossene Menge, in der jeder Punkt ein Häufungspunkt ist, wird in der Topologie auch als perfekte Menge bezeichnet , während eine abgeschlossene Teilmenge des Intervalls ohne innere Punkte nirgends dicht im Intervall liegt.

Jeder Punkt der Cantor-Menge ist auch ein Häufungspunkt des Komplements der Cantor-Menge.

Für je zwei Punkte in der Cantor-Menge gibt es eine ternäre Ziffer, in der sie sich unterscheiden – einer hat den Wert 0, der andere den Wert 2. Teilt man die Cantor-Menge je nach Wert dieser Ziffer in „Hälften“, erhält man eine Partition der Cantor-Menge in zwei abgeschlossene Mengen, die die beiden ursprünglichen Punkte trennen. In der relativen Topologie der Cantor-Menge sind die Punkte durch eine geschlossene Menge getrennt . Folglich ist die Cantor-Menge total unzusammenhängend . Als kompakter total unzusammenhängender Hausdorff-Raum ist die Cantor-Menge ein Beispiel für einen Stone-Raum .

Als topologischer Raum ist die Cantor-Menge natürlich homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien des Raumes , wobei jede Kopie die diskrete Topologie trägt . Dies ist der Raum aller zweistelligen Folgen .${\displaystyle \{0,1\}}$

${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \},}$

Diese Menge kann auch mit den 2-adischen ganzen Zahlen identifiziert werden . Die Basis der offenen Mengen der Produkttopologie bilden Zylindermengen ; der Homöomorphismus bildet diese auf die Unterraumtopologie ab , die die Cantor-Menge von der natürlichen Topologie der reellen Zahlengeraden erbt . Diese Charakterisierung des Cantor-Raums als Produkt kompakter Räume liefert über den Satz von Tychonoff einen zweiten Beweis für die Kompaktheit des Cantor-Raums .

Aus der obigen Charakterisierung folgt, dass die Cantor-Menge homöomorph zu den p -adischen ganzen Zahlen ist und, wenn ein Punkt aus ihr entfernt wird, zu den p -adischen Zahlen .

Die Cantor-Menge ist eine Teilmenge der reellen Zahlen, welche bezüglich der gewöhnlichen Distanzmetrik einen metrischen Raum bilden ; daher ist die Cantor-Menge selbst, unter Verwendung derselben Metrik, ein metrischer Raum. Alternativ kann man die p -adische Metrik auf der Cantor-Menge verwenden : Gegeben zwei Folgen , ist der Abstand zwischen ihnen gegeben durch , wobei der kleinste Index ist, für den gilt ; existiert kein solcher Index, so sind die beiden Folgen identisch, und der Abstand wird als null definiert. Beide Metriken erzeugen dieselbe Topologie auf der Cantor-Menge. ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}$

Wir haben oben gesehen, dass die Cantor-Menge ein vollständig unzusammenhängender, perfekter , kompakter metrischer Raum ist. Tatsächlich ist sie in gewisser Weise der einzige: Jeder nichtleere, vollständig unzusammenhängende, perfekter, kompakter metrischer Raum ist homöomorph zur Cantor-Menge. Weitere Informationen zu Räumen, die homöomorph zur Cantor-Menge sind, finden Sie unter Cantor-Raum .

Die Cantor-Menge wird mitunter als „universell“ in der Kategorie der kompakten metrischen Räume betrachtet , da jeder kompakte metrische Raum ein stetiges Bild der Cantor-Menge ist; diese Konstruktion ist jedoch nicht eindeutig, und daher ist die Cantor-Menge im strengen kategorientheoretischen Sinne nicht universell . Die „universelle“ Eigenschaft hat wichtige Anwendungen in der Funktionalanalysis , wo sie mitunter als Darstellungssatz für kompakte metrische Räume bekannt ist . ^{[ 14 ]}

Für jede ganze Zahl q ≥ 2 ist die Topologie der Gruppe G = Z _q ^ω (die abzählbare direkte Summe) diskret. Obwohl der Pontrjagin-Dualraum Γ ebenfalls Z _q ^ω ist , ist die Topologie von Γ kompakt. Man sieht, dass Γ total unzusammenhängend und perfekt ist – also homöomorph zur Cantor-Menge. Am einfachsten lässt sich der Homöomorphismus im Fall q = 2 explizit angeben. (Siehe Rudin 1962, S. 40.)

Die Cantor-Menge kann als kompakte Gruppe binärer Folgen betrachtet werden und besitzt daher ein natürliches Haar-Maß . Normiert man sie so, dass ihr Maß 1 ist, stellt sie ein Modell einer unendlichen Folge von Münzwürfen dar. Weiterhin lässt sich zeigen, dass das übliche Lebesgue-Maß auf dem Intervall ein Bild des Haar-Maßes auf der Cantor-Menge ist, während die natürliche Injektion in die ternäre Menge ein kanonisches Beispiel eines singulären Maßes darstellt . Man kann außerdem zeigen, dass das Haar-Maß ein Bild jeder Wahrscheinlichkeit ist , wodurch die Cantor-Menge in gewisser Weise einen universellen Wahrscheinlichkeitsraum bildet.

In der Lebesgue- Maßtheorie ist die Cantor-Menge ein Beispiel für eine überabzählbare Menge mit Maß Null. ^{[ 15 ]} Im Gegensatz dazu besitzt die Menge ein Hausdorff-Maß von in ihrer Dimension . ^{[ 16 ]}${\displaystyle 1}$${\displaystyle \log _{3}(2)}$

Definiert man eine Cantor-Zahl als Element der Cantor-Menge, dann ^{[ 17 ]}

1. Jede reelle Zahl ist die Summe zweier Cantor-Zahlen.${\displaystyle [0,2]}$
2. Zwischen je zwei Cantor-Zahlen gibt es eine Zahl, die keine Cantor-Zahl ist.

Die Cantor-Menge ist als Teilmenge von eine magere Menge (oder eine Menge erster Kategorie) (jedoch nicht als Teilmenge von sich selbst, da sie ein Baire-Raum ist ). Die Cantor-Menge zeigt somit, dass die Begriffe von „Größe“ in Bezug auf Kardinalität, Maß und (Baire-)Kategorie nicht übereinstimmen müssen. Wie die Menge ist die Cantor-Menge „klein“ in dem Sinne, dass sie eine leere Menge (eine Menge vom Maß Null) und eine magere Teilmenge von ist . Im Gegensatz zu , das abzählbar ist und eine „kleine“ Kardinalität ( ) hat, ist die Kardinalität von jedoch dieselbe wie die des Kontinuums , und sie ist im Sinne der Kardinalität „groß“. Tatsächlich ist es auch möglich, eine Teilmenge von zu konstruieren, die mager, aber von positivem Maß ist, und eine Teilmenge, die nicht mager, aber vom Maß Null ist: ^{[ 18 ]} Durch die abzählbare Vereinigung von „fetten“ Cantor -Mengen mit Maß (siehe Smith-Volterra-Cantor-Menge unten für die Konstruktion) erhalten wir eine Menge, die ein positives Maß (gleich 1) hat, aber mager in [0,1] ist, da keine der Mengen nirgends dicht ist. Betrachten wir nun die Menge . Da , kann nicht mager sein, aber da , muss das Maß Null haben. ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$${\displaystyle \lambda =(n-1)/n}$${\textstyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$${\textstyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$${\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$

Anstatt wie beim Cantor-Set wiederholt das mittlere Drittel jedes Teils zu entfernen, könnten wir auch einen beliebigen anderen festen Prozentsatz (außer 0 % und 100 %) aus der Mitte entfernen .8/10Entfernt man einen Teil des Intervalls, erhält man einen bemerkenswert einfachen Fall – die Menge besteht aus allen Zahlen in [0,1], die als Dezimalzahl ausschließlich aus 0 und 9 geschrieben werden können. Entfernt man in jedem Schritt einen festen Prozentsatz, so hat die Grenzmenge das Maß Null, da die Länge des Restes für jedes solche, dass , gleich null ist . ${\displaystyle (1-f)^{n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0<f\leq 1}$

Andererseits lassen sich „fette Cantor-Mengen“ mit positivem Maß erzeugen, indem man in jeder Iteration kleinere Bruchteile des mittleren Segments entfernt. So kann man Mengen konstruieren, die zur Cantor-Menge homöomorph sind und ein positives Lebesgue-Maß besitzen, ohne dabei nirgends dicht zu sein. Entfernt man in der n -ten Iteration ein Intervall der Länge ( ) aus der Mitte jedes Segments , so ist die entfernte Gesamtlänge , und die Grenzmenge hat ein Lebesgue-Maß von . In gewisser Weise ist die mittlere Drittel-Cantor-Menge also ein Grenzfall mit . Falls , so hat der Rest ein positives Maß mit . Dieser Fall ist als Smith-Volterra-Cantor-Menge bekannt , die ein Lebesgue-Maß von besitzt . ${\displaystyle r^{n}}$${\displaystyle r\leq 1/3}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-1}r^{n}=r/(1-2r)}$${\displaystyle \lambda =(1-3r)/(1-2r)}$${\displaystyle r=1/3}$${\displaystyle 0<r<1/3}$${\displaystyle 0<\lambda <1}$${\displaystyle r=1/4}$${\displaystyle 1/2}$

Der Cantor-Staub ist eine mehrdimensionale Version der Cantor-Menge. Er entsteht durch die Bildung eines endlichen kartesischen Produkts der Cantor-Menge mit sich selbst und bildet so einen Cantor-Raum . Wie die Cantor-Menge hat auch der Cantor-Staub das Maß Null . ^{[ 20 ]}

Ein anderes zweidimensionales Analogon der Cantor-Menge ist der Sierpinski-Teppich , bei dem ein Quadrat in neun kleinere Quadrate unterteilt und das mittlere entfernt wird. Die verbleibenden Quadrate werden dann jeweils wieder in neun kleinere Quadrate unterteilt, wobei erneut das mittlere entfernt wird, und so weiter bis ins Unendliche. ^{[ 21 ]} Ein dreidimensionales Analogon dazu ist der Menger-Schwamm .

Cantor führte die heute als Cantor-Ternärmenge bezeichnete Menge als Beispiel für eine „ perfekte Punktmenge ein , die in keinem noch so kleinen Intervall überall dicht ist.“ ^{[ 22 ] [ 23 ]} Cantor beschrieb sie mithilfe von Ternärentwicklungen als „die Menge aller reellen Zahlen, die durch die Formel gegeben ist: wobei die Koeffizienten beliebig die beiden Werte 0 und 2 annehmen können und die Reihe aus einer endlichen oder einer unendlichen Anzahl von Elementen bestehen kann.“ ^{[ 22 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle z=c_{1}/3+c_{2}/3^{2}+\cdots +c_{\nu }/3^{\nu }+\cdots }$${\displaystyle c_{\nu }}$

Ein topologischer Raum heißt perfekt, wenn alle seine Punkte Häufungspunkte sind oder, äquivalent dazu, wenn er mit seiner abgeleiteten Menge übereinstimmt . Teilmengen der reellen Zahlengeraden, wie z. B. , können unter der induzierten Unterraumtopologie als topologische Räume betrachtet werden. ^{[ 8 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Cantor wurde durch seine Ergebnisse zur Eindeutigkeit trigonometrischer Reihen zum Studium abgeleiteter Mengen angeregt . ^{[ 23 ]} Letztere trugen wesentlich dazu bei, ihn auf den Weg zur Entwicklung einer abstrakten, allgemeinen Theorie unendlicher Mengen zu bringen .

Benoit Mandelbrot schrieb viel über Cantor-Staub und dessen Beziehung zu natürlichen Fraktalen und der statistischen Physik . ^{[ 10 ]} Er reflektierte darüber hinaus über die rätselhafte oder gar beunruhigende Natur solcher Strukturen für die Mathematiker- und Physikergemeinschaft. In „ Die fraktale Geometrie der Natur“ beschrieb er, wie „als ich 1962 mit diesem Thema begann, alle darin übereinstimmten, dass Cantor-Staub mindestens so monströs ist wie die Koch- und Peano-Kurven “, und fügte hinzu, dass „jeder Physiker mit Selbstachtung bei der Erwähnung von Cantor automatisch abgeschreckt wurde und bereit war, vor jedem, der vorgab, sich für Wissenschaft zu interessieren, das Weite zu suchen.“ ^{[ 10 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

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• Wise, Gary L.; Hall, Eric B. (1993). Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der reellen Analysis . New York: Oxford University Press . Kapitel 1. ISBN 0-19-507068-2Die

• „Cantor-Menge“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
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