Verallgemeinerte Permutationsmatrix

In der Mathematik ist eine verallgemeinerte Permutationsmatrix (oder Monommatrix ) eine Matrix mit demselben Muster ungleich Null wie eine Permutationsmatrix , d. h. jede Zeile und jede Spalte enthält genau einen Eintrag ungleich Null. Im Gegensatz zu einer Permutationsmatrix, bei der der Eintrag ungleich Null immer 1 sein muss, kann der Eintrag in einer verallgemeinerten Permutationsmatrix jeden beliebigen Wert ungleich Null annehmen. Ein Beispiel für eine verallgemeinerte Permutationsmatrix ist:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$

Eine invertierbare Matrix A ist genau dann eine verallgemeinerte Permutationsmatrix, wenn sie als Produkt einer invertierbaren Diagonalmatrix D und einer (implizit invertierbaren ) Permutationsmatrix P geschrieben werden kann , d.h.

${\displaystyle A=DP.}$

Die Menge der n × n verallgemeinerten Permutationsmatrizen mit Einträgen in einem Körper F bildet eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL( n , F ), in der die Gruppe der nichtsingulären Diagonalmatrizen Δ( n , F ) einen Normalteiler bildet . Tatsächlich sind die verallgemeinerten Permutationsmatrizen über allen Körpern außer GF(2) der Normalisator der Diagonalmatrizen, was bedeutet, dass die verallgemeinerten Permutationsmatrizen die größte Untergruppe von GL( n , F ) bilden, in der Diagonalmatrizen normal sind.

Die abstrakte Gruppe der verallgemeinerten Permutationsmatrizen ist das Kranzprodukt von F ^× und S _n . Konkret bedeutet dies, dass sie das semidirekte Produkt von Δ( n , F ) mit der symmetrischen Gruppe S _n ist :

S _n ⋉ Δ( n , F ),

wobei S _n durch Permutation der Koordinaten wirkt und die Diagonalmatrizen Δ( n , F ) isomorph zum n -fachen Produkt ( F ^× ) ⁿ sind .

Genauer gesagt sind die verallgemeinerten Permutationsmatrizen eine (getreue) lineare Darstellung dieses abstrakten Kranzprodukts: eine Realisierung der abstrakten Gruppe als Untergruppe von Matrizen.

• Die Untergruppe, in der alle Einträge 1 sind, ist genau die Permutationsmatrix , welche isomorph zur symmetrischen Gruppe ist.
• Die Untergruppe, in der alle Einträge ±1 sind, sind die signierten Permutationsmatrizen , die die hyperoktaedrische Gruppe darstellen .
• Die Untergruppe, deren Einträge m -te Einheitswurzeln sind, ist isomorph zu einer verallgemeinerten symmetrischen Gruppe .${\displaystyle \mu _{m}}$
• Die Untergruppe der Diagonalmatrizen ist abelsch , normal und eine maximale abelsche Untergruppe. Die Quotientengruppe ist die symmetrische Gruppe, und diese Konstruktion ist tatsächlich die Weylgruppe der allgemeinen linearen Gruppe: Die Diagonalmatrizen bilden einen maximalen Torus in der allgemeinen linearen Gruppe (und sind ihr eigener Zentralisator ), die verallgemeinerten Permutationsmatrizen sind der Normalisator dieses Torus, und die Quotientengruppe ist die Weylgruppe.${\displaystyle N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong S_{n}}$

• Sind eine nichtsinguläre Matrix und ihre Inverse beide nichtnegative Matrizen (d. h. Matrizen mit nichtnegativen Einträgen), so ist die Matrix eine verallgemeinerte Permutationsmatrix.
• Die Determinante einer verallgemeinerten Permutationsmatrix ist gegeben durch , wobei das Vorzeichen der zugehörigen Permutation ist und die Diagonalelemente von sind .$${\displaystyle \det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},}$$${\displaystyle \operatorname {sgn} (\pi )}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle d_{11},\ldots ,d_{nn}}$${\displaystyle D}$

Man kann dies weiter verallgemeinern, indem man die Einträge in einem Ring anstatt in einem Körper liegen lässt . In diesem Fall erhält man, falls die von Null verschiedenen Einträge Einheiten des Rings sein müssen, wieder eine Gruppe. Sind die von Null verschiedenen Einträge hingegen nur ungleich Null, aber nicht notwendigerweise invertierbar, so bildet diese Menge von Matrizen stattdessen eine Halbgruppe .

Man kann schematisch auch zulassen, dass die von Null verschiedenen Einträge in einer Gruppe G liegen, wobei man davon ausgeht, dass die Matrixmultiplikation nur die Multiplikation eines einzigen Paares von Gruppenelementen beinhaltet und nicht die Addition von Gruppenelementen. Dies ist zwar ein Missbrauch der Notation , da die Elemente der zu multiplizierenden Matrizen sowohl Multiplikation als auch Addition zulassen müssen, aber es ist eine anschauliche Darstellung der (formal korrekten) abstrakten Gruppe (des Kranzprodukts der Gruppe G mit der symmetrischen Gruppe). ${\displaystyle G\wr S_{n}}$

Eine signierte Permutationsmatrix ist eine verallgemeinerte Permutationsmatrix, deren von Null verschiedene Einträge ±1 sind, und sind die ganzzahligen verallgemeinerten Permutationsmatrizen mit ganzzahliger Inversen.

• Es handelt sich um die Coxeter-Gruppe , und sie hat Ordnung .${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle 2^{n}n!}$
• Es ist die Symmetriegruppe des Hyperwürfels und (dual) des Kreuzpolytops .
• Ihre Untergruppe vom Index 2 der Matrizen, deren Determinante gleich ihrer zugrunde liegenden (vorzeichenlosen) Permutation ist, ist die Coxeter-Gruppe und ist die Symmetriegruppe des Demihyperwürfels .${\displaystyle D_{n}}$
• Es handelt sich um eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe .

Monomiale Matrizen treten in der Darstellungstheorie im Kontext monomialer Darstellungen auf . Eine monomiale Darstellung einer Gruppe G ist eine lineare Darstellung ρ  : G → GL( n , F ) von G (wobei F der definierende Körper der Darstellung ist), sodass das Bild ρ ( G ) eine Untergruppe der Gruppe der monomialen Matrizen ist.

• Joyner, David (2008). Abenteuer in der Gruppentheorie. Rubiks Würfel, Merlins Maschine und andere mathematische Spielzeuge (2. aktualisierte und überarbeitete Auflage). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9012-3. Zbl  1221.00013 .