In der Geometrie sind Demihyperwürfel (auch n-Demiwürfel , n-Hemiwürfel oder Halbmaß-Polytope genannt ) eine Klasse von n - Polytopen , die durch Alternation eines n - Hyperwürfels entstehen . Dieser wird als hγ <sub>n</sub> bezeichnet , da er die Hälfte der Hyperwürfelfamilie γ <sub> n</sub> darstellt . Dabei wird die Hälfte der Eckpunkte entfernt und neue Flächen gebildet. Die 2 <sup> n </sup> Flächen werden zu 2 <sup>n</sup> ( n -1)-Demiwürfeln , und anstelle der entfernten Eckpunkte entstehen 2 <sup>n-1</sup> ( n -1)-Simplex- Flächen. [ 1 ]
Sie wurden mit dem Präfix „demi-“ vor jedem Hyperwürfelnamen benannt : Demi- Würfel , Demi -Tesserakt usw. Der Demi-Würfel ist identisch mit dem regulären Tetraeder , und der Demi-Tesserakt ist identisch mit dem regulären 16-Zellen -Tetraeder . Der Demi-Tesserakt gilt als halbregulär, da er nur reguläre Flächen besitzt. Höhere Formen besitzen nicht ausschließlich reguläre Flächen, sind aber allesamt uniforme Polytope .
Der Knoten-Kanten-Graph des Demihyperwürfels ist der halbierte Würfelgraph .
Ein n -Halbwürfel besitzt Inversionssymmetrie, wenn n gerade ist .
Entdeckung
Thorold Gosset beschrieb den Demipenterakt in seiner 1900 erschienenen Publikation, in der er alle regulären und halbregulären Figuren in n- Dimensionen oberhalb drei auflistete. Er nannte ihn eine 5-ic halbreguläre Figur . Er gehört auch zur Familie der halbregulären k 21 Polytope .
Die Demihyperwürfel lassen sich durch erweiterte Schläfli-Symbole der Form h{4,3,...,3} als die Hälfte der Eckpunkte von {4,3,...,3} darstellen . Die Eckfiguren der Demihyperwürfel sind rektifizierte n - Simplexe .
Konstruktionen
Sie werden durch Coxeter-Dynkin-Diagramme in drei konstruktiven Formen dargestellt:
... (Als alternierendes Orthotop ) s{2 1,1,...,1 }
...(Als alternierender Hyperwürfel ) h{4,3 n −1 }
.... (Als Demihyperwürfel) {3 1, n −3,1 }
HSM Coxeter bezeichnete die dritten Verzweigungsdiagramme auch als 1 k 1, wobei 1 die Längen der drei Äste darstellt und der Anfangsast der Ringast ist.
Ein n-Halbwürfel ( n > 2) besitzt n ( n -1)/2 Kanten, die sich an jedem Knotenpunkt treffen. Die untenstehenden Graphen zeigen aufgrund überlappender Kanten in der Symmetrieprojektion weniger Kanten an jedem Knotenpunkt.
| N | 1 k 1 | Coxeter- Ebenenprojektion | Schläfli-Symbol | Coxeter-Diagramme A 1 n B n D n | Elemente | Facetten : Demihyperwürfel & Simplexe | Scheitelfigur | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Eckpunkte | Kanten | Gesichter | Zellen | 4 Gesichter | 5 Gesichter | 6 Gesichter | 7 Gesichter | 8 Gesichter | 9 Gesichter | |||||||
| 2 | 1 −1,1 | demisquare ( digon ) | s{2} h{4} {3 1,−1,1 } |  | 2 | 2 | 2 Kanten | -- | ||||||||
| 3 | 1 01 | Halbwürfel ( Tetraeder )  | s{2 1,1 } h{4,3} {3 1,0,1 } | | 4 | 6 | 4 | (6 Diagonen ) 4 Dreiecke | Dreieck (geradeausgerichtetes Dreieck) | |||||||
| 4 | 1 11 | Demitesserakt ( 16-Zellen )  | s{2 1,1,1 } h{4,3,3} {3 1,1,1 } | | 8 | 24 | 32 | 16 | 8 Halbwürfel (Tetraeder) 8 Tetraeder | Oktaeder (gleichgerichtetes Tetraeder) | ||||||
| 5 | 1 21 | Demipenterakt  | s{2 1,1,1,1 } h{4,3 3 }{3 1,2,1 } | | 16 | 80 | 160 | 120 | 26 | 10 16-Zellen 16 5-Zellen | Gleichgerichtete 5-Zellen-Batterie | |||||
| 6 | 1 31 | Demihexerakt  | s{2 1,1,1,1,1 } h{4,3 4 }{3 1,3,1 } | | 32 | 240 | 640 | 640 | 252 | 44 | 12 Demipenterakte 32 5- Simplices | Rektifiziertes Hexateron | ||||
| 7 | 1 41 | Demihepterakt  | s{2 1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 5 }{3 1,4,1 } | | 64 | 672 | 2240 | 2800 | 1624 | 532 | 78 | 14 Halbexemplare 64 6- Simplices | Gleichgerichteter 6-Simplex | |||
| 8 | 1 51 | Demiokterakt  | s{2 1,1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 6 }{3 1,5,1 } | | 128 | 1792 | 7168 | 10752 | 8288 | 4032 | 1136 | 144 | 16 Demihepterakte 128 7- Simplizen | Gleichgerichtetes 7-Simplex | ||
| 9 | 1 61 | Demiennerakt  | s{2 1,1,1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 7 }{3 1,6,1 } | | 256 | 4608 | 21504 | 37632 | 36288 | 23520 | 9888 | 2448 | 274 | 18 Demiokterakte 256 8- Simplizen | Gleichgerichteter 8-Simplex | |
| 10 | 1 71 | Demidekerakt  | s{2 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 8 }{3 1,7,1 } | | 512 | 11520 | 61440 | 122880 | 142464 | 115584 | 64800 | 24000 | 5300 | 532 | 20 Demiennerakte 512 9- Simplices | Gleichgerichteter 9-Simplex |
| ... | ||||||||||||||||
| N | 1 n −3,1 | n-Demicube | s{2 1,1,...,1 } h{4,3 n −2 }{3 1, n −3,1 } | ......... | 2 n −1 | 2 n ( n − 1)-Demicubes 2 n −1 ( n − 1)- Simplices | Rektifizierter ( n − 1)-Simplex | |||||||||
Im Allgemeinen können die Elemente eines Halbwürfels aus dem ursprünglichen n- Würfel bestimmt werden: (mit C n , m = Anzahl der m -ten Flächen im n- Würfel = 2 n − m n !/( m !( n − m )!))
- Eckpunkte: D n ,0 = 1/2 C n ,0 = 2 n −1 (Die Hälfte der Eckpunkte des n -Würfels bleibt übrig)
- Kanten: D n ,1 = C n ,2 = 1/2 n ( n – 1) 2 n −2 (Alle ursprünglichen Kanten gehen verloren, jede Quadratfläche bildet eine neue Kante)
- Flächen: D n ,2 = 4 * C n ,3 = 2/3 n ( n − 1)( n − 2) 2 n −3 (Alle ursprünglichen Flächen gehen verloren, jeder Würfel erzeugt 4 neue Dreiecksflächen)
- Zellen: D n ,3 = C n ,3 + 2 3 C n ,4 (Tetraeder aus den ursprünglichen Zellen plus neue)
- Hyperzellen: D n ,4 = C n ,4 + 2 4 C n ,5 (16-Zellen bzw. 5-Zellen)
- ...
- [Für m = 3, ... , n − 1]: D n , m = C n , m + 2 m C n , m +1 ( m -Demicubes bzw. m -Simplexes)
- ...
- Facetten: D n , n −1 = 2 n + 2 n −1 (( n − 1)-Demikuben bzw. ( n − 1)-Simplizes)
Symmetriegruppe
Der Stabilisator des Demihyperwürfels in der hyperoktaedrischen Gruppe (die Coxeter-Gruppe [4,3 n −1 ]) hat den Index 2. Es handelt sich um die Coxeter-Gruppe [3 n −3,1,1 ] der Ordnung n , die durch Permutationen der Koordinatenachsen und Spiegelungen an Paaren von Koordinatenachsen erzeugt wird. [ 2 ]
Orthotopische Konstruktionen
Konstruktionen als alternierende Orthotope haben die gleiche Topologie, können aber in n Symmetrieachsen mit unterschiedlichen Längen gestreckt werden.
Das rhombische Disphenoid ist das dreidimensionale Beispiel eines alternierenden Quaders. Es besitzt drei Sätze von Kantenlängen und ungleichseitige Dreiecksflächen.
Siehe auch
Referenzen
- T. Gosset : Über die regulären und halbregulären Figuren im n-dimensionalen Raum , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Die Symmetrien der Dinge 2008, ISBN 978-1-56881-220-5(Kapitel 26, S. 409: Halbkugeln: 1 n1 )
- Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von H. S. M. Coxeter , herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson und Asia Ivić Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
- (Paper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Externe Links
- Olshevsky, George. „Halbmaß-Polytop“ . Glossar für Hyperspace . Archiviert vom Original am 4. Februar 2007.
