n -te Wurzel

In der Mathematik ist die n -te Wurzel einer Zahl x die Zahl r , die, n -mal mit sich selbst multipliziert, x ergibt  . Die positive ganze Zahl n wird Wurzelexponent oder Grad genannt , und die Zahl x , deren Wurzel gezogen wird, heißt Radikand. Eine Wurzel zweiten Grades heißt Quadratwurzel , eine Wurzel dritten Grades Kubikwurzel . Wurzeln höheren Grades werden mit Ordnungszahlen bezeichnet , z. B. vierte Wurzel , zwanzigste Wurzel usw. Die Berechnung der n -ten Wurzel nennt man Wurzelziehen . $${\displaystyle r^{n}=\underbrace {r\times r\times \dotsb \times r} _{n{\text{ Faktoren}}}=x.}$$

Die n -te Wurzel aus x wird mit dem Wurzelzeichen als x geschrieben . Die Quadratwurzel wird üblicherweise als x ^n geschrieben , wobei der Grad weggelassen wird. Das Ziehen der n -ten Wurzel einer Zahl ist bei festem n die Umkehrung des Potenzierens einer Zahl mit n ^{[ 1 ]} und kann als Bruchexponent geschrieben werden : ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt {\phantom {x}}}}$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$$

Für eine positive reelle Zahl x bezeichnet man mit √x die positive Quadratwurzel und mit √n die positive reelle n- te Wurzel. Beispielsweise ist 3 eine Quadratwurzel von 9 , da 3² = 9 ^, und −3 ist ebenfalls eine Quadratwurzel von 9 , da (−3) ² ⁼ 9. [ 2 ] Eine negative reelle Zahl −x hat keine reellen Quadratwurzeln, aber wenn x als ^{komplexe Zahl behandelt} wird, besitzt sie zwei imaginäre Quadratwurzeln , √x und √x , wobei i die imaginäre Einheit ist . ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle +i{\sqrt {x}}}$${\displaystyle -i{\sqrt {x}}}$

Im Allgemeinen besitzt jede komplexe Zahl ungleich null n verschiedene komplexwertige n -te Wurzeln, die gleichmäßig auf einem komplexen Kreis mit konstantem Betrag verteilt sind . (Die n -te Wurzel von 0 ist null mit Vielfachheit n , und dieser Kreis degeneriert zu einem Punkt.) Die Bestimmung der n -ten Wurzeln einer komplexen Zahl x kann daher als mehrwertige Funktion betrachtet werden . Konventionsgemäß ist der Hauptwert dieser Funktion, die sogenannte Hauptwurzel (mit ⁠ ⁠ ), die ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$n -te Wurzel mit dem größten Realteil und im Spezialfall einer negativen reellen Zahl x diejenige mit dem positiven Imaginärteil . Die Hauptwurzel einer positiven reellen Zahl ist somit ebenfalls eine positive reelle Zahl. Als Funktion ist die Hauptwurzel in der gesamten komplexen Ebene stetig , außer entlang der negativen reellen Achse. Die n -ten Wurzeln von 1 werden Einheitswurzeln genannt und spielen eine fundamentale Rolle in verschiedenen Bereichen der Mathematik, wie der Zahlentheorie , der Gleichungstheorie und der Fourier-Transformation .

Eine nicht aufgelöste Wurzel, insbesondere eine, die das Radikalsymbol verwendet, wird manchmal als Surd ^{[ 3 ]} oder Radikal bezeichnet . ^{[ 4 ]} Jeder Ausdruck, der ein Radikal enthält, sei es eine Quadratwurzel, eine Kubikwurzel oder eine höhere Wurzel, wird als Radikalausdruck bezeichnet , und wenn er keine transzendenten Funktionen oder transzendenten Zahlen enthält, wird er als algebraischer Ausdruck bezeichnet .

Die Babylonier demonstrierten bereits um 1800 v. Chr. numerische Näherungen irrationaler Größen wie der Quadratwurzel aus 2 auf Tontafeln mit einer Genauigkeit, die sechs Dezimalstellen entsprach, wie beispielsweise auf der Tafel YBC 7289. [ ^{5 ] Keilschrifttafeln} aus Larsa enthalten Tabellen mit Quadrat- und Kubikwurzeln ganzer Zahlen. ^{[ 6 ]} Der erste, der die Irrationalität von √2 bewies, war höchstwahrscheinlich der Pythagoreer Hippasos . ^{[ 7 ]} Platon beschreibt in seinem Theaitetos , wie Theodoros von Kyrene (um 400 v. Chr.) die Irrationalität von √2, √2 usw. bis √2 bewies . [ 8 ^{] Im 1.} Jahrhundert n. Chr. entwickelte Heron von Alexandria ein iteratives Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel aus √2 , das einen Spezialfall des allgemeineren Newton-Verfahrens darstellt . ^{[ 9 ]}${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

Der Begriff „Surd“ lässt sich auf Al-Chwarizmi ( um 825 v. Chr.) zurückführen , der rationale und irrationale Zahlen als „hörbar“ bzw. „unhörbar“ bezeichnete. Dies führte später dazu, dass das arabische Wort أصم ( asamm , was „taub“ oder „stumm“ bedeutet) für „irrationale Zahl“ ins Lateinische als surdus (was „taub“ oder „stumm“ bedeutet) übersetzt wurde. Gerhard von Cremona ( um 1150 v. Chr. ), Fibonacci (1202) und Robert Recorde (1551) verwendeten den Begriff alle, um „unaufgelöste irrationale Wurzeln“ zu bezeichnen, d. h. Ausdrücke der Form , wobei und ganze Zahlen sind und der gesamte Ausdruck eine irrationale Zahl darstellt. ^{[ 10 ]} Irrationale Zahlen der Form , wobei rational ist, werden als „reine quadratische Surds“ bezeichnet; Irrationale Zahlen der Form , wobei und rational sind, werden gemischte quadratische Wurzeln genannt . ^{[ 11 ]} Ein veralteter Begriff aus dem späten 15. Jahrhundert für die Operation des Ziehens n -ter Wurzeln ist Radikation , ^{[ 12 ] [ 13 ]} und eine nicht aufgelöste Wurzel ist ein Radikal . ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \pm {\sqrt {a}},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Im 14. Jahrhundert verwendete Jamshid al-Kashi ein iteratives Verfahren, das heute als Ruffini-Horner-Methode bekannt ist, um n -te Wurzeln für beliebiges n zu bestimmen . Dieses Verfahren wurde seit der Antike zur Berechnung von Quadratwurzeln und später im 10. Jahrhundert von China und Kushyar ibn Labban zur Berechnung von Kubikwurzeln eingesetzt. ^{[ 14 ]} 1665 entdeckte Isaac Newton den allgemeinen Binomialsatz , mit dem sich eine n- te Wurzel in eine unendliche Reihe umwandeln lässt . ^{[ 15 ]} Basierend auf dem Ansatz von François Viète entwickelte Newton ein iteratives Verfahren zur Lösung nichtlinearer Funktionen der Form , mit dem sich eine n- te Wurzel bestimmen lässt . Dieses Verfahren wurde von Joseph Raphson weiter verfeinert und ist als Newton-Raphson-Verfahren bekannt . ^{[ 16 ]} 1690 führte Michel Rolle die Notation für die n -te Wurzel des Wertes a ein . ^{[ 17 ]}${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$

1629 formulierte Albert Girard den Fundamentalsatz der Algebra , konnte ihn aber nicht beweisen. ^{[ 18 ]} Dieser Satz besagt, dass jedes Polynom n-ten Grades in einer Variablen n Nullstellen besitzt . ^{[ 19 ]} Weiterhin besitzt ein Polynom mit komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Nullstelle. Äquivalent dazu besagt der Satz, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist . Zu den bedeutenden Mathematikern, die im 18. und 19. Jahrhundert an einem Beweis arbeiteten, gehörten d’Alembert , Gauß , Bolzano und Weierstrass , wobei Gauß üblicherweise der erste korrekte Beweis zugeschrieben wird. Eine Konsequenz dieses Beweises ist, dass jede n -te Nullstelle einer reellen oder komplexen Zahl in der komplexen Ebene liegt . ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Die antiken griechischen Mathematiker wussten, wie man mit Zirkel und Lineal eine Länge konstruiert, die der Quadratwurzel einer gegebenen Länge entspricht, wenn eine Hilfslinie der Länge 1 gegeben ist. 1837 bewies Pierre Wantzel , dass die n -te Wurzel einer gegebenen Länge nicht konstruiert werden kann, wenn n keine Zweierpotenz ist. ^{[ 22 ]}

Die vier vierten Wurzeln von −1, von denen keine reell ist

Die drei dritten Wurzeln von −1, von denen eine eine negative reelle Zahl ist.

Die n -te Wurzel einer Zahl x , wobei n eine positive ganze Zahl ist, ist eine der n reellen oder komplexen Zahlen r, deren n -te Potenz x ist :

$${\displaystyle r^{n}=x.}$$

Jede positive reelle Zahl x hat genau eine positive n -te Wurzel, die sogenannte Hauptwurzel n -ter Ordnung , die man als x² = 2² schreibt . ^{[ 23 ]} Für n = 2 wird sie als Hauptquadratwurzel bezeichnet, und das n wird weggelassen. Die n -te Wurzel kann auch mithilfe der Potenzierungsfunktion als x¹ ^/n dargestellt werden . ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Für gerade Werte von n besitzen positive Zahlen auch eine negative n- te Wurzel, während negative Zahlen keine reelle n- te Wurzel besitzen. Für ungerade Werte von n besitzt jede negative Zahl x eine reelle negative n -te Wurzel. ^{[ 23 ]} Beispielsweise besitzt −2 eine reelle 5. Wurzel, aber keine reelle 6. Wurzel. ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$

Jede von Null verschiedene Zahl x , ob reell oder komplex , hat n verschiedene komplexe n- te Wurzeln. ^{[ 24 ]} (Im Fall, dass x reell ist, umfasst diese Zählung alle reellen n- ten Wurzeln.) Die einzige komplexe Wurzel von Null ist Null.

Die n -ten Wurzeln fast aller Zahlen (aller ganzen Zahlen außer den n -ten Potenzen und aller rationalen Zahlen außer den Quotienten zweier n- ter Potenzen) sind irrational . ^{[ 25 ]} Zum Beispiel:

$${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$$

Alle n -ten Wurzeln rationaler Zahlen sind algebraische Zahlen , und alle n -ten Wurzeln ganzer Zahlen sind algebraische ganze Zahlen .

Die Quadratwurzel einer Zahl x ist eine Zahl r , die, quadriert , x ergibt :

$${\displaystyle r^{2}=x.}$$

Jede positive reelle Zahl hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. Zum Beispiel sind die beiden Quadratwurzeln von 25 gleich 5 und −5. Die positive Quadratwurzel wird auch als Hauptwurzel bezeichnet ^[ 2 ] ^{und mit} einem Wurzelzeichen gekennzeichnet.

$${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$$

Da das Quadrat jeder reellen Zahl nichtnegativ ist, haben negative Zahlen keine reellen Quadratwurzeln. ^{[ 26 ]} Jede negative reelle Zahl besitzt jedoch zwei imaginäre Quadratwurzeln. Beispielsweise sind die Quadratwurzeln von −25 gleich 5i und −5i , wobei i eine Zahl darstellt, deren Quadrat −1 ist .

Die Kubikwurzel einer Zahl x ist eine Zahl r , deren dritte Potenz x ist :

$${\displaystyle r^{3}=x.}$$

Jede reelle Zahl x hat genau eine reelle Kubikwurzel, ^{[ 2 ]} geschrieben als . Zum Beispiel ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}}$$

Jede reelle Zahl besitzt zwei zusätzliche komplexe Kubikwurzeln. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Die Angabe des Grades einer n -ten Wurzel in ihrer Exponentialform, wie in , erleichtert die Manipulation von Potenzen und Wurzeln. Wenn eine nichtnegative reelle Zahl ist , ^{[ 26 ]}${\displaystyle x^{1/n}}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$$

Jede nichtnegative Zahl hat genau eine nichtnegative reelle n- te Wurzel, und daher sind die Regeln für Operationen mit Wurzeln, die nichtnegative Radikanden beinhalten , innerhalb der reellen Zahlen unkompliziert: ^{[ 26 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$$

Bei der Berechnung der n -ten Wurzeln negativer oder komplexer Zahlen können Feinheiten auftreten . Zum Beispiel:

$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$$

sondern vielmehr

$${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$$

Da die Regel streng genommen nur für nichtnegative reelle Radikanden gilt, führt ihre Anwendung zu der Ungleichung im ersten Schritt oben. ^{[ 29 ]}${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$

Ein nicht verschachtelter Radikalausdruck heißt vereinfacht , wenn kein Faktor des Radikanden als Potenz größer oder gleich dem Wurzelexponenten geschrieben werden kann; wenn keine Brüche innerhalb des Wurzelzeichens stehen; und wenn keine Radikale im Nenner vorkommen. ^{[ 30 ]}

Um beispielsweise den Wurzelausdruck in vereinfachter Form zu schreiben, können wir wie folgt vorgehen. Zuerst suchen wir nach einer Quadratzahl unter dem Wurzelzeichen und entfernen diese: ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {32/5}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$$

Als Nächstes steht unter dem Wurzelzeichen ein Bruch, den wir wie folgt umformen:

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$$

Schließlich entfernen wir die Wurzel aus dem Nenner wie folgt:

$${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$$

Wenn der Nenner Wurzeln enthält, lässt sich stets ein Faktor finden, mit dem Zähler und Nenner multipliziert werden können, um den Ausdruck zu vereinfachen. ^{[ 31 ] [ 32 ]} Zum Beispiel durch Verwendung der Faktorisierung der Summe zweier Kuben :

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$$

Das Vereinfachen von Radikalausdrücken mit verschachtelten Radikalen kann sehr schwierig sein. Insbesondere ist das Entschachteln nicht immer möglich, und wenn es gelingt, erfordert es unter Umständen fortgeschrittene Galoistheorie . Ist ein vollständiges Entschachteln nicht möglich, existiert zudem keine allgemeine kanonische Form, anhand derer die Gleichheit zweier Zahlen allein durch Betrachtung ihrer kanonischen Ausdrücke überprüft werden könnte.

Es ist beispielsweise nicht offensichtlich, dass

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.}$$

Das Obige lässt sich wie folgt ableiten:

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$$

Sei , wobei p und q teilerfremd und positive ganze Zahlen sind. Dann ist rational genau dann, wenn sowohl als auch ganze Zahlen sind, was bedeutet, dass sowohl p als auch q n -te Potenzen einer ganzen Zahl sind .${\displaystyle r=p/q}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$

Die Wurzel kann durch den verallgemeinerten Binomialsatz dargestellt werden :

$${\displaystyle (1+x)^{s/t}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {s}{t}}-k\right)}$$

mit . Dieser Ausdruck lässt sich aus der Binomialreihe ableiten . ^{[ 33 ]} Für die n -te Wurzel ergibt sich daraus ${\displaystyle |x|<1}$

$${\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{n}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {1}{n}}-k\right)}$$

Wähle für Zahlen einen Wert so, dass ${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\frac {r}{p^{n}}}-1=x',{\text{ where }}|x'|<1}$$

Dann löse gemäß oben nach auf.

$${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}=p(1+x')^{\frac {1}{n}}}$$

Wählen Sie beispielsweise für und ^{[ 33 ]}${\displaystyle r=30}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle p=5}$

$${\displaystyle {\frac {30}{5^{2}}}-1={\frac {5}{25}}=.2}$$

$${\displaystyle {\sqrt {30}}=5{\sqrt {1+.2}}=5\left[1+{\frac {1}{2}}(.2)^{1}-{\frac {1}{8}}(.2)^{2}+{\frac {1}{16}}(.2)^{3}-\cdots \right]\approx 5.4775}$$

Die n -ten Wurzeln werden mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz einer Potenzreihe geprüft . ^{[ 34 ]}

Die n -te Wurzel einer positiven reellen Zahl A kann mit dem Newton-Verfahren berechnet werden , das mit einer Anfangsschätzung x ₀ beginnt , die ebenfalls eine positive reelle Zahl ist, und dann iterativ unter Verwendung der Rekursionsformel ^{[ 35 ] durchgeführt wird.}

$${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$$

bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Zur Steigerung der Recheneffizienz kann die Rekursionsgleichung umgeschrieben werden ^{[ 35 ].}

$${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[(n-1)\,x_{k}+\,{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right].}$$

Dadurch benötigt die Beziehung nur eine Exponentiation , die in jeder Iteration einmal berechnet wird. Die n -te Wurzel von x kann dann als Grenzwert von x für k gegen unendlich definiert werden .${\displaystyle x_{k}}$

Um beispielsweise die fünfte Wurzel aus 34 zu finden, setzen wir n = 5, A = 34 und x₀ ₌ 2 (Anfangswert) ein. Die ersten 5 Iterationen lauten ungefähr:

(Alle Ziffern sind korrekt.)

Die Näherung x ₄ ist auf 25 Dezimalstellen genau und x ₅ ist gut für 51.

Das Newton-Verfahren lässt sich modifizieren, um verschiedene verallgemeinerte Kettenbrüche für die n- te Wurzel zu erzeugen. Zum Beispiel:

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$

Ein geeigneter Startwert für das Newton-Verfahren kann mithilfe der Bisektionsmethode oder der Methode der falschen Position ermittelt werden . ^{[ 36 ]} Für große Werte von n und höhere Genauigkeitsanforderungen ist ein schnellerer Algorithmus zur Bestimmung der n- ten Wurzel als das Newton-Verfahren die Verwendung einer abgeschnittenen Taylorreihe mit einem Padé-Approximanten . ^{[ 37 ]}

Die um 1600 veröffentlichte Methode von François Viète ermöglicht die ziffernweise Berechnung der Hauptwurzeln von Dezimalzahlen (Basis 10). ^{[ 38 ]} Diese Methode basiert auf dem Binomialsatz und ist im Wesentlichen ein inverser Algorithmus, der die Gleichung löst, wobei der Binomialkoeffizient der k -te Eintrag in der n -ten Zeile des Pascalschen Dreiecks ist . $${\displaystyle (10x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}P(n,k)(10x)^{n-k}y^{k}}$$${\displaystyle P(n,k)}$

Um die Wurzel einer Zahl C zu berechnen , wählt man eine Reihe von Näherungszahlen , die die Bedingung erfüllen , wobei die Differenz zwischen und die nächste Ziffer der Näherungszahl ist. Der Dezimalbruch wird als die größte Zahl mit einer signifikanten Ziffer gewählt , die die Bedingung erfüllt. Gemäß dem Binomialsatz ist der Term ein Vielfaches des i -ten Restes, . $${\displaystyle x_{i}^{n},i=0,1,\ldots {\text{ with }}x_{0}=0}$$${\displaystyle x_{i}^{n}\leq C}$${\displaystyle x_{i+1}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$$${\displaystyle 10x_{i}+y_{i}=10x_{i+1},{\text{ where }}x_{i+1}^{n}\leq C}$$$${\displaystyle (10x_{i}+y)^{n}-(10x_{i})^{n}=\sum _{k=0}^{n-1}P(n,k)(10x_{i})^{n-k}y_{i}^{k}\leq 10^{n}(C-x_{i}^{n})}$$${\displaystyle 10^{n}(C-x_{i}^{n})}$${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle C-x_{i}^{n}}$

Mit Hilfe dieses Ausdrucks kann jede positive Hauptwurzel Ziffer für Ziffer wie folgt berechnet werden.

Schreibe die ursprüngliche Zahl in Dezimalform. Die Zahlen werden ähnlich wie bei der schriftlichen Division geschrieben , und wie bei der schriftlichen Division wird die Wurzel in die Zeile darüber geschrieben. Teile nun die Ziffern in Gruppen ein, die der zu ziehenden Wurzel entsprechen, beginnend beim Komma und sowohl nach links als auch nach rechts. Das Komma der Wurzel steht über dem Komma des Radikanden. Über jeder Zifferngruppe der ursprünglichen Zahl steht eine Ziffer der Wurzel.

Beginnend mit der Zifferngruppe ganz links, führen Sie für jede Gruppe die folgenden Schritte durch:

1. Beginnen Sie links und nehmen Sie die höchstwertige (ganz linke) Zifferngruppe herunter, die noch nicht verwendet wurde (falls alle Ziffern bereits verwendet wurden, schreiben Sie so oft „0“, wie nötig, um eine Gruppe zu bilden). Schreiben Sie diese Ziffern rechts neben den Rest des vorherigen Schritts (im ersten Schritt gibt es keinen Rest). Multiplizieren Sie also den Rest mit und addieren Sie die Ziffern der nächsten Gruppe. Dies ist der aktuelle Wert c .${\displaystyle 10^{n}}$
2. Ermitteln Sie p und x wie folgt:
   • Sei der bisher gefundene Teil der Wurzel , wobei Dezimalstellen ignoriert werden. (Für den ersten Schritt gilt und ).${\displaystyle p}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle 0^{0}=1}$
   • Bestimme die größte Ziffer, sodass .${\displaystyle x}$${\displaystyle y\leq c}$
   • Setze die Ziffer als nächste Ziffer der Wurzel ein, also über die Zifferngruppe, die du gerade heruntergezogen hast. Das nächste p ist also das alte p mal 10 plus x .${\displaystyle x}$
3. Subtrahiere von , um einen neuen Rest zu erhalten.${\displaystyle y}$${\displaystyle c}$
4. Ist der Rest null und gibt es keine weiteren Ziffern mehr, die heruntergezogen werden können, ist der Algorithmus beendet. Andernfalls wird zu Schritt 1 zurückgekehrt, um eine weitere Iteration durchzuführen.

Zur besseren Übersicht ist der Wert der gewählten Ziffer x rot und der aktuelle Ziffernstand blau dargestellt .

Der Algorithmus wird beendet: Antwort ist 12,34.

Die gewünschte Genauigkeit wird erreicht. Die Kubikwurzel aus 4192 ist 16,124...

Die n- te Hauptwurzel einer positiven Zahl lässt sich mithilfe von Logarithmen berechnen . Ausgehend von der Gleichung, die r als n -te Wurzel von x definiert , nämlich mit positivem x und somit auch positiver Hauptwurzel r , logarithmiert man beide Seiten (die Basis des Logarithmus ist beliebig), um zu erhalten ${\displaystyle r^{n}=x,}$

$${\displaystyle n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.}$$

Die Wurzel r wird daraus durch Bildung des Antilogarithmus gewonnen : ^{[ 39 ]}

$${\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}$$

(Anmerkung: Diese Formel zeigt b hoch dem Ergebnis der Division, nicht b multipliziert mit dem Ergebnis der Division.)

Im Fall, dass x negativ und n ungerade ist, gibt es eine reelle Wurzel r , die ebenfalls negativ ist. Diese kann gefunden werden, indem man zunächst beide Seiten der definierenden Gleichung mit −1 multipliziert, um zu erhalten, und dann wie zuvor vorgeht, um | r | zu bestimmen, und r = −| r | verwendet . ${\displaystyle |r|^{n}=|x|,}$

Every complex number other than 0 has n different nth roots.^[24]

The two square roots of a complex number are always negatives of each other.^[40] For example, the square roots of −4 are 2i and −2i, and the square roots of i are

$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$$

If we express a complex number in polar form, then the square root can be obtained by taking the square root of the radius and halving the angle:^[41]

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$$

A principal root of a complex number may be chosen in various ways, for example

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$$

which introduces a branch cut in the complex plane along the positive real axis with the condition 0 ≤ θ < 2π, or along the negative real axis with −π < θ ≤ π.

Using the first(last) branch cut the principal square root ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$ maps ${\displaystyle \scriptstyle z}$ to the half plane with non-negative imaginary(real) part. The last branch cut is presupposed in mathematical software like Matlab or Scilab.

The number 1 has n different nth roots in the complex plane,^[24] namely

$${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$$

where

$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).}$$

These roots are evenly spaced around the unit circle in the complex plane, at angles which are multiples of ${\displaystyle 2\pi /n}$. For example, the square roots of unity are 1 and −1, and the fourth roots of unity are 1, ${\displaystyle i}$, −1, and ${\displaystyle -i}$. As a result of this symmetry, the sum of the nth roots of unity equals zero.^[42]$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{{\frac {2\pi i}{n}}k}=0}$$

Every complex number has n different nth roots in the complex plane.^[24] These are

$${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$$

wobei η eine einzelne n- te Wurzel ist und 1,  ^ω , ω²  , ...  , ^ωⁿ⁻¹ die n -ten Einheitswurzeln sind. Da sie alle mit demselben Skalar η multipliziert werden, ^ist die Summe der n -ten Wurzeln gleich null. ^{[ 42 ]} Beispielsweise sind die vier verschiedenen vierten Wurzeln von 2²:

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$$

In Polarform kann eine einzige n- te Wurzel mithilfe des Satzes von Demoivre gefunden werden : ^{[ 43 ].}

$${\displaystyle z^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}=r^{\frac {1}{n}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta }{n}}\right)\right)}$$

Hierbei ist r der Betrag (auch Modul oder Absolutbetrag genannt ) der Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll; wenn die Zahl als geschrieben werden kann, dann ist . Der Winkel ist der Winkel, der entsteht, wenn man den Drehpunkt gegen den Uhrzeigersinn von der positiven horizontalen Achse aus auf einen Strahl dreht, der vom Ursprung zur Zahl verläuft; er hat die Eigenschaften, dass ${\displaystyle a+ib}$${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{r}},\sin \theta ={\frac {b}{r}},{\text{ and }}\tan \theta ={\frac {b}{a}}.}$

Die Bestimmung der n -ten Wurzeln in der komplexen Ebene lässt sich in zwei Schritte unterteilen. Erstens ist der Betrag aller n -ten Wurzeln gleich der n -ten Wurzel des Betrags der ursprünglichen Zahl. Zweitens ist der Winkel zwischen der positiven horizontalen Achse und einem Strahl vom Ursprung zu einer der n -ten Wurzeln gleich , wobei der Winkel analog für die Zahl definiert ist, deren Wurzel gezogen wird. Darüber hinaus sind alle n n - ten Wurzeln, wie der Satz über n -te Wurzeln ^{[ 44 ]} beweist, in gleichen Winkeln zueinander angeordnet.${\displaystyle \theta /n}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)\right){\text{ for }}k=0,1,2,\ldots ,n-1.}$

Ist n gerade, _{so bilden die} n -ten Wurzeln einer komplexen Zahl , von denen es eine gerade Anzahl gibt, Paare additiver Inversen . Ist eine Zahl r₁ eine der n -ten Wurzeln, so ist r₂ = −r₁ eine weitere _{. Dies liegt daran} , _dass das Potenzieren ^des Koeffizienten −1 der zweiten Wurzel für gerades n gleich 1 _ist : also ( −r₁ ) ^ⁿ = (−1) ^ⁿ × r₁ⁿ = _r₁ⁿ ^.

Wie bei Quadratwurzeln definiert die obige Formel keine stetige Funktion über die gesamte komplexe Ebene, sondern hat einen Verzweigungsschnitt an Stellen, an denen θ  /  n unstetig ist.

Eine Nullstelle eines Polynoms ist eine Zahl , für die gilt : . Die n -te Nullstelle einer Zahl ist per Definition eine Nullstelle des Polynoms . Algebraische Zahlen sind die Zahlen ,${\displaystyle p(x)}$ die Nullstellen von Polynomen sind .${\displaystyle a}$${\displaystyle p(a)=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x^{n}-a}$

Die quadratische Lösungsformel drückt die Wurzeln quadratischer Polynome durch Quadratwurzeln aus. Im 16. Jahrhundert entdeckten Gerolamo Cardano und andere italienische Mathematiker, dass sich analog dazu die Wurzeln von Polynomen dritten und vierten Grades stets durch n- te Wurzeln ausdrücken lassen (siehe Kubische Gleichung und Quartische Gleichung ). ^{[ 45 ]}

In den beiden folgenden Jahrhunderten wurde der Frage, ob sich jede algebraische Zahl durch Wurzeln ausdrücken lässt, große Aufmerksamkeit gewidmet. 1824 zeigte der Beweis des Satzes von Abel-Ruffini , dass es keine allgemeine Formel für Polynome fünften Grades gibt. ^{[ 46 ]} Dies schloss jedoch nicht gänzlich aus, dass sich Polynomwurzeln durch Wurzeln ausdrücken lassen, wobei die Formeln vom jeweiligen Polynom abhängen. Beispielsweise lässt sich das Polynom fünften Grades durch Wurzeln ausdrücken.

${\displaystyle p(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})(x-a_{4})(x-a_{5})=0}$

Die Galoistheorie , eingeführt 1830, zeigte, dass es Polynome fünften Grades und höher gibt, deren Wurzeln nicht durch Radikale ausgedrückt werden können. Das einfachste Beispiel ist ⁠ ⁠ . ^{[ 47 ]} Siehe Quintische Funktion § Lösbare Polynome fünften Grades und Galoistheorie § Ein nicht lösbares Beispiel fünften Grades . Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Radikale nicht immer ausreichen, um Polynomwurzeln auszudrücken. ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{5}.}$${\displaystyle \textstyle x^{5}-x-1}$

Trotz dieses Hindernisses beweist der Satz von Demoivre , dass sich die n -te Wurzel einer Zahl stets bestimmen lässt, selbst bei einer Funktion fünften Grades . ^{[ 43 ]} Die beiden folgenden, im 19. Jahrhundert bewiesenen Ergebnisse lösen grundlegende Probleme bezüglich Polynomwurzeln, die im 17. Jahrhundert aufgeworfen wurden. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom komplexe Wurzeln besitzt. ^{[ 19 ]} Es gibt Zahlen, sogenannte transzendente Zahlen , die keine Polynomwurzeln sind. Die Zahl π ist ein Beispiel für eine solche transzendente Zahl. ^{[ 48 ]}${\displaystyle x^{5}-a}$

Es mag unklar sein, warum eine Zahl n Wurzeln und nicht nur eine Hauptwurzel hat . Um dies zu veranschaulichen, gilt für die Hauptwurzel a der Variablen x hoch n die folgende Polynombeziehung: Dieses Polynom lässt sich wie folgt faktorisieren : ^{[ 49 ]} Somit ist das Polynom gleich null für x gleich a oder für jedes x , das die Gleichung löst: ^{[ 50 ]} Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat diese Reihe Wurzeln, deren Gesamtzahl n beträgt . ${\displaystyle a^{n}}$$${\displaystyle p(x)=x^{n}-a^{n}=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=x^{n}-a^{n}\\&=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^{2}x^{n-3}+\cdots +a^{n-1})\\&=(x-a)\left(\sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}\right)\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle p(x)}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}=0}$$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$

Sei beispielsweise und , dann bestimme die Kubikwurzeln von 1 ^{[ 51 ]}${\displaystyle n=3}$${\displaystyle a=1}$

$${\displaystyle p(x)=x^{3}-1^{3}=(x-1)(x^{2}+x^{1}+1)=0}$$

Die erste Wurzel ist also , und die beiden anderen Wurzeln können mithilfe der quadratischen Gleichung mit ^{[ 52 ] abgeleitet werden.}${\displaystyle x=1}$${\displaystyle a=b=c=1}$

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4}}}{2}}={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}}$$

Nehmen wir an, dass der Ausdruck rational ist. Das heißt, er lässt sich auf einen Bruch reduzieren , wobei a und b ganze Zahlen ohne gemeinsamen Faktor sind. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Das bedeutet, dass . ${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Da x eine ganze Zahl ist, muss der Ausdruck einen gemeinsamen Teiler haben, falls x = 0. Das bedeutet, dass der Ausdruck nicht in der einfachsten Form vorliegt, falls x = 0. Daher muss b gleich 1 sein. ${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Da und , . ${\displaystyle 1^{n}=1}$${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$

Dies bedeutet, dass und somit . Daraus folgt, dass eine ganze Zahl ist. Da x keine perfekte n- te Potenz ist, ist dies unmöglich. Daher ist irrational. ^{[ 25 ]}${\displaystyle x=a^{n}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

• Geometrisches Mittel
• Zwölfte Wurzel aus zwei