p -Ableitung

In der Mathematik , genauer gesagt in der Differentialalgebra , ist eine p -Derivation (wobei p eine Primzahl ist ) auf einem Ring R eine Abbildung von R nach R , die bestimmte, im Folgenden erläuterte Bedingungen erfüllt. Der Begriff der p -Derivation ist mit dem der Derivation in der Differentialalgebra verwandt.

Sei p eine Primzahl. Eine p -Derivation oder Buium-Derivation auf einem Ring ist eine Abbildung , die die folgende " Produktregel " erfüllt: ${\displaystyle R}$${\displaystyle \delta :R\to R}$

${\displaystyle \delta _{p}(ab)=\delta _{p}(a)b^{p}+a^{p}\delta _{p}(b)+p\delta _{p}(a)\delta _{p}(b)}$

und "Summenregel":

${\displaystyle \delta _{p}(a+b)=\delta _{p}(a)+\delta _{p}(b)+{\frac {a^{p}+b^{p}-(a+b)^{p}}{p}},}$

sowie

${\displaystyle \delta _{p}(1)=0.}$

Beachten Sie, dass wir bei der "Summenregel" nicht wirklich durch p teilen , da alle relevanten Binomialkoeffizienten im Zähler durch p teilbar sind . Daher ist diese Definition nur dann anwendbar, wenn p -Torsion hat . ${\displaystyle R}$

Eine Abbildung ist eine Liftung des Frobenius-Endomorphismus, vorausgesetzt . Ein Beispiel für eine solche Liftung könnte die Artin-Abbildung sein . ${\displaystyle \sigma :R\to R}$${\displaystyle \sigma (x)=x^{p}{\pmod {pR}}}$

Ist R ein Ring mit einer p -Derivation, so definiert die Abbildung einen Ringendomorphismus , der eine Liftung des Frobenius-Endomorphismus ist. Ist der Ring R p - torsionsfrei , so ist die Korrespondenz eine Bijektion . ${\displaystyle (R,\delta )}$${\displaystyle \sigma (x):=x^{p}+p\delta (x)}$

• Denn die eindeutige p- Ableitung ist die Abbildung${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \delta (x)={\frac {xx^{p}}{p}}.}$

Der Quotient ist aufgrund des kleinen Fermatschen Satzes wohldefiniert .

• Wenn R ein beliebiger p -torsionsfreier Ring ist und eine Liftung des Frobenius-Endomorphismus darstellt, dann${\displaystyle \sigma :R\to R}$

${\displaystyle \delta (x)={\frac {\sigma (x)-x^{p}}{p}}}$

definiert eine p -Ableitung.

• Witt-Vektor
• Arithmetische Ableitung
• Ableitung
• Fermat-Quotient

• Buium, Alex (1989), Arithmetische Differentialgleichungen , Mathematische Übersichten und Monographien, Springer-Verlag, ISBN 0-8218-3862-8Die
• Jack Jeffries: „Differentiating by Prim Numbers“, Notices of AMS, (Dez. 2023)

• Projekt Euclid