Frobenius-Endomorphismus

In der kommutativen Algebra und Körpertheorie ist der Frobenius-Endomorphismus (benannt nach Ferdinand Georg Frobenius ) ein spezieller Endomorphismus kommutativer Ringe mit Primcharakteristik p , einer wichtigen Klasse, zu der auch endliche Körper gehören . [ 1 ] ^{[ 2 ] Der Endomorphismus bildet} jedes Element auf seine p -te Potenz ab. In bestimmten Kontexten ist er ein Automorphismus , dies gilt jedoch nicht im Allgemeinen. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Sei R ein kommutativer Ring mit Primcharakteristik p (ein Integritätsbereich positiver Charakteristik hat beispielsweise immer Primcharakteristik). Der Frobenius-Endomorphismus F ist definiert durch

${\displaystyle F(r)=r^{p}}$

für alle r in R. Es respektiert die Multiplikation von R :

${\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),}$

und F (1) ist ebenfalls 1. Außerdem berücksichtigt es die Addition von R. Der Ausdruck ( r + s ) ^p kann mithilfe des Binomiallehresatzes entwickelt werden . Da p eine Primzahl ist, teilt er p !, aber kein q ! für q < p ; daher teilt er den Zähler , aber nicht den Nenner der expliziten Formel der Binomialkoeffizienten.

${\displaystyle {\frac {p!}{k!(pk)!}},}$

Wenn 1 ≤ k ≤ p − 1. Daher sind die Koeffizienten aller Terme außer r p und s  p  durch p teilbar und verschwinden somit . [ 5 ]

${\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).}$

Dies zeigt, dass F ein Ringhomomorphismus ist .

Wenn φ  : R → S ein Homomorphismus von Ringen der Charakteristik p ist , dann

${\displaystyle \varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.}$

Sind F_{_R} und F_{_S} die Frobenius-Endomorphismen von R bzw. S , so lässt sich dies wie folgt umschreiben:

${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .}$

Dies bedeutet, dass der Frobenius-Endomorphismus eine natürliche Transformation vom Identitätsfunktor auf der Kategorie der Ringe mit Charakteristik p in sich selbst ist.

Ist der Ring R ein Ring ohne nilpotente Elemente, so ist der Frobenius-Endomorphismus injektiv : F ( r ) = 0 bedeutet r^{^p} = 0 , was per Definition bedeutet, dass r nilpotent von höchstens p Ordnung ist . Dies ist sogar notwendig und hinreichend, denn wenn r ein nilpotentes Element ist, so ist auch eine seiner Potenzen nilpotent von höchstens p Ordnung . Insbesondere ist der Frobenius-Endomorphismus injektiv , wenn R ein Körper ist.

Der Frobenius-Morphismus ist nicht notwendigerweise surjektiv , selbst wenn R ein Körper ist. Sei beispielsweise K = F p ( t ) der endliche Körper mit p Elementen und einem einzigen transzendenten Element ; äquivalent dazu ist K der Körper der rationalen Funktionen mit Koeffizienten in F p . Dann enthält das Bild von F nicht t . Wäre dies der Fall, gäbe es eine rationale Funktion q ( t )/ r ( t ) , deren p -te Potenz q ( t ) p / r ( t ) p gleich t wäre . Der Grad dieser p -ten Potenz (die Differenz zwischen den Graden von Zähler und Nenner) ist jedoch p deg( q ) − p deg( r ) , was ein Vielfaches von p ist . Insbesondere kann er nicht 1 sein , der Grad von t . Dies ist ein Widerspruch; daher ist t nicht im Bild von F enthalten .

Ein Körper K heißt perfekt , wenn er entweder die Charakteristik Null hat oder eine positive Charakteristik besitzt und sein Frobenius-Endomorphismus ein Automorphismus ist. Beispielsweise sind alle endlichen Körper perfekt.

Betrachten wir den endlichen Körper F p . Nach dem kleinen Fermatschen Satz erfüllt jedes Element x von F p die Gleichung x p = x . Äquivalent dazu ist es eine Nullstelle des Polynoms X p − X. Die Elemente von F p bestimmen daher p Nullstellen dieser Gleichung, und da diese Gleichung vom Grad p ist, besitzt sie über jeder Erweiterung höchstens p Nullstellen . Insbesondere ist F p der Fixkörper des Frobenius-Automorphismus von K , falls K eine algebraische Erweiterung von F p ist (wie etwa der algebraische Abschluss oder ein anderer endlicher Körper) .

Sei R ein Ring der Charakteristik p > 0. Ist R ein Integritätsbereich, so sind nach derselben Argumentation die Fixpunkte von Frobenius die Elemente des Primkörpers. Ist R jedoch kein Integritätsbereich, so kann X p − X mehr als p Nullstellen besitzen; dies ist beispielsweise der Fall, wenn R = F p × F  p .

Eine ähnliche Eigenschaft besitzt der n -te Iterator des Frobenius-Automorphismus auf dem endlichen Körper: Jedes Element von ist eine Wurzel von , sodass, wenn K eine algebraische Erweiterung von und F der Frobenius-Automorphismus von K ist , der Fixkörper von F ^_n gleich ist . Wenn R ein Bereich ist, der eine -Algebra ist, dann sind die Fixpunkte des n- ten Iterators des Frobenius-Automorphismus die Elemente des Bildes von . ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle X^{p^{n}}-X}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$

Durch Iteration der Frobenius-Abbildung erhält man eine Folge von Elementen in R :

${\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .}$

Diese Folge von Iterationen wird zur Definition des Frobenius-Abschlusses und des engen Abschlusses eines Ideals verwendet .

Die Galoisgruppe einer Erweiterung endlicher Körper wird durch eine Iteration des Frobenius-Automorphismus erzeugt. Betrachten wir zunächst den Fall, dass der Grundkörper der Primkörper F  p ist . Sei F q der endliche Körper mit q Elementen, wobei q = p n . Der Frobenius-Automorphismus F von F q fixiert den Primkörper F p und ist somit ein Element der Galoisgruppe Gal( Fq  / F p ) . Da Gal(Fq/Fp) zyklisch mit q − 1 Elementen ist , wissen wir, dass die Galoisgruppe zyklisch ist und F ein Erzeuger ist. Die Ordnung von F ist n , da F j auf ein Element x operiert , indem es es auf x pj  abbildet , und F nur viele Wurzeln haben kann, da wir uns in einem Körper befinden. Jeder Automorphismus von F q ist eine Potenz von F , und die Erzeuger sind die Potenzen F i  mit i teilerfremd zu n . ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}^{\times }}$${\displaystyle x^{p^{j}}=x}$${\displaystyle p^{j}}$

Betrachten wir nun den endlichen Körper F q f als Erweiterung von F q , wobei q = p n wie oben gilt. Falls n > 1 , fixiert der Frobenius-Automorphismus F von F q f nicht den Grundkörper F q  , wohl aber seine n -te Iteration F n . Die Galoisgruppe Gal( F q f / F  q ) ist zyklisch von Ordnung f und wird von F  n erzeugt. Sie ist die von F n erzeugte Untergruppe von Gal( F q f / F p  ) . Die Erzeuger von Gal( F q f / F q ) sind die Potenzen F ni , wobei i teilerfremd zu f ist .

Der Frobenius-Automorphismus ist kein Erzeuger der absoluten Galoisgruppe

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),}$

weil diese Galoisgruppe isomorph zu den proendlichen ganzen Zahlen ist

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,}$

welche nicht zyklisch sind. Da der Frobenius-Automorphismus jedoch ein Erzeuger der Galoisgruppe jeder endlichen Erweiterung von F_{_q} ist , ist er auch ein Erzeuger jedes endlichen Quotienten der absoluten Galoisgruppe. Folglich ist er ein topologischer Erzeuger in der üblichen Krull-Topologie auf der absoluten Galoisgruppe.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Frobenius-Morphismus für ein Schema zu definieren . Die grundlegendste ist der absolute Frobenius-Morphismus. Dieser verhält sich jedoch in relativen Fällen ungünstig, da er das Basisschema nicht berücksichtigt. Es existieren mehrere Möglichkeiten, den Frobenius-Morphismus an relative Fälle anzupassen, von denen jede in bestimmten Situationen nützlich ist.

Sei X ein Schema der Charakteristik p > 0. Wir wählen eine offene affine Teilmenge U = Spec A von X. Der Ring A ist eine F_{_p} -Algebra und besitzt daher einen Frobenius-Endomorphismus. Ist V eine offene affine Teilmenge von U , so ist der Frobenius-Morphismus auf U , eingeschränkt auf V , nach der Natürlichkeit des Frobenius-Gesetzes der Frobenius-Morphismus auf V. Folglich lässt sich der Frobenius-Morphismus zu einem Endomorphismus von X verkleben . Dieser Endomorphismus heißt absoluter Frobenius-Morphismus von X und wird mit F _p _X bezeichnet . Definitionsgemäß ist er ein Homöomorphismus von X mit sich selbst. Der absolute Frobenius-Morphismus ist eine natürliche Transformation vom Identitätsfunktor auf der Kategorie der F _{_p}-Schemata in sich selbst.

Wenn X ein S -Schema ist und der Frobenius-Morphismus von S die Identität ist, dann ist der absolute Frobenius-Morphismus ein Morphismus von S -Schemata. Im Allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall. Betrachten wir beispielsweise den Ring . Seien X und S beide gleich Spec A, wobei die Strukturabbildung X → S die Identität ist. Der Frobenius-Morphismus auf A bildet a auf a ^p ab . Er ist kein Morphismus von -Algebren. Wäre er es, so würde die Multiplikation mit einem Element b in mit der Anwendung des Frobenius-Endomorphismus kommutieren. Dies ist jedoch nicht der Fall, da: ${\displaystyle A=\mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.}$

Ersteres ist die Wirkung von b in der -Algebrastruktur, mit der A beginnt, und letzteres ist die durch Frobenius induzierte Wirkung von . Folglich ist der Frobenius-Morphismus auf Spec A kein Morphismus von -Schemata. ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

Der absolute Frobenius-Morphismus ist ein rein unseparabler Morphismus vom Grad p . Sein Differential ist null. Er erhält Produkte, was bedeutet, dass für je zwei Schemata X und Y gilt : F _{X × Y} = F _X × F _Y.

Angenommen, φ  : X → S ist der Strukturmorphismus eines S -Schemas X. Das Basisschema S besitzt einen Frobenius-Morphismus F → _S. Die Komposition von φ mit F → _S ergibt ein S -Schema X → _F , das als Restriktion von Skalaren nach Frobenius bezeichnet wird . Die Restriktion von Skalaren ist tatsächlich ein Funktor, da ein S -Morphismus X → Y einen S -Morphismus X → _F → Y → _F induziert .

Betrachten wir beispielsweise einen Ring A der Charakteristik p > 0 und eine endlich präsentierte Algebra über A :

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

Die Wirkung von A auf R ist gegeben durch:

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },}$

wobei α ein Multiindex ist. Sei X = Spec R . Dann ist X _F das affine Schema Spec R , aber sein Strukturmorphismus Spec R → Spec A und damit die Wirkung von A auf R ist verschieden:

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.}$

Da die Einschränkung von Skalaren durch den Frobenius-Morphismus einfach eine Komposition ist, werden viele Eigenschaften von X unter geeigneten Voraussetzungen an den Frobenius-Morphismus auf X F übertragen . Sind beispielsweise X und S F beide vom endlichen Typ, so ist auch X F vom endlichen Typ .

Die Erweiterung der Skalare durch Frobenius ist wie folgt definiert:

${\displaystyle X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.}$

Die Projektion auf den S -Faktor macht X ^{( p )} zu einem S -Schema. Ist S aus dem Kontext nicht ersichtlich, wird X ^{( p )} mit X ^{( p / S )} bezeichnet . Wie die Einschränkung von Skalaren ist auch die Erweiterung von Skalaren ein Funktor: Ein S -Morphismus X → Y bestimmt einen S -Morphismus X ^{( p )} → Y ^{( p )} .

Betrachten wir wie zuvor einen Ring A und eine endlich präsentierte Algebra R über A , und sei wiederum X = Spec R. Dann gilt:

${\displaystyle X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.}$

Ein globaler Schnitt von X ^{( p )} hat die Form:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},}$

wobei α ein Multiindex ist und jedes a _{_iα} und b _{_i} ein Element von A ist . Die Wirkung eines Elements c von A auf diesen Abschnitt ist:

${\displaystyle c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.}$

Folglich ist X ^{( p )} isomorph zu:

${\displaystyle \operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

wo, wenn:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

Dann:

${\displaystyle f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.}$

Eine ähnliche Beschreibung gilt für beliebige A -Algebren R .

Da die Erweiterung von Skalaren eine Basiswechsel ist, bleiben Limiten und Koprodukte erhalten. Dies impliziert insbesondere, dass, wenn X eine algebraische Struktur besitzt, die durch endliche Limiten definiert ist (z. B. ein Gruppenschema ), auch X ^{( p )} diese Struktur besitzt. Darüber hinaus bedeutet die Basiswechselwirkung, dass die Erweiterung von Skalaren Eigenschaften wie endlichen Typ, endliche Präsentation, Trennung, Affinität usw. erhält.

Die Erweiterung von Skalaren verhält sich wohldefiniert bezüglich Basiswechsel: Zu einem Morphismus S ′ → S gibt es einen natürlichen Isomorphismus:

${\displaystyle X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.}$

Sei X ein S -Schema mit Strukturmorphismus φ . Der relative Frobeniusmorphismus von X ist der Morphismus:

${\displaystyle F_{X/S}:X\to X^{(p)}}$

definiert durch die universelle Eigenschaft des Pullbacks X ^{( p )} (siehe das obige Diagramm):

${\displaystyle F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).}$

Da der absolute Frobenius-Morphismus natürlich ist, ist der relative Frobenius-Morphismus ein Morphismus von S -Schemata.

Betrachten wir beispielsweise die A -Algebra:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

Wir haben:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).}$

Der relative Frobenius-Morphismus ist der Homomorphismus R ^{( p )} → R, der wie folgt definiert ist:

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.}$

Relative Frobenius ist mit Basiswechsel in dem Sinne kompatibel, dass unter dem natürlichen Isomorphismus von X ^{( p / S )} × _S S ′ und ( X × _S S ′) ^{( p / S ′)} gilt:

${\displaystyle F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.}$

Der relative Frobenius-Effekt ist ein universeller Homöomorphismus. Ist X → S eine offene Immersion, so ist er die Identität. Ist X → S eine abgeschlossene Immersion ^, die durch eine Idealgarbe I von O _S bestimmt ist , so ist X ^{( p )} durch die Idealgarbe Ip bestimmt , ^und der relative Frobenius-Effekt ist die Augmentationsabbildung O _S / Ip → O _S / I.

X heißt unverzweigt über S genau dann, wenn F _{X / S} unverzweigt ist und genau dann, wenn F _{X / S} ein Monomorphismus ist. X heißt étale über S genau dann, wenn F _{X / S} étale ist und genau dann, wenn F _{X / S} ein Isomorphismus ist.

Der arithmetische Frobenius-Morphismus eines S -Schemas X ist ein Morphismus:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

definiert durch:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.}$

Das heißt, es ist die Basisänderung von F _S um 1 _X.

Und nochmal, wenn:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},}$

Dann ist der arithmetische Frobenius der Homomorphismus:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.}$

Wenn wir R ^{( p )} umschreiben als:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

Dann ist dieser Homomorphismus:

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.}$

Angenommen, der absolute Frobeniusmorphismus von S ist invertierbar mit Inverser . Sei das S -Schema . Dann gibt es eine Erweiterung der Skalare von X durch : ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$${\displaystyle S_{F^{-1}}}$${\displaystyle F_{S}^{-1}:S\to S}$${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.}$

Wenn:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

Die Erweiterung der Skalare um ergibt dann: ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.}$

Wenn:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

dann schreiben wir:

${\displaystyle f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },}$

und dann gibt es einen Isomorphismus:

${\displaystyle R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).}$

Der geometrische Frobenius-Morphismus eines S -Schemas X ist ein Morphismus:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

definiert durch:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.}$

Es ist die Basisänderung um 1 _X.${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

Um unser obiges Beispiel von A und R fortzuführen , ist die geometrische Frobenius-Gleichung wie folgt definiert:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.}$

Nach Umformulierung von R ^{(1/ p )} in Abhängigkeit von lautet die geometrische Frobenius-Formel: ${\displaystyle \{f_{j}^{(1/p)}\}}$

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.}$

Angenommen, der Frobenius-Morphismus von S ist ein Isomorphismus. Dann erzeugt er eine Untergruppe der Automorphismengruppe von S. Ist S = Spec k das Spektrum eines endlichen Körpers, so ist seine Automorphismengruppe die Galoisgruppe des Körpers über dem Primkörper, und der Frobenius-Morphismus sowie seine Umkehrung sind beide Erzeuger der Automorphismengruppe. Darüber hinaus können X ^{( p )} und X ^{(1/ p )} mit X identifiziert werden . Die arithmetischen und geometrischen Frobenius-Morphismen sind dann Endomorphismen von X und führen somit zu einer Operation der Galoisgruppe von k auf X.

Betrachten wir die Menge der K -Punkte X ( K ) . Zu dieser Menge gehört eine Galois-Wirkung: Jedem solchen Punkt x entspricht ein Homomorphismus O: _X → K von der Strukturgarbe nach K , der über k ( x ) , den Restklassenkörper in x , faktorisiert. Die Frobenius-Wirkung auf x ist die Anwendung des Frobenius-Morphismus auf den Restklassenkörper. Diese Galois-Wirkung stimmt mit der arithmetischen Frobenius-Wirkung überein: Der zusammengesetzte Morphismus

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)}$

ist dasselbe wie der zusammengesetzte Morphismus:

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)}$

gemäß der Definition des arithmetischen Frobenius. Folglich zeigt der arithmetische Frobenius explizit die Wirkung der Galoisgruppe auf Punkte als Endomorphismus von X.

Gegeben eine unverzweigte endliche Erweiterung L / K von lokalen Körpern , gibt es einen Begriff des Frobenius-Endomorphismus , der den Frobenius-Endomorphismus in der entsprechenden Erweiterung von Restklassenkörpern induziert . ^{[ 6 ]}

Sei L / K eine unverzweigte Erweiterung lokaler Körper mit dem ganzen Zahlenring O_{_K} von K , sodass der Restklassenkörper, die ganzen Zahlen von K modulo ihres eindeutigen maximalen Ideals φ , ein endlicher Körper der Ordnung q ist , wobei q eine Primzahlpotenz ist. Ist Φ eine Primzahl von L über φ , so bedeutet die Unverzweigtheit von L / K per Definition, dass die ganzen Zahlen von L modulo Φ , der Restklassenkörper von L , ein endlicher Körper der Ordnung q ^{^f} ist, der den Restklassenkörper von K erweitert, wobei f der Grad von L / K ist . Wir können die Frobenius-Abbildung für Elemente des ganzen Zahlenrings O_{_L} von L als einen Automorphismus s → _Φ von L definieren , sodass

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }}.}$

In der algebraischen Zahlentheorie werden Frobenius-Elemente für Erweiterungen L / K globaler Körper definiert , die endliche Galois-Erweiterungen für Primideale Φ von L sind, die in L / K unverzweigt sind . Da die Erweiterung unverzweigt ist, ist die Zerlegungsgruppe von Φ die Galoisgruppe der Erweiterung von Restklassenkörpern. Das Frobenius-Element kann dann für Elemente des Ganzheitsrings von L analog zum lokalen Fall definiert werden durch

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }},}$

wobei q die Ordnung des Restklassenfeldes O _K /(Φ ∩ O _K ) ist .

Die Liftungen des Frobenius stehen in Übereinstimmung mit den p-Ableitungen .

Das Polynom

x ⁵ − x − 1

hat diskriminierend

19 × 151 ,

und ist daher an der Primzahl 3 unverzweigt; es ist auch irreduzibel modulo 3. Das Hinzufügen einer Wurzel ρ davon zum Körper der 3 -adischen Zahlen Q₃ ergibt eine unverzweigte Erweiterung Q₃ ( ρ ) von Q₃ _. Das Bild von ρ unter der Frobenius-Abbildung finden wir _{, indem wir die} ρ₃ nächstgelegene Wurzel bestimmen , was wir mit dem Newton-Verfahren tun können . Auf diese Weise ^erhalten wir ein Element des Rings der ganzen Zahlen Z₃ [ ρ ] ; dies ist ein Polynom vierten Grades in ^ρ mit Koeffizienten in den 3 _- adischen ganzen Zahlen Z₃ _. Modulo 3⁸ ist dieses Polynom

${\displaystyle \rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})}$Die

Dies ist algebraisch über Q und das korrekte globale Frobeniusbild bezüglich der Einbettung von Q in Q³ ; außerdem sind die Koeffizienten algebraisch, und das Ergebnis lässt sich algebraisch ausdrücken. Sie haben jedoch den Grad 120, die Ordnung der Galoisgruppe, was verdeutlicht _, dass explizite Berechnungen wesentlich einfacher durchzuführen sind, wenn p -adische Ergebnisse ausreichen.

Ist L / K eine abelsche Erweiterung globaler Körper, so erhalten wir eine wesentlich stärkere Kongruenz, da sie nur von der Primzahl φ im Basiskörper K abhängt . Betrachten wir beispielsweise die Erweiterung Q ( β ) von Q , die durch Anfügen einer Wurzel β entsteht , die die Bedingung erfüllt.

${\displaystyle \beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0}$

bis Q. Diese Erweiterung ist zyklisch von fünfter Ordnung mit Wurzeln

${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}}$

für ganze Zahlen n . Es hat Wurzeln, die Tschebyscheff-Polynome von β sind :

β ² − 2, β ³ − 3 β , β ⁵ − 5 β ³ + 5 β

Geben Sie das Ergebnis der Frobenius-Abbildung für die Primzahlen 2 , 3 und 5 an , und so weiter für größere Primzahlen ungleich 11 oder der Form 22n + 1 (die zerfallen). Es ist unmittelbar ersichtlich, dass die Frobenius-Abbildung ein Ergebnis liefert , das modulo p hoch p der Wurzel β ist .

• Perfektes Feld
• Frobenoid
• Endlicher Körper § Frobenius-Automorphismus und Galoistheorie
• Universeller Homöomorphismus

• „Frobenius-Automorphismus“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• „Frobenius-Endomorphismus“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]