Perfect power

In mathematics, a perfect power is a natural number that is a product of equal natural factors, or, in other words, an integer that can be expressed as a square or a higher integer power of another integer greater than one. More formally, n is a perfect power if there exist natural numbersm > 1, and k > 1 such that m^k = n. In this case, n may be called a perfect kth power. If k = 2 or k = 3, then n is called a perfect square or perfect cube, respectively. Sometimes 0 and 1 are also considered perfect powers (0^k = 0 for any k > 0, 1^k = 1 for any k).

A sequence of perfect powers can be generated by iterating through the possible values for m and k. The first few ascending perfect powers in numerical order (showing duplicate powers) are (sequence A072103 in the OEIS):

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,}$${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }$

The sum of the reciprocals of the perfect powers (including duplicates such as 3⁴ and 9², both of which equal 81) is 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}$

which can be proved as follows:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}$

The first perfect powers without duplicates are:

(sometimes 0 and 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (sequence A001597 in the OEIS)

The sum of the reciprocals of the perfect powers p without duplicates is:^[1]

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots }$

where μ(k) is the Möbius function and ζ(k) is the Riemann zeta function.

According to Euler, Goldbach showed (in a now-lost letter) that the sum of ⁠1/p − 1⁠ over the set of perfect powers p, excluding 1 and excluding duplicates, is 1:

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

This is sometimes known as the Goldbach–Euler theorem.

Ob eine gegebene natürliche Zahl n eine perfekte Potenz ist, lässt sich auf viele verschiedene, unterschiedlich komplexe Arten feststellen . Eine der einfachsten Methoden besteht darin, alle möglichen Werte für k an jedem Teiler von n bis einschließlich k zu betrachten . Sind die Teiler von k also k = 1, dann muss einer der Werte gleich n sein, wenn n tatsächlich eine perfekte Potenz ist. ${\displaystyle k\leq \log _{2}n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }$

Diese Methode lässt sich unmittelbar vereinfachen, indem man nur Primzahlen von k betrachtet . Denn wenn für eine zusammengesetzte Zahl , in der p eine Primzahl ist, dies einfach umgeschrieben werden kann als . Aufgrund dieses Ergebnisses muss der kleinste Wert von k notwendigerweise eine Primzahl sein. ${\displaystyle n=m^{k}}$${\displaystyle k=ap}$${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$

Wenn die vollständige Faktorisierung von n bekannt ist, beispielsweise wenn die drei Primzahlen verschieden sind, dann ist n genau dann eine perfekte Potenz, wenn ggT den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet . Betrachten wir beispielsweise n = 2 ⁹⁶ · 3 ⁶⁰ · 7 ^24. Da ggT(96, 60, 24) = 12, ist n eine perfekte 12. Potenz (und eine perfekte 6., 4., 3. und 4. Potenz, da 6, 4, 3 und 2 die Zahl 12 teilen). ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}$

Im Jahr 2002 bewies der rumänische Mathematiker Preda Mihăilescu , dass das einzige Paar aufeinanderfolgender perfekter Potenzen 2³ ​​= 8 und 3² = 9 ist ^, und ^bewies damit die Vermutung Catalans .

Pillais Vermutung besagt, dass es für jede gegebene positive ganze Zahl k nur endlich viele Paare perfekter Potenzen gibt, deren Differenz k beträgt . Dies ist ein ungelöstes Problem. ^{[ 2 ]}

• Primärkraft

• Daniel J. Bernstein (1998). „Erkennen perfekter Potenzen in im Wesentlichen linearer Zeit“ (PDF) . Mathematics of Computation . 67 (223): 1253–1283 . doi : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader und Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (PDF)