Homogene Beziehung

In der Mathematik ist eine homogene Relation (auch Endorelation genannt ) auf einer Menge X eine binäre Relation zwischen X und sich selbst, d. h . sie ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $X \times X.$ ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Man spricht üblicherweise von einer „Relation auf X “ ^{[ 4 ]} oder einer „(binären) Relation über X “. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Ein Beispiel für eine homogene Relation ist die Verwandtschaftsrelation , die eine Beziehung zwischen Personen darstellt.

Gängige Endorelationen umfassen Ordnungen , Graphen und Äquivalenzen . Spezialisierte Studien der Ordnungstheorie und der Graphentheorie haben das Verständnis von Endorelationen vertieft. Zur Beschreibung wird die Terminologie der Graphentheorie verwendet, wobei ein gewöhnlicher (ungerichteter) Graph einer symmetrischen Relation entspricht und eine allgemeine Endorelation einem gerichteten Graphen . Eine Endorelation R entspricht einer logischen Matrix aus Nullen und Einsen, wobei der Ausdruck xRy ( x ist R- bezogen zu y ) einer Kante zwischen x und y im Graphen und einer 1 in der quadratischen Matrix von R entspricht . In der Graphentheorie wird sie als Adjazenzmatrix bezeichnet.

Besondere homogene Beziehungen

Einige spezielle homogene Relationen über einer Menge X (mit beliebigen Elementen $x 1$ , $x 2$ ) sind:

Leere Relation: $E = \emptyset$ ;das heißt, $x 1 Ex 2$ gilt niemals;
Universelle Beziehung: $U = X \times X$ ;das heißt, $x 1 Ux 2$ gilt immer;
Identitätsrelation (siehe auch Identitätsfunktion ): $I = {(x, x) | x \in X$ };das heißt, $x 1 Ix 2$ gilt genau dann, wenn $x 1 = x 2$ .

Beispiel

Matrixdarstellung der Relation „ist benachbart zu“ auf der Menge der tektonischen Platten
		Af	Ein	Ar	Au	Ca	Co	EU	In	Ju	N / A	N / A	Pa	Ph	SA	Sc	Also
afrikanisch	Af
Antarktis	Ein
arabisch	Ar
australisch	Au
Karibik	Ca
Kokosnüsse	Co
Eurasisch	EU
indisch	In
Juan de Fuca	Ju
Nordamerikanisch	N / A
Nazca	N / A
Pazifik	Pa
Philippinisch	Ph
Südamerikaner	SA
Schottland	Sc
somali	Also

Sechzehn große tektonische Platten der Erdkruste berühren sich in einer homogenen Beziehung. Diese Beziehung lässt sich als logische Matrix darstellen , wobei 1 (dargestellt mit " ") Kontakt und 0 (" ") keinen Kontakt bedeutet. Dieses Beispiel veranschaulicht eine symmetrische Beziehung.

Eigenschaften

Einige wichtige Eigenschaften, die eine homogene Relation $R$ über einer Menge $X$ haben kann, sind:

Reflexiv: Für alle $x \in X$ gilt $xRx$ . Zum Beispiel ist ≥ eine reflexive Relation, > aber nicht.
Irreflexiv (oder strikt ): Für alle $x \in X$ gilt nicht $xRx$ . Beispielsweise ist > eine irreflexive Relation, ≥ jedoch nicht.
Koreflexiv: Für alle $x, y \in X$ gilt: Wenn $xRy,$ dann $x = y$ . ^{[ 7 ]} Beispielsweise ist die Relation über den ganzen Zahlen, in der jede ungerade Zahl mit sich selbst in Beziehung steht, eine koreflexive Relation. Die Gleichheitsrelation ist das einzige Beispiel einer sowohl reflexiven als auch koreflexiven Relation, und jede koreflexive Relation ist eine Teilmenge der Identitätsrelation.
Links quasi-reflexiv: Für alle $x, y \in X gilt$ : Wenn $xRy,$ dann $xRx$ .
Rechts quasi-reflexiv: Für alle $x, y \in X gilt$ : Wenn $xRy,$ dann $yRy$ .
Quasi-reflexiv: Für alle $x, y \in X$ gilt: Wenn $xRy,$ dann $xRx$ und $yRy$ . Eine Relation heißt quasireflexiv genau dann, wenn sie sowohl links- als auch rechtsquasireflexiv ist.

Die vorangegangenen sechs Alternativen sind bei Weitem nicht vollständig; beispielsweise ist die binäre Relation $xRy,$ definiert durch $y = x²,$ weder irreflexiv noch koreflexiv noch reflexiv, da sie die Paare $(0, 0)$ und $(2, 4)$ , aber nicht $(2, 2)$ enthält . Die beiden letztgenannten Tatsachen schließen auch (jegliche Art von) Quasi-Reflexivität aus.

Symmetrisch: Für alle $x, y \in X$ gilt: Wenn $xRy,$ dann $yRx$ . Beispielsweise ist „ist ein Blutsverwandter von“ eine symmetrische Relation, da $x$ genau dann ein Blutsverwandter von $y ist, wenn$ $y$ ein Blutsverwandter von $x$ ist .
Antisymmetrisch: Für alle $x, y \in X gilt$ : Wenn $xRy$ und $yRx,$ dann ist $x = y$ . Beispielsweise ist ≥ eine antisymmetrische Relation; ebenso ist > antisymmetrisch, jedoch trivialerweise (die Bedingung in der Definition ist stets falsch). ^{[ 8 ]}
Asymmetrisch: Für alle $x, y \in X$ gilt: Wenn $xRy,$ dann nicht $yRx$ . Eine Relation ist genau dann asymmetrisch, wenn sie sowohl antisymmetrisch als auch irreflexiv ist. ^{[ 9 ]} Beispielsweise ist > eine asymmetrische Relation, ≥ jedoch nicht.

Auch die drei zuvor genannten Alternativen sind bei Weitem nicht vollständig; beispielsweise ist die durch $x$ $> 2$ definierte Relation $xRy$ bei den natürlichen Zahlen weder symmetrisch noch antisymmetrisch, geschweige denn asymmetrisch.

Transitiv: Für alle $x, y, z \in X$ gilt : Wenn $xRy$ und $yRz,$ dann $xRz$ . Eine transitive Relation ist genau dann irreflexiv, wenn sie asymmetrisch ist. ^{[ 10 ]} Beispielsweise ist „ist Vorfahre von“ eine transitive Relation, während „ist Elternteil von“ keine ist.
Antitransitiv: Für alle $x, y, z \in X$ gilt : Wenn $xRy$ und $yRz,$ dann niemals $xRz$ .
Kotransitiv: Wenn das Komplement von R transitiv ist, d. h. für alle $x, y, z \in X$ gilt : Wenn $xRz$ , dann auch $xRy$ oder $yRz$ . Dies findet Anwendung in Pseudoordnungen der konstruktiven Mathematik.
Quasitransitiv: Für alle $x, y, z \in X$ gilt : Wenn $xRy$ und $yRz$ , aber weder $yRx$ noch $zRy$ , dann $xRz$ , aber nicht $zRx$ .
Transitivität der Unvergleichbarkeit: Für alle $x, y, z \in X$ gilt: Wenn $x$ und $y$ bezüglich $R$ unvergleichbar sind und dasselbe für $y$ und $z$ gilt , dann sind auch $x$ und $z$ bezüglich $R$ unvergleichbar . Dies wird in schwachen Ordnungen verwendet .

Auch die fünf vorherigen Alternativen sind nicht vollständig. Beispielsweise erfüllt die Relation $xRy$ falls ( $y = 0$ oder $y = x + 1$ ) keine dieser Eigenschaften. Die leere Relation hingegen erfüllt sie alle trivialerweise.

Dicht: Für alle $x, y \in X$ mit $xRy$ existiert ein $z \in X$ mit $xRz$ und $zRy$ . Dies wird in dichten Ordnungen verwendet .
Verbunden: Für alle $x, y \in X$ gilt: Wenn $x \neq y,$ dann $xRy$ oder $yRx$ . Diese Eigenschaft wird manchmal als „total“ bezeichnet und unterscheidet sich von den unten angegebenen Definitionen von „links/rechts total“.
Stark verbunden: Für alle $x, y \in X$ gilt $xRy$ oder $yRx$ . Diese Eigenschaft wird manchmal auch als „total“ bezeichnet, was sich von den unten angegebenen Definitionen von „links/rechts-total“ unterscheidet.
Trichotom: Für alle $x, y \in X$ gilt genau eine der folgenden Aussagen: $xRy$ , $yRx$ oder $x = y$ . Beispielsweise ist > eine trichotomische Relation auf den reellen Zahlen, während die Relation „teilt“ auf den natürlichen Zahlen keine ist. ^{[ 11 ]}
Rechtseuklidisch (oder einfach euklidisch ): Für alle $x, y, z \in X$ gilt : Wenn $xRy$ und $xRz,$ dann ist auch $yRz$ . Zum Beispiel ist = eine euklidische Relation, denn wenn $x = y$ und $x = z,$ dann ist auch $y = z$ .
Linkseuklidisch: Für alle $x, y, z \in X$ gilt : Wenn $yRx$ und $zRx,$ dann $yRz$ .
Gut begründet: Jede nichtleere Teilmenge $S$ von $X$ enthält ein minimales Element bezüglich $R.$ Wohlfundiertheit impliziert die absteigende Kettenbedingung (d. h., es kann keine unendliche Kette $... x \in R ... Rx \in Rx \in Rx \in Rx \in Rx \in 1$ existieren). Unter der Annahme des Axioms der abhängigen Auswahl sind beide Bedingungen äquivalent. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

Darüber hinaus gelten alle Eigenschaften binärer Relationen im Allgemeinen auch für homogene Relationen:

Set-ähnlich: Für alle $x \in X$ ist die Klasse aller $y$ , für die $yRx$ eine Menge ist, sinnvoll. (Dies ist nur dann sinnvoll, wenn Relationen über echte Klassen erlaubt sind.)
Links einzigartig: Für alle $x, z \in X$ und alle $y \in Y$ gilt: Wenn $xRy$ und $zRy,$ dann ist $x = z$ .
Univalent: Für alle $x \in X$ und alle $y, z \in Y$ gilt: Wenn $xRy$ und $xRz,$ dann ist $y = z$ . ^{[ 14 ]}
Gesamt (auch linke Summe genannt): Für alle $x \in X$ existiert ein $y \in Y$ , sodass $xRy$ . Diese Eigenschaft unterscheidet sich von der Definition von Zusammenhang ( von manchen Autoren auch Totalität genannt).
Surjektiv (auch Rechtstotal genannt): Für alle $y \in Y$ existiert ein $x \in X$ , sodass xRy .

Eine Präordnung ist eine reflexive und transitive Relation. Eine totale Präordnung , auch lineare Präordnung oder schwache Ordnung genannt , ist eine reflexive, transitive und zusammenhängende Relation.

Eine partielle Ordnung , auch Ordnung genannt , ist eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation. Eine strikte partielle Ordnung , auch strikte Ordnung genannt , ist eine irreflexive, antisymmetrische und transitive Relation. Eine totale Ordnung , auch lineare Ordnung , einfache Ordnung oder Kette genannt , ist eine reflexive, antisymmetrische, transitive und zusammenhängende Relation. ^{[ 15 ]} Eine strikte totale Ordnung , auch strikte lineare Ordnung , strikte einfache Ordnung oder strikte Kette genannt , ist eine irreflexive, antisymmetrische, transitive und zusammenhängende Relation.

Eine partielle Äquivalenzrelation ist eine symmetrische und transitive Relation. Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Sie ist außerdem symmetrisch, transitiv und total, da diese Eigenschaften Reflexivität implizieren.

Eine univalente Relation kann auch als partielle Funktion bezeichnet werden . Eine (totale) Funktion ist eine links-totale partielle Funktion. Eine injektive Funktion (oder partielle Funktion) ist eine Funktion, deren Umkehrfunktion univalent ist. Eine surjektive Funktion ist eine rechts-totale Funktion.

Implikationen und Konflikte zwischen Eigenschaften homogener binärer Relationen
Implikationen (blau) und Konflikte (rot) zwischen Eigenschaften (gelb) homogener binärer Relationen. Beispielsweise ist jede asymmetrische Relation irreflexiv ( „ ASym ⇒ Irrefl “ ), und keine Relation auf einer nichtleeren Menge kann gleichzeitig irreflexiv und reflexiv sein ( „ Irrefl ⇒ Refl “ ). Lässt man die roten Kanten weg, erhält man ein Hasse-Diagramm .

Betrieb

Wenn R eine homogene Relation über einer Menge X ist , dann ist jede der folgenden Relationen eine homogene Relation über X :

Reflexiver Abschluss , R ⁼: Definiert als $R = {(x, x) | x \in X} \cup R$ oder die kleinste reflexive Relation über X , die R enthält . Dies lässt sich als gleich dem Durchschnitt aller reflexiven Relationen, die R enthalten, beweisen .
Reflexive Reduktion , R ^≠: Definiert als $R ≠ = R \ {( x , x ) | x ∈ X$ } oder die größte irreflexive Relation über X, die in R enthalten ist .
transitiver Abschluss , R ⁺: Definiert als die kleinste transitive Relation über X, die R enthält . Dies entspricht dem Schnittpunkt aller transitiven Relationen, die R enthalten .
Reflexive transitive Hülle , R *: Definiert als $R * = (R +) =$ , die kleinste Präordnung , die R enthält .
Reflexiver transitiver symmetrischer Abschluss , R ^≡: Definiert als die kleinste Äquivalenzrelation über X, die R enthält .

Alle im Abschnitt „Operationen bei binären Relationen“ definierten Operationen gelten auch für homogene Relationen.

Homogene Relationen nach Eigenschaft
	Reflexivität	Symmetrie	Transitivität	Verbundenheit	Symbol	Beispiel
Gerichteter Graph					→
Ungerichteter Graph		Symmetrisch
Abhängigkeit	Reflexiv	Symmetrisch
Turnier	Irreflexiv	Asymmetrisch				Hackordnung
Vorbestellung	Reflexiv		Transitiv		≤	Präferenz
Gesamtvorbestellung	Reflexiv		Transitiv	Verbunden	≤
Teilordnung	Reflexiv	Antisymmetrisch	Transitiv		≤	Teilmenge
Strenge Teilordnung	Irreflexiv	Asymmetrisch	Transitiv		<	Strenge Teilmenge
Gesamtbestellung	Reflexiv	Antisymmetrisch	Transitiv	Verbunden	≤	Alphabetische Reihenfolge
Strikte Gesamtbestellung	Irreflexiv	Asymmetrisch	Transitiv	Verbunden	<	Strenge alphabetische Reihenfolge
Partielle Äquivalenzrelation		Symmetrisch	Transitiv
Äquivalenzrelation	Reflexiv	Symmetrisch	Transitiv		~, ≡	Gleichwertigkeit

Aufzählung

Die Menge aller homogenen Relationen über einer Menge X ist die Menge $2$ $X$ $\times$ $X$ , eine Boolesche Algebra, erweitert um die Involution der Abbildung einer Relation auf ihre Umkehrrelation . Betrachtet man die Komposition von Relationen als binäre Operation auf , so bildet sie ein Monoid mit Involution, dessen neutrales Element die Identitätsrelation ist. ^[¹⁶^] ${\mathcal {B}}(X)$ ${\mathcal {B}}(X)$

Die Anzahl der verschiedenen homogenen Relationen über einer n -elementigen Menge ist $2 n 2$ (Folge A002416 in der OEIS ):

Anzahl der n -elementigen binären Relationen verschiedener Typen
Elemente	Beliebig	Transitiv	Reflexiv	Symmetrisch	Vorbestellung	Teilordnung	Gesamtvorbestellung	Gesamtbestellung	Äquivalenzrelation
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65.536	3.994	4.096	1.024	355	219	75	24	15
N	2 ^{n ²}		2 ^{n ( n −1)}	2 ^{n ( n +1)/2}			∑ⁿ_{k =0}k ! S ( n , k )	N !	∑ⁿ_{k =0}S ( n , k )
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Beachten Sie, dass S ( n , k ) sich auf Stirling-Zahlen zweiter Art bezieht .

Anmerkungen:

Die Anzahl der irreflexiven Relationen ist gleich der Anzahl der reflexiven Relationen.
Die Anzahl der strikten partiellen Ordnungen (irreflexive transitive Relationen) ist gleich der Anzahl der partiellen Ordnungen.
Die Anzahl der strikten schwachen Aufträge entspricht der Anzahl der Voraufträge insgesamt.
Die Gesamtzahl der Bestellungen entspricht den Teilbestellungen, die gleichzeitig auch vollständige Vorbestellungen sind. Die Anzahl der Vorbestellungen, die weder Teilbestellungen noch vollständige Vorbestellungen sind, ergibt sich daher aus der Anzahl der Vorbestellungen abzüglich der Anzahl der Teilbestellungen abzüglich der Anzahl der vollständigen Vorbestellungen zuzüglich der Anzahl der vollständigen Bestellungen: 0, 0, 0, 3 bzw. 85.
Die Anzahl der Äquivalenzrelationen ist die Anzahl der Partitionen , die die Bell-Zahl ist .

Die homogenen Relationen lassen sich zu Paaren (Relation, Komplement ) gruppieren , außer für $n = 0,$ wo die Relation ihr eigenes Komplement ist. Die nicht-symmetrischen Relationen lassen sich zu Vierergruppen zusammenfassen (Relation, Komplement, Inverses , inverses Komplement).

Beispiele

Ordnungsrelationen , einschließlich strikter Ordnungen :
- Größer als
- Größer oder gleich
- Weniger als
- Kleiner oder gleich
- Teilt (gleichmäßig)
- Teilmenge von
Äquivalenzrelationen :
- Gleichwertigkeit
- Parallel zu (für affine Räume )
- Äquinumerosität oder „steht in Bijektion mit“
- Isomorph
- Equipollent Liniensegmente
Toleranzrelation , eine reflexive und symmetrische Relation:
- Abhängigkeitsrelation , eine Relation mit endlicher Toleranz
- Unabhängigkeitsrelation , das Komplement einer Abhängigkeitsrelation
Verwandtschaftsbeziehungen

Verallgemeinerungen

Eine binäre Relation muss im Allgemeinen nicht homogen sein; sie ist definiert als eine Teilmenge R ⊆ X × Y für beliebige Mengen X und Y.
Eine finitäre Relation ist eine Teilmenge R ⊆ X ₁ × ... × X _n für eine natürliche Zahl n und beliebige Mengen X ₁ , ..., X _n ; sie wird auch n -äre Relation genannt.

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[11] Da weder 5 ein Teiler von 3 ist, noch 3 ein Teiler von 5 ist, noch 3=5 ist.

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