Brechungsindex und Extinktionskoeffizient von Dünnschichtmaterialien

A. R. Forouhi und I. Bloomer leiteten Dispersionsgleichungen für den Brechungsindex n und den Extinktionskoeffizienten k ab , die 1986 ^{[ 1 ]} und 1988 ^{[ 2 ]} veröffentlicht wurden . Die Publikation von 1986 bezieht sich auf amorphe Materialien, die von 1988 auf kristalline. 1991 wurde ihre Arbeit als Kapitel in das „Handbook of Optical Constants“ aufgenommen ^{[ 3 ]} . Die Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen beschreiben die Wechselwirkung von Photonen unterschiedlicher Energie mit dünnen Schichten. In Verbindung mit einem spektroskopischen Reflektometer bestimmen die Forouhi-Bloomer - Dispersionsgleichungen n und k für amorphe und kristalline Materialien als Funktion der Photonenenergie E. Die Werte von n und k als Funktion der Photonenenergie E werden als n- und k -Spektren bezeichnet. Diese lassen sich auch als Funktionen der Lichtwellenlänge λ ausdrücken , da E = hc / λ gilt. Das Symbol h ist die Planck-Konstante und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Zusammen werden n und k oft als die „optischen Konstanten“ eines Materials bezeichnet (obwohl sie keine Konstanten sind, da ihre Werte von der Photonenenergie abhängen).

Die Herleitung der Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen basiert auf der Gewinnung eines Ausdrucks für k als Funktion der Photonenenergie, symbolisch geschrieben als k ( E ), ausgehend von grundlegenden Prinzipien der Quantenmechanik und der Festkörperphysik. Ein Ausdruck für n als Funktion der Photonenenergie, symbolisch geschrieben als n ( E ), wird dann aus dem Ausdruck für k ( E ) gemäß den Kramers-Kronig-Relationen ^{[ 4 ]} bestimmt , welche besagen, dass n ( E ) die Hilbert-Transformierte von k ( E ) ist.

Die Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen für n ( E ) und k ( E ) amorpher Materialien lauten wie folgt:

${\displaystyle k(E)={\frac {A(E-E_{\text{g}})^{2}}{E^{2}-BE+C}}\ }$

${\displaystyle n(E)=n(\infty )+{\frac {(B_{0}E+C_{0})}{E^{2}-BE+C}}\ }$

Die fünf Parameter A , B , C , E_{_g} und n (∞) haben jeweils eine physikalische Bedeutung. ^{[ 1 ] [ 3 ]} E_{_g} ist die optische Bandlücke des Materials. A , B und C hängen von der Bandstruktur des Materials ab. Sie sind positive Konstanten, sodass 4C − B / ² > 0 gilt. Schließlich repräsentiert n (∞), eine Konstante größer als eins, den Wert von n bei E = ∞. Die Parameter B _₀ und C _₀ in der Gleichung für n ( E ) sind nicht unabhängig, sondern hängen von A , B , C und E_{_g} ab . Sie sind gegeben durch:

${\displaystyle B_{0}={\frac {A}{Q}}\ \left({\frac {-B^{2}}{2}}\ +E_{g}B-{E_{g}}^{2}+C\right)}$

${\displaystyle C_{0}={\frac {A}{Q}}\ \left[({E_{g}}^{2}+C){\frac {B}{2}}\ -2E_{g}C\right]}$

Wo

${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}\ (4C-B^{2})^{\frac {1}{2}}}$

Für amorphe Materialien genügen somit insgesamt fünf Parameter, um die Abhängigkeit von n und k von der Photonenenergie E vollständig zu beschreiben .

Für kristalline Materialien, die mehrere Peaks in ihren n- und k- Spektren aufweisen, können die Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen wie folgt erweitert werden:

${\displaystyle k(E)=\sum _{i=1}^{q}\left[{\frac {A_{i}(E-E_{g_{i}})^{2}}{E^{2}-B_{i}E+C_{i}}}\right]}$

${\displaystyle n(E)=n(\infty )+\sum _{i=1}^{q}\left[{\frac {B_{0_{i}}E+C_{0_{i}}}{E^{2}-B_{i}E+C_{i}}}\right]}$

Die Anzahl der Summanden q in jeder Summe entspricht der Anzahl der Peaks in den n- und k -Spektren des Materials. Jeder Summand besitzt eigene Werte für die Parameter A , B , C , E_{_g} sowie für B _₀ und C _₀ . Analog zum amorphen Fall haben alle Summanden eine physikalische Bedeutung. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Brechungsindex ( n ) und Extinktionskoeffizient ( k ) beschreiben die Wechselwirkung zwischen einem Material und einfallendem Licht und stehen in Zusammenhang mit Brechung bzw. Absorption. Sie können als „Fingerabdruck des Materials“ betrachtet werden. Dünnschichtbeschichtungen auf verschiedenen Substraten bieten wichtige Funktionalitäten für die Mikrofertigungsindustrie . Um eine reproduzierbare Fertigung zu gewährleisten, müssen n , k und die Dicke t dieser Dünnschichtbestandteile gemessen und kontrolliert werden .

Ursprünglich wurde angenommen, dass die Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen für n und k für Halbleiter und Dielektrika gelten, unabhängig davon, ob diese amorph, polykristallin oder kristallin sind. Es hat sich jedoch gezeigt, dass sie sowohl ^{die n- und k - Spektren transparenter Leiter [ 5 ] als auch} metallischer Verbindungen [ ^{6–15 ]} beschreiben ^{. Der Formalismus für} kristalline ^{Materialien ist zudem auch auf Polymere anwendbar [ 16–18 ] , die} aus ^{langen Molekülketten bestehen , welche keine Kristallstruktur im} klassischen ^{Sinne ausbilden .}

Weitere Dispersionsmodelle zur Bestimmung von n und k , wie beispielsweise das Tauc-Lorentz-Modell , sind in der Literatur zu finden. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Zwei bekannte Modelle – Cauchy und Sellmeier – liefern empirische Ausdrücke für n , die jedoch nur in einem begrenzten Messbereich gültig sind und sich lediglich für nicht absorbierende Filme mit k = 0 eignen. Daher wird die Forouhi-Bloomer-Formulierung zur Messung dünner Filme in verschiedenen Anwendungen eingesetzt. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

In den folgenden Abschnitten werden alle Variablen der Photonenenergie E in Abhängigkeit von der Lichtwellenlänge λ beschrieben , da experimentelle Messungen an Dünnschichten typischerweise über ein Wellenlängenspektrum erfolgen. Die n- und k- Spektren einer Dünnschicht lassen sich nicht direkt messen, sondern müssen indirekt aus messbaren, von ihnen abhängigen Größen bestimmt werden. Die spektroskopische Reflexion R ( λ ) ist eine solche messbare Größe. Eine weitere ist die spektroskopische Transmission T ( λ ), die bei transparenten Substraten anwendbar ist. Die spektroskopische Reflexion einer Dünnschicht auf einem Substrat stellt das Verhältnis der Intensität des vom Substrat reflektierten Lichts zur Intensität des einfallenden Lichts dar, gemessen über einen Wellenlängenbereich. Die spektroskopische Transmission T ( λ ) hingegen stellt das Verhältnis der Intensität des durch das Substrat transmittierten Lichts zur Intensität des einfallenden Lichts dar, ebenfalls gemessen über einen Wellenlängenbereich. Typischerweise tritt neben T ( λ ) auch ein reflektiertes Signal R ( λ ) auf .

Die messbaren Größen R ( λ ) und T ( λ ) hängen nicht nur von n ( λ ) und k ( λ ) des Films ab, sondern auch von der Filmdicke t sowie von n ( λ ) und k ( λ ) des Substrats. Bei einem Siliziumsubstrat sind die Werte für n ( λ ) und k ( λ ) bekannt und werden als gegebene Eingangsgrößen verwendet. Die Herausforderung bei der Charakterisierung dünner Filme besteht darin , t , n ( λ ) und k ( λ ) des Films aus der Messung von R ( λ ) und/oder T ( λ ) zu bestimmen. Dies kann durch die Kombination der Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen für n ( λ ) und k ( λ ) mit den Fresnel-Gleichungen für die Reflexion und Transmission von Licht an einer Grenzfläche ^{[ 21 ]} erreicht werden , um theoretisch gültige, physikalisch valide Ausdrücke für Reflexionsgrad und Transmissionsgrad zu erhalten. Dadurch reduziert sich die Herausforderung auf die Extraktion der fünf Parameter A , B , C , E_{_g} und n (∞), aus denen n ( λ ) und k ( λ ) bestehen, sowie der Filmdicke t mittels einer nichtlinearen Ausgleichsrechnung ^{[ 22 ] [ 23 ]} . Das Anpassungsverfahren beinhaltet eine iterative Verbesserung der Werte von A , B , C , E _{_g} , n (∞) und t , um die Summe der Fehlerquadrate zwischen dem theoretischen R ( λ ) bzw. T ( λ ) und dem gemessenen Spektrum von R ( λ ) bzw. T ( λ ) zu minimieren.

Neben der spektroskopischen Reflexion und Transmission kann auch die spektroskopische Ellipsometrie in analoger Weise zur Charakterisierung dünner Filme und zur Bestimmung von t , n ( λ ) und k ( λ ) verwendet werden.

Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Vielseitigkeit der Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen zur Charakterisierung dünner Schichten mithilfe eines Verfahrens, das auf spektroskopischer Reflexion bei nahezu senkrechtem Lichteinfall basiert. Bei transparenten Substraten wird auch die spektroskopische Transmission bei nahezu senkrechtem Lichteinfall genutzt. Die n ( λ )- und k ( λ )-Spektren jeder Schicht werden zusammen mit der Schichtdicke über einen weiten Wellenlängenbereich vom tiefen Ultraviolett bis zum nahen Infrarot (190–1000 nm) ermittelt.

In den folgenden Beispielen wird die Notation für die theoretische und die gemessene Reflexion in den Spektraldiagrammen mit „R-theor“ bzw. „R-meas“ ausgedrückt.

Nachfolgend sind schematische Darstellungen des Dünnschichtmessverfahrens abgebildet:

Die Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen wurden in Kombination mit der Rigorous Coupled-Wave Analysis (RCWA) eingesetzt, um detaillierte Profilinformationen (Tiefe, CD, Seitenwandwinkel) von Grabenstrukturen zu erhalten. Um Strukturinformationen zu extrahieren, müssen polarisierte Breitband-Reflexionsdaten ( Rs und Rp ) über einen großen Wellenlängenbereich von einer periodischen Struktur (Gitter) erfasst und anschließend mit einem Modell analysiert werden, das die Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen und die RCWA integriert. Eingangsgrößen des Modells sind die Gitterperiode sowie die n- und k -Spektren aller Materialien innerhalb der Struktur. Als Ausgabegrößen können Tiefe, CDs an verschiedenen Positionen und sogar der Seitenwandwinkel verwendet werden. Die n- und k -Spektren dieser Materialien lassen sich gemäß der in diesem Abschnitt beschriebenen Methodik für Dünnschichtmessungen ermitteln.

Nachfolgend sind schematische Darstellungen des Messverfahrens für Grabenstrukturen abgebildet. Anschließend folgen Beispiele für Grabenmessungen.

Beispiel 1: Reflexionsspektren eines amorphen Siliziumfilms (a-Si) auf einem oxidierten Siliziumsubstrat (SiO₂/Si-Sub) im Wellenlängenbereich von 190–1000 nm _sowie die n(λ)- und k(λ) -Spektren des a-Si-Films. Die Filmdicke betrug 1147 nm. Die Dicken des a-Si- und des SiO₂ _- Films sowie die n(λ)- und k(λ) -Spektren des a-Si wurden simultan bestimmt. Die n(λ)- und k(λ) -Spektren des SiO₂ _- Films wurden konstant gehalten.

Beispiel 1: Amorphe Materialien weisen typischerweise ein breites Maximum in ihren n(λ)- und k(λ) -Spektren auf. Beim Übergang eines Materials vom amorphen zum vollständig kristallinen Zustand wird dieses breite Maximum schärfer, und es treten weitere scharfe Peaks in den n(λ)- und k(λ) -Spektren auf. Dies wird am Beispiel von amorphem Silizium, das sich zu polykristallinem Silizium und schließlich zu kristallinem Silizium weiterentwickelt, demonstriert.

Beispiel 1 zeigt ein breites Maximum in den n(λ)- und k(λ) -Spektren des a-Si-Films, wie für amorphe Materialien zu erwarten. Beim Übergang des Materials in die Kristallinität weicht das breite Maximum mehreren schärferen Peaks in den n(λ)- und k(λ) -Spektren, wie in den Grafiken dargestellt.

Bei Messungen mit zwei oder mehr Schichten in einem Schichtstapel muss der theoretische Ausdruck für das Reflexionsvermögen um die n ( λ )- und k ( λ )-Spektren sowie die Dicke t jeder Schicht erweitert werden. Aufgrund der Nichtlinearität des Ausdrucks für das Reflexionsvermögen konvergiert die Regression jedoch möglicherweise nicht zu eindeutigen Parameterwerten. Daher ist es hilfreich, einige der Unbekannten zu eliminieren. Beispielsweise können die n ( λ )- und k ( λ )-Spektren einer oder mehrerer Schichten aus der Literatur oder früheren Messungen bekannt sein und während der Regression konstant gehalten werden. Um die in Beispiel 1 gezeigten Ergebnisse zu erhalten, wurden die n ( λ )- und k ( λ )-Spektren der SiO₂- _Schicht fixiert, während die anderen Parameter, n ( λ ) und k ( λ ) von a-Si sowie die Dicken von a-Si und SiO₂, _variiert wurden.

Beispiel 2: Reflexionsspektren eines Fotolackfilms auf einem Siliziumsubstrat im Wellenlängenbereich von 190–1000 nm sowie die n ( λ )- und k ( λ )-Spektren des Fotolacks. Die Filmdicke betrug 498 nm. Dicke, n ( λ )- und k(λ) -Spektren des Fotolacks wurden simultan bestimmt.

Polymere wie Fotolacke bestehen aus langen Molekülketten, die keine Kristallstruktur im klassischen Sinne ausbilden. Ihre n ( λ )- und k ( λ )-Spektren weisen jedoch mehrere scharfe Peaks anstelle des für nichtkristalline Materialien erwarteten breiten Maximums auf. Daher basieren die Messergebnisse für ein Polymer auf der Forouhi-Bloomer-Formulierung für kristalline Materialien. Der größte Teil der Struktur in den n ( λ )- und k ( λ )-Spektren liegt im tiefen UV-Bereich. Um einen solchen Film korrekt zu charakterisieren, ist es daher notwendig, dass die gemessenen Reflexionsdaten im tiefen UV-Bereich präzise sind.

Die Abbildung zeigt ein Messbeispiel eines Fotolackmaterials (Polymer), das für die 248-nm-Mikrolithographie verwendet wird. Zur Anpassung der Daten und zur Erzielung der Ergebnisse wurden sechs Terme der Forouhi-Bloomer-Gleichungen für kristalline Materialien verwendet.

Beispiel 3: Reflexions- und Transmissionsspektren im Bereich von 190–1000 nm für ein unbeschichtetes Glassubstrat. Beachten Sie, dass T = 0 für das Glassubstrat im tiefen UV-Bereich ist, was auf Absorption in diesem Spektralbereich hinweist. Es zeigt sich, dass der Wert von k ( λ ) im tiefen UV-Wellenlängenbereich in der Größenordnung von k = liegt.3 × 10 ⁻⁴ , und dieser kleine Wert ungleich Null ist mit T = 0 im tiefen UV vereinbar.

Beispiel 3: Reflexions- und Transmissionsspektren im Bereich von 190–1000 nm von auf dem oben beschriebenen Glassubstrat abgeschiedenem ITO sowie die n ( λ )- und k ( λ )-Spektren des ITO-Films. Die ITO-Schichtdicke von 133 nm und ihre n ( λ )- und k ( λ )-Spektren wurden simultan durch Anpassung der gemessenen Reflexions- und Transmissionsspektren an theoretische Ausdrücke dieser Größen mithilfe der Forouhi-Bloomer-Gleichungen bestimmt.

Indiumzinnoxid (ITO) ist ein leitfähiges Material mit der ungewöhnlichen Eigenschaft der Transparenz und findet daher breite Anwendung in der Flachbildschirmindustrie. Um die bisher unbekannten n ( λ )- und k ( λ )-Spektren des Glases zu bestimmen, waren Reflexions- und Transmissionsmessungen des unbeschichteten Glassubstrats erforderlich. Anschließend wurden Reflexion und Transmission von auf demselben Glassubstrat abgeschiedenem ITO simultan gemessen und mithilfe der Forouhi-Bloomer-Gleichungen analysiert.

Wie erwartet, ist das k ( λ )-Spektrum von ITO im sichtbaren Wellenlängenbereich null, da ITO transparent ist. Das Verhalten des k ( λ )-Spektrums von ITO im nahen Infrarot (NIR) und Infrarot (IR) ähnelt dem eines Metalls: Es ist im NIR-Bereich von 750–1000 nm ungleich null (in der Grafik aufgrund der sehr kleinen Werte schwer erkennbar) und erreicht im IR-Bereich ( λ  > 1000 nm) einen Maximalwert. Der mittlere k- Wert des ITO-Films im NIR- und IR-Bereich beträgt 0,05.

Beispiel 4: Mittels Multispektralanalyse wurden die Reflexionsspektren eines auf zwei verschiedenen Substraten – Silizium und oxidiertem Silizium – abgeschiedenen Ge₄₀Se₆₀-Films untersucht. Die Messungen ergaben jeweils ein _{n ( λ )} - und ein k ₍ λ ) -Spektrum von Ge₄₀Se₆₀ . Für _{Ge₄₀Se₆₀} auf dem oxidierten Siliziumsubstrat wurde eine Schichtdicke von 33,6 nm und _für Ge₄₀Se₆₀ auf dem _{Siliziumsubstrat} eine Schichtdicke von 34,5 nm ermittelt. Die Dicke der Oxidschicht wurde zu 166 nm bestimmt.

Bei komplexen Filmen lassen sich die Parameter mitunter nicht eindeutig bestimmen. Um die Lösung auf einen Satz eindeutiger Werte zu beschränken, kann eine Technik der Multispektralanalyse eingesetzt werden. Im einfachsten Fall beinhaltet dies die Abscheidung des Films auf zwei verschiedenen Substraten und die anschließende simultane Analyse der Ergebnisse mithilfe der Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen.

Beispielsweise liefert die Einzelmessung des Reflexionsvermögens von Ge₄₀Se₆₀/Si im Bereich von 190–1000 nm keine eindeutigen _{n (} λ ) - und k ( λ )-Spektren des Films. Dieses Problem lässt sich jedoch lösen , indem man denselben Ge₄₀Se₆₀-Film auf ein anderes Substrat, in diesem Fall oxidiertes Silizium, aufbringt _und anschließend die gemessenen Reflexionsdaten analysiert, um Folgendes zu bestimmen _:

• Die Dicke des Ge ₄₀ Se ₆₀ /Si-Films auf dem Siliziumsubstrat beträgt 34,5 nm.
• Die Dicke des Ge ₄₀ Se ₆₀ /Si-Films auf dem oxidierten Siliziumsubstrat beträgt 33,6 nm.
• Dicke von SiO ₂ (bei konstantem n- und k- Spektrum von SiO _{2 ) und}
• n- und k -Spektren von Ge ₄₀ Se ₆₀ /Si im Bereich von 190–1000 nm .

Beispiel 5: Eine Grabenstruktur aus verschiedenen Schichten mit komplexem Profil. Die Poly-Si-Schicht wurde flächendeckend auf der Probe vermessen und ihre n- und k- Spektren anhand der Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen bestimmt. Hierfür wurde eine Wertetabelle für die n- und k -Spektren der SiO₂- _und Si₃N₄ _- Schichten _verwendet . Mithilfe der ermittelten n- und k- Spektren dieser Schichten und der Rigorous Coupled Wave Analysis (RCWA) wurden anschließend die Schichtdicken, verschiedene Tiefen (Höhen) innerhalb des Grabens sowie die kritischen Ladungsdichten (CDs) bestimmt.

Beispiel 5: Gemessene Rs- und Rp- Reflexionswerte, die an der komplexen Grabenstruktur erfasst wurden.

Die im nebenstehenden Diagramm dargestellte Grabenstruktur wiederholt sich in Abständen von 160 nm, d. h., sie hat eine vorgegebene Teilung von 160 nm. Der Graben besteht aus folgenden Materialien:

Genaue n- und k- Werte dieser Materialien sind für die Strukturanalyse unerlässlich. Häufig wird zur Messung eine flächige Fläche auf der Grabenprobe mit dem zu untersuchenden Film verwendet. In diesem Beispiel wurde das Reflexionsspektrum des Polysiliziums auf einer solchen Fläche gemessen. Daraus wurden die n- und k- Spektren gemäß der in diesem Artikel beschriebenen Methodik unter Verwendung der Forouhi-Bloomer-Dispersionsgleichungen bestimmt. Für die _SiO₂- und Si₃N₄ _- Filme wurden Tabellen mit n- und k- _Werten verwendet .

Durch die Kombination der n- und k -Spektren der Filme mit der Rigorous Coupled-Wave Analysis (RCWA) wurden die folgenden kritischen Parameter bestimmt (einschließlich der Messergebnisse):